Nombre ordinal

Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωおめが^ωおめが.

En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.

Georg Cantor a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque est fausse.

Introduction

Un entier naturel peut être utilisé dans deux buts : décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (zéro, un, deux, trois…) et ordinaux (zéroième^[1], premier, deuxième, troisième…) et sont très semblables. Cependant, dans le cas infini, on est amené à distinguer nombre cardinal et nombre ordinal.

Alors que la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure particulière, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et plus précisément à un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de l'ensemble peut être numéroté 0, le suivant 1, le suivant 2, etc., mais dès que l'ensemble est infini, une notation adaptée est nécessaire pour désigner judicieusement tous les éléments de l'ensemble.

Considérons par exemple l'ensemble des couples d'entiers positifs ou nuls ordonnés selon ce qu'on appelle l'ordre lexicographique :

(0,0)\;\triangleleft \;(0,1)\;\triangleleft \;(0,2)\;\triangleleft \;(0,3)\;\triangleleft \;\ldots \;\triangleleft \;(1,0)\;\triangleleft \;(1,1)\;\triangleleft \;(1,2)\;\triangleleft \;(1,3)\;\triangleleft \;\ldots \;\triangleleft \;(n,0)\;\triangleleft \;(n,1)\;\triangleleft \;(n,2)\;\triangleleft \;(n,3)\;\triangleleft \;\ldots

On peut imaginer une technique de « numérotation » des éléments de cet ensemble ordonné :

On dira que (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), etc. occupent respectivement les positions 0, 1, 2, 3, etc.

(1,0) est le plus petit élément se trouvant après une infinité d'éléments. On convient de noter ωおめが sa position^[2].

(1,1) est l'élément qui suit ωおめが ; sa place sera indexée ωおめが + 1, etc.

(2,0) est le plus petit élément se trouvant après une double infinité d'éléments. Il occupe la position ωおめが + ωおめが, aussi notée ωおめが2. Plus généralement $(n, 0)$ occupe la place $ω おめが n$ . Si l'on disposait des éléments supplémentaires à la suite des éléments précédents, ils se trouveraient après une infinité d'infinis, et l'on noterait ωおめが², ωおめが² + 1 et ainsi de suite les positions occupées.

Par exemple, si au lieu de couples on avait utilisé des triplets ou même des n-uplets (a₁, a₂, …, a_n-1, a_n) d'entiers en ordre quelconque, de façon générique, on noterait $\omega ^{n-1}a_{1}+\omega ^{n-2}a_{2}+...+\omega .a_{n-1}+a_{n}$ les positions occupées.

La théorie des ordinaux permet, entre autres, de donner un sens précis à cette numérotation heuristique des éléments d'un ensemble bien ordonné.

Définition

On définit un nombre ordinal de l'une des deux manières suivantes :

la première définition est fondée sur les classes d'isomorphisme d'ensembles ordonnés. Un ordinal est un ensemble bien ordonné, considéré à un isomorphisme d'ordres près (dans la catégorie des bons ordres où les morphismes sont les applications croissantes et les isomorphismes les bijections croissantes). Ainsi, si l'on change les noms des éléments d'un bon ordre, tant qu'on ne change pas la manière dont les éléments se comparent entre eux, on parle toujours du même ordinal ;
la seconde définition est due à John von Neumann, et traduit le fait qu'un ordinal est défini par l'ensemble des ordinaux qui le précèdent. Un ordinal αあるふぁ est un ensemble vérifiant les deux propriétés suivantes :
1. La relation d'appartenance ∈ sur cet ensemble est un « bon ordre strict », c'est-à-dire :
  - ∈ est un ordre strict :
    - $\forall x\in \alpha \quad [x\notin x]$ (∈ est antiréflexive)
    - $\forall x,y,z\in \alpha \quad [x\in y\land y\in z\Rightarrow x\in z]$ (∈ est transitive)
  - la relation d'ordre associée à cet ordre strict est un bon ordre :
    - $\forall z\subset \alpha \quad [z\neq \varnothing \Rightarrow \exists x\in z\;\forall y\in z\;(x\in y\lor x=y)]$ (toute partie non vide de αあるふぁ a un plus petit élément)
2. Cet ensemble est transitif, ce qui s'écrit :
  - $\forall x\in \alpha \quad [x\subset \alpha ]$ .

La conjonction de ces quatre formules (ou tout autre prédicat équivalent dans la théorie de Zermelo^[3]), couramment notée $On(α あるふぁ)$ , définit la classe des ordinaux de von Neumann.

La première définition ne se formalise pas commodément dans une théorie des ensembles telle que ZFC, les classes d'isomorphismes des bons ordres (non vides) n'étant pas des ensembles (ce sont des classes propres). La définition de von Neumann permet de désigner ces classes par un ensemble, en fournissant un représentant unique par classe d'isomorphisme, la relation d'ordre sur cet ensemble étant la relation d'appartenance (voir le paragraphe Propriétés)^[4].

C'est cette dernière que nous adopterons dans la suite de l'article. Usuellement, les ordinaux sont désignés par des lettres grecques, les ensembles en général par des lettres latines.

En appliquant la définition précédente, les entiers naturels peuvent être construits de la façon suivante :

0 = {} (ensemble vide) ;

n + 1 = n ∪ {n}.

Un entier positif est ainsi identifié à l'ensemble de ses prédécesseurs sur N. Exemples :

0 = {}

1 = {0} = { {} }

2 = {0,1} = { {}, { {} } }

3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}

4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

etc.

De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné par la relation d'appartenance ∈, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels.

L'existence des ordinaux infinis est assurée par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini (c'est-à-dire infini) est noté ωおめが. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}$ .

L'ordinal qui suit est ωおめが ∪ {ωおめが}, noté ωおめが+1.

Pour définir une notation adaptée aux ordinaux suivants, nous aurons besoin de définir des opérations arithmétiques sur les ordinaux.

Les ordinaux sont totalement ordonnés au sens large par l'inclusion ou au sens strict par l'appartenance, mais ne forment pas un ensemble au sens des axiomes ZFC (la théorie des ensembles habituelle) ; ils forment une classe propre. Ceci peut être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : si la classe des ordinaux était un ensemble $On$ alors $On$ serait un ordinal tel que $On \in On$ , or par antiréflexivité de l'appartenance sur un ordinal, cela est impossible (on aurait $x \in x$ pour l'élément $x = On$ de $On$ ).

Propriétés

On montre que :

Tous les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.
Les ordinaux sont totalement ordonnés au sens large par l'inclusion ou au sens strict par l'appartenance :
- si deux ordinaux αあるふぁ et βべーた sont donnés, alors ou bien αあるふぁ ∈ βべーた, ce qu'on note également αあるふぁ < βべーた, ou bien αあるふぁ = βべーた, ou bien βべーた ∈ αあるふぁ ;
- on a l'équivalence entre αあるふぁ ⊂ βべーた et (αあるふぁ ∈ βべーた ou αあるふぁ = βべーた), ce qu'on note αあるふぁ ≤ βべーた.
Si (E, ≤) est un ensemble bien ordonné, il existe un unique ordinal αあるふぁ et un unique isomorphisme d'ordres entre E et αあるふぁ ; en particulier si deux ordinaux sont isomorphes alors ils sont égaux et l'isomorphisme est l'identité.
Si αあるふぁ est un ordinal alors αあるふぁ ∪ {αあるふぁ} est un ordinal, noté αあるふぁ + 1 et appelé l'ordinal successeur de αあるふぁ, car c'est le plus petit majorant strict de αあるふぁ.
Un ordinal non vide et non successeur est appelé un ordinal limite. Le plus petit ordinal limite est ωおめが.
On dit qu'un ordinal αあるふぁ est fini si ni αあるふぁ, ni aucun de ses éléments n'est un ordinal limite, autrement dit si αあるふぁ < ωおめが. Tout ordinal fini est isomorphe à son ordre opposé (par récurrence simple). Un ordinal αあるふぁ est donc fini (si et) seulement si toute partie non vide de αあるふぁ a un plus grand élément.
L'ordre sur la classe des ordinaux est non seulement total mais bon, c'est-à-dire que toute classe non vide d'ordinaux contient un plus petit élément.
L'union ∪A d'un ensemble A d'ordinaux est un ordinal, qui est la borne supérieure de A. Par exemple, ∪(αあるふぁ + 1) = αあるふぁ est le plus grand élément de αあるふぁ + 1 (donc si αあるふぁ + 1 = βべーた + 1 alors αあるふぁ = βべーた), tandis que si γがんま est 0 ou un ordinal limite alors ∪γがんま = γがんま ∉ γがんま.
Induction transfinie. Ce principe de démonstration fonde le raisonnement par récurrence bien fondée sur les entiers (les ordinaux finis) et l'étend à tous les ordinaux.
Soit $\varphi$ une « propriété ». Si, pour tout ordinal αあるふぁ, on a l'implication $(\forall \beta <\alpha ,\varphi (\beta ))\Longrightarrow \varphi (\alpha )$ alors $\varphi$ est vérifiée par tous les ordinaux. Dans le cas contraire, il suffirait de considérer le plus petit ordinal ne vérifiant pas $\varphi$ pour obtenir une contradiction^[5].
Récursion transfinie. De même, ce principe de définition fonde et étend la définition par récurrence d'une suite. L'axiome de remplacement permet de définir une « fonction » $\alpha \mapsto f(\alpha )$ $\alpha \mapsto f(\alpha )$ sur les ordinaux — ou plus exactement : une (classe) fonctionnelle — par : $f(\alpha )=g(f_{|\alpha })$ $f(\alpha )=g(f_{|\alpha })$ pour tout ordinal $\alpha$ $\alpha$ , où $g$ $g$ est une fonctionnelle donnée (sur les ensembles) et $f_{|\alpha }$ $f_{|\alpha }$ désigne le graphe de la restriction de f à αあるふぁ (en particulier, αあるふぁ est la première projection de ce graphe et $f_{|0}=\varnothing$ $f_{|0}=\varnothing$ ). Un cas simple est celui d'une définition par récursion constituée de trois cas ;
- Cas de base : $f(0)=X_{0}$ où $X (nd)$ est un ensemble donné ;
- Cas successeur : $f(\alpha +1)=h(\alpha ,f(\alpha ))$ où $h$ est une fonctionnelle donnée ;
- Cas limite : si $\lambda$ est un ordinal limite, $f(\lambda )=\bigcup _{\alpha <\lambda }f(\alpha )$ .

Les deux premiers cas sont les deux usuels de la récurrence sur les entiers, le troisième est nécessaire pour étendre le schéma à tous les ordinaux.

Opérations arithmétiques sur les ordinaux

On peut étendre les trois opérations arithmétiques de somme, produit et exponentiation à tous les ordinaux ; dans chaque cas il y a deux manières de définir l'opération.

Méthode intrinsèque: On utilise les deux opérandes pour construire un ensemble ordonné dont on montre qu'il s'agit d'un bon ordre. Il y a donc un unique ordinal isomorphe à cet ordre, qui est par définition le résultat de l'opération. Cette méthode est plus constructive que la suivante mais moins aisée à utiliser en pratique.
Récurrence transfinie: L'opération est définie par récurrence sur l'un des deux opérandes. Les deux premiers cas de la récurrence (cas de base et successeur) sont les mêmes que pour les entiers ce qui montre que l'opération est une extension de sa version arithmétique. Cette méthode permet de facilement démontrer les propriétés élémentaires de l'opération, par exemple l'associativité de la somme et du produit.

Addition

Pour définir la somme de deux ordinaux αあるふぁ et βべーた, on procède comme suit. En premier lieu on renomme les éléments de βべーた de façon qu'ils soient distincts de ceux de αあるふぁ ; ensuite, les éléments de l'ordinal αあるふぁ dans l'ordre sont écrits à gauche des éléments de βべーた, de sorte qu'on définit un ordre sur αあるふぁ∪βべーた dans lequel tout élément de αあるふぁ est strictement plus petit que tout élément de βべーた. Les ordinaux αあるふぁ et βべーた conservent leur ordre initial.

Plus précisément on considère l'union disjointe $\alpha \sqcup \beta$ de αあるふぁ et βべーた, c'est-à-dire l'ensemble $(\{0\}\times \alpha )\cup (\{1\}\times \beta )$ que l'on ordonne lexicographiquement : $(i,\gamma )<(j,\gamma ')$ si et seulement si $i<j$ ou ( $i=j$ et $\gamma <\gamma '$ ).

De cette façon, on définit un bon ordre sur $\alpha \sqcup \beta$ ; cet ensemble bien ordonné est isomorphe à un unique ordinal que l'on note αあるふぁ + βべーた.

On peut également définir la somme par récurrence transfinie de la façon suivante :

$\alpha +0=\alpha$
$\alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1$
si $\beta$ est un ordinal limite, alors $\alpha +\beta =\cup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma )$ , ordinal limite (ou borne supérieure) des $\alpha +\gamma$ pour $\gamma <\beta$ .

On vérifie facilement (par induction transfinie) que les deux définitions coïncident.

Donnons quelques exemples.

Si αあるふぁ et βべーた sont des ordinaux finis, c'est-à-dire des entiers naturels, alors leur somme au sens ordinal est égale à leur somme au sens arithmétique.

ωおめが est le premier ordinal infini, correspondant à l'ensemble des entiers naturels. Essayons de visualiser ωおめが + ωおめが. Deux copies de ωおめが sont placées l'une à la suite de l'autre. Si nous notons {0<1<2<...} la première copie et {0'<1'<2', …} la deuxième copie, alors ωおめが + ωおめが ressemble à ceci :

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

Cet ordinal est différent de ωおめが car dans ωおめが, 0 est le seul élément à ne pas avoir de prédécesseur direct, alors que dans ωおめが + ωおめが, 0 et 0' n'ont pas de prédécesseurs directs.

Considérons maintenant 3 + ωおめが et ωおめが + 3.

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'

Après renommage, le premier est comparable à ωおめが lui-même, mais pas le deuxième. On a donc 3 + ωおめが = ωおめが mais ωおめが < ωおめが + 3. On peut voir également, en utilisant la définition formelle, que ωおめが + 3 est le successeur de ωおめが + 2 alors que 3 + ωおめが est un ordinal limite, à savoir l'ordinal limite réunion de 3 + 0, 3 + 1, 3 + 2, … qui n'est autre que ωおめが lui-même.

Ainsi, l'addition n'est pas commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

On peut également montrer que :

\alpha <\beta \Longrightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma \quad {\text{et}}\quad \gamma +\alpha <\gamma +\beta

.

A fortiori, il y a une simplification à gauche :

\gamma +\alpha =\gamma +\beta \Longrightarrow \alpha =\beta

.

À droite, on n'a rien de tel, puisque 3 + ωおめが = 0 + ωおめが.

On a

\alpha \leq \beta \Leftrightarrow \exists \gamma \;(\beta =\alpha +\gamma )

.

La solution $\gamma$ (unique par simplification à gauche) est parfois notée –αあるふぁ + βべーた^[6]. C'est l'ordinal isomorphe à l'ensemble bien ordonné βべーた\αあるふぁ.

Multiplication

Pour multiplier deux ordinaux αあるふぁ et βべーた, on écrit dans l'ordre les éléments de βべーた, et l'on remplace chacun d'eux par différentes copies de la liste ordonnée des éléments de αあるふぁ.

Plus précisément on considère le produit cartésien αあるふぁ×βべーた que l'on ordonne lexicographiquement par la droite : $(\gamma _{1},\gamma _{2})<(\gamma '_{1},\gamma '_{2})$ ssi $\gamma _{2}<\gamma '_{2}$ ou $\gamma _{2}=\gamma '_{2}$ et $\gamma _{1}<\gamma '_{1}$ .

On obtient un ensemble bien ordonné qui est isomorphe à un unique ordinal, noté αあるふぁβべーた.

On peut également définir le produit par récurrence transfinie :

$\alpha 0=0$
$\alpha (\beta +1)=\alpha \beta +\alpha$
si $\beta$ est un ordinal limite, $\alpha \beta =\cup _{\gamma <\beta }(\alpha \gamma )$ , ordinal limite (ou borne supérieure) des $\alpha \gamma$ pour $\gamma <\beta$ .

Comme pour la somme, on montre facilement par induction transfinie que les deux définitions coïncident. Lorsqu'on les applique à des ordinaux finis on retrouve le produit usuel des entiers naturels.

Voici ωおめが2 :

0₀ < 1₀ < 2₀ < 3₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < 3₁ < ...

et l'on voit que ωおめが2 = ωおめが + ωおめが.

Par contre, 2ωおめが ressemble à ceci :

0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ < ...

de sorte que 2ωおめが = ωおめが. La multiplication des ordinaux n'est donc pas commutative. Par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

Les principales autres propriétés du produit sont :

$\alpha 1=1\alpha =\alpha$ ;
$\alpha \beta =0\Leftrightarrow (\alpha =0$ ou $\beta =0)$ ;
$\alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma$ $\alpha (\beta +\gamma )=\alpha \beta +\alpha \gamma$ (distributivité à gauche).
- a fortiori, $(\alpha <\beta$ $(\alpha <\beta$ et $\gamma >0)\Rightarrow \gamma \alpha <\gamma \beta$ $\gamma >0)\Rightarrow \gamma \alpha <\gamma \beta$ ;
  - en particulier, $(\gamma \alpha =\gamma \beta$ et $\gamma >0)\Rightarrow \alpha =\beta$ (simplification à gauche)
    mais on n'a pas les analogues à droite. Par exemple, on a vu que 2ωおめが = 1ωおめが ;
soit αあるふぁ un ordinal et βべーた > 0, il existe un unique couple (γがんま, δでるた) tel que δでるた < βべーた et αあるふぁ = βべーたγがんま + δでるた (division à droite analogue à la division euclidienne sur les entiers).

Exponentiation

Pour un exposant fini, on peut se ramener au produit. Par exemple, ωおめが² = ωおめがωおめが. Mais on peut visualiser cet ordinal comme l'ensemble des couples d'entiers, ordonné selon l'ordre lexicographique suivant, où l'ordre sur les entiers de droite a plus de poids que l'ordre sur les entiers de gauche :

(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...

et de même, pour un n fini, ωおめがⁿ peut-être vu comme l'ensemble des n-uplets d'entiers.

Si on tente d'étendre ce procédé à ωおめが^ωおめが, on obtient :

(0,0,0,...) < (1,0,0,0,...) < (2,0,0,0,...) < ... <

(0,1,0,0,0,...) < (1,1,0,0,0,...) < (2,1,0,0,0,...) < ... <

(0,2,0,0,0,...) < (1,2,0,0,0,...) < (2,2,0,0,0,...)

< ... <

(0,0,1,0,0,0,...) < (1,0,1,0,0,0,...) < (2,0,1,0,0,0,...)

< ...

Chaque élément du tableau est une suite infinie d'entiers, mais si l'on prend des suites quelconques, l'ordre ainsi défini n'est pas un bon ordre. Par exemple, cette suite infinie est strictement décroissante :

(1,1,1,...) > (0,1,1,1,...) > (0,0,1,1,1,...) > ...

Pour obtenir un bon ordre, on se limite aux suites d'entiers n'ayant qu'un nombre fini d'éléments non nuls : étant donnés deux ordinaux αあるふぁ et βべーた, on considère l'ensemble αあるふぁ^{(βべーた)} des fonctions de βべーた dans αあるふぁ dont le support est fini (le support de $f:\beta \rightarrow \alpha$ est l'ensemble des $\gamma \in \beta$ tels que $f(\gamma )\neq 0$ ). Soient $f$ et $g$ deux telles fonctions. On pose $f < g$ s'il existe $\gamma _{0}\in \beta$ tel que

f(\gamma _{0})<g(\gamma _{0})\quad {\text{ et }}\quad \forall \gamma >\gamma _{0},\;f(\gamma )=g(\gamma )

.

On vérifie que αあるふぁ^{(βべーた)} est alors bien ordonné, donc isomorphe à un unique ordinal noté αあるふぁ^βべーた. Dans le cas où βべーた est fini, on voit immédiatement que αあるふぁ^{(βべーた)} = αあるふぁαあるふぁ…αあるふぁ (produit de βべーた termes). Dans le cas où αあるふぁ = ωおめが, l'ordre que l'on a construit sur ωおめが^{(βべーた)} est connu sous le nom d'ordre multiensemble.

Comme pour la somme et le produit, on peut également définir αあるふぁ^βべーた par récurrence transfinie de la façon suivante :

$\alpha ^{0}=1$
$\alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\alpha$
si $\beta$ est un ordinal limite alors $\alpha ^{\beta }=\cup _{\gamma <\beta }(\alpha ^{\gamma })$ .

Voici quelques propriétés de l'exponentiation :

$\alpha ^{\beta }=0\Leftrightarrow (\alpha =0\land \beta >0)$ ;
$\alpha ^{\beta }=1\Leftrightarrow (\alpha =1\lor \beta =0)$ ;
$\alpha ^{\beta }\alpha ^{\delta }=\alpha ^{\beta +\delta }$ $\alpha ^{\beta }\alpha ^{\delta }=\alpha ^{\beta +\delta }$ ;
- a fortiori, $(\beta <\gamma \land \alpha >1)\Rightarrow \alpha ^{\beta }<\alpha ^{\gamma }$ $(\beta <\gamma \land \alpha >1)\Rightarrow \alpha ^{\beta }<\alpha ^{\gamma }$ ;
  - en particulier, $(\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\gamma }\land \alpha >1)\Rightarrow \beta =\gamma$
    mais on n'a pas d'analogues par rapport à l'autre argument. Par exemple, $2^{\omega }=\omega =(2.2)^{\omega }\neq 2^{\omega }2^{\omega }$ ;
$\alpha \leq \beta \Rightarrow \alpha ^{\gamma }\leq \beta ^{\gamma }$ ;
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^{\beta \gamma }$ ;
si βべーた > 0 et αあるふぁ > 1, alors il existe un unique ordinal $\delta$ tel que $\alpha ^{\delta }\leq \beta <\alpha ^{\delta +1}$ .

Remarque : on prendra garde que l'exponentiation des ordinaux n'a que peu de rapport avec l'exponentiation des cardinaux. Par exemple, $2^{\omega }=\omega$ est un ordinal dénombrable, alors que, dans les cardinaux, $2^{\aleph _{0}}$ désigne le cardinal de ${\mathcal {P}}(\aleph _{0})$ , ensemble des parties de $\aleph _{0}$ , et a la puissance du continu. L'ambiguïté est levée si on convient d'utiliser les lettres grecques en calcul ordinal et la lettre $\aleph$ pour les cardinaux.

La suite des ordinaux transfinis commence comme suit :

\omega <\omega +1<\omega +2<\dots <\omega +\omega =\omega 2<\dots <\omega 3<\dots <\omega \omega =\omega ^{2}<\dots <\omega ^{\omega }<\dots <\omega ^{\omega ^{\omega }}<\dots

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et $\omega$ . Le plus petit d'entre eux est appelé εいぷしろん₀ et vaut $\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}$ . C'est le plus petit ordinal solution de l'équation $x=\omega ^{x}$ . On peut ensuite définir εいぷしろん₀^{εいぷしろん₀}, εいぷしろん₀^{εいぷしろん₀^{εいぷしろん₀}}, etc. jusqu'à εいぷしろん₁, deuxième solution de $x = ω おめが x$ .

On peut de même définir εいぷしろん₂, εいぷしろん₃, … , εいぷしろん_ωおめが, … , εいぷしろん_{εいぷしろん₀}…

Tous ces ordinaux, construits en utilisant les opérations successeur et limite d'ordinaux déjà construits, sont dénombrables. On désigne par Ωおめが, ou ωおめが₁, le premier ordinal non dénombrable. Il contient tous les ordinaux dénombrables. Toute suite définie dans Ωおめが admet un majorant dans Ωおめが, la réunion de ses éléments (qui est un ordinal dénombrable).

Forme normale de Cantor

On peut généraliser aux ordinaux la notation en base dix usuelle des entiers naturels. En prenant comme base un ordinal λらむだ ≥ 2, tout ordinal αあるふぁ ≥ 1 s'écrit de façon unique

\alpha =\lambda ^{\beta _{1}}\delta _{1}+\lambda ^{\beta _{2}}\delta _{2}+\cdots +\lambda ^{\beta _{k}}\delta _{k}

avec k un entier naturel, βべーた₁ > ... > βべーた_k et pour i ≤ k, 0 < δでるた_i < λらむだ.

Mais cette écriture en base λらむだ n'est utile que pour les ordinaux αあるふぁ strictement inférieurs à la limite de λらむだ, λらむだ^λらむだ, λらむだ^{(λらむだ^λらむだ)}, ... En effet la limite μみゅー de cette suite vérifie μみゅー = λらむだ^μみゅー, qui est sa forme normale de Cantor en base λらむだ, laquelle forme est sans intérêt. En base 10, on ne peut donc atteindre que les ordinaux finis, c'est-à-dire les entiers naturels.

En base ωおめが, on pose εいぷしろん₀ le plus petit ordinal tel que $\omega ^{\varepsilon _{0}}=\varepsilon _{0}$ (la limite des puissances de ωおめが). En mettant également les βべーた_i sous forme normale, un ordinal αあるふぁ < εいぷしろん₀ s'écrit en base ωおめが par exemple

\alpha =\omega ^{\omega ^{\omega 6+42}\cdot 1729+\omega ^{9}+88}+\omega ^{\omega ^{\omega }}+65537

Les opérations sur les ordinaux sont simples sous forme normale :

l'addition ωおめが^βべーたc + ωおめが^βべーた'c'=
- ωおめが^βべーた'c' si βべーた<βべーた'
- est déjà sous forme normale si βべーた>βべーた'
- ωおめが^βべーた(c+c') si βべーた=βべーた'
la multiplication reste ωおめが^βべーたc.ωおめが^βべーた'c = ωおめが^{βべーた+βべーた'}c.

On notera une variante de cette forme normale qui écrit :

$\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$

en forçant $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}=1$ avec cette fois-ci des répétitions possibles :

$\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}$ .

Utilisation des ordinaux

En dehors d'utilisations spécifiques à la théorie des ensembles, les ordinaux se rencontrent dans les domaines suivants :

En arithmétique

Le théorème de Goodstein est un théorème d'arithmétique dont la démonstration repose sur la théorie des ordinaux. Ce théorème pose la question de savoir si une certaine suite à valeurs entières finit par prendre la valeur 0. On associe à cette suite d'entiers une suite d'ordinaux strictement décroissante. Compte tenu du bon ordre des ordinaux, une telle suite est effectivement finie. La suite possède une définition relativement simple, pourtant on peut démontrer que le théorème de Goodstein n'est pas démontrable en utilisant uniquement les propriétés de l'arithmétique usuelle et donc que l'utilisation des ordinaux infinis permet de démontrer des résultats arithmétiques indécidables dans l'arithmétique.

En analyse

Les ordinaux ont été définis par Cantor à la suite de ses études sur la convergence des séries trigonométriques. Si une telle série $\sum a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$ est nulle sur $\mathbb {R}$ , alors tous les coefficients $a n$ et $b n$ sont nuls. Cantor va chercher à affaiblir les hypothèses en réduisant le domaine sur lequel la série s'annule. Il montre que le résultat reste vrai si la série est nulle sauf en un nombre fini de points. Puis il introduit la notion suivante. Si P est une partie d'un segment [a, b], il définit l'ensemble dérivé de P, noté P¹, comme l'ensemble des points d'accumulation de P ou, de manière équivalente, comme l'ensemble P duquel ont été retirés tous les points isolés. Pour tout entier n, il définit Pⁿ⁺¹ comme étant le dérivé de l'ensemble Pⁿ. Il montre que, si la série trigonométrique est nulle sur $[0, 2 π ぱい]$ en dehors d'un ensemble P pour lequel l'un des Pⁿ est vide, alors les coefficients sont nuls.

Cherchant à prolonger ce résultat si les Pⁿ sont tous non vides, il définit alors $P^{\omega }=\cap _{n\in \mathbb {N} }P^{n}$ , puis P^{ωおめが+1} comme étant le dérivé de P^ωおめが. D'une manière générale, on définit, pour tout ordinal αあるふぁ, l'ensemble P^{αあるふぁ+1} comme étant l'ensemble dérivé de P^{αあるふぁ}, et si αあるふぁ est un ordinal limite, P^{αあるふぁ} comme étant $\cap _{\beta <\alpha }P^{\beta }.$

René Baire reprendra cette démarche pour la convergence simple des suites de fonctions continues vers une fonction discontinue. Il définit une partie réductible P comme une partie pour laquelle il existe un ordinal αあるふぁ tel que P^{αあるふぁ} soit vide. Baire montre ensuite que si $f$ est une fonction telle que l'ensemble des points où elle est discontinue est un ensemble réductible, alors $f$ est limite simple d'une suite de fonctions continues.

Dans le cas contraire, la suite des P^{αあるふぁ} se stabilise avant l'ensemble P^Ωおめが, où Ωおめが désigne, à nouveau, le premier ordinal non dénombrable. On montre que P^Ωおめが est un ensemble parfait.

En topologie

Soit αあるふぁ un ordinal. Notons [0, αあるふぁ] l'ensemble des ordinaux inférieurs ou égaux à αあるふぁ. Cet ensemble peut être muni d'une structure topologique : la topologie de l'ordre, dont une prébase d'ouverts est constituée des parties {x | x > βべーた} et {x | x < βべーた} pour tout ordinal βべーた inférieur ou égal à αあるふぁ. Ces topologies sont sources de nombreux exemples et contre-exemples.

Ainsi, si l'on prend αあるふぁ = ωおめが, alors [0, ωおめが[ est l'ensemble ℕ muni de sa topologie discrète usuelle. Son compactifié d'Alexandrov est [0, ωおめが].

Si l'on prend αあるふぁ = ωおめが₁, le premier ordinal non dénombrable (noté ci-dessus Ωおめが), alors aucune suite strictement inférieure à ωおめが₁ ne peut converger vers ωおめが₁, bien que ωおめが₁ appartienne à l'adhérence de [0, ωおめが₁[. En particulier, ωおめが₁ n'admet pas de base dénombrable de voisinages et c'est le seul point de [0, ωおめが₁] qui soit dans ce cas.

Dans tout espace [0, αあるふぁ], les points de la forme βべーた + 1 sont isolés. L'espace [0, αあるふぁ] est compact. Les espaces [0, αあるふぁ] et [0, αあるふぁ[ sont normaux. La planche de Tychonoff [0, ωおめが₁]×[0, ωおめが] est normale mais pas complètement normale. La planche de Tychonoff épointée, [0, ωおめが₁]×[0, ωおめが] \ {(ωおめが₁, ωおめが)}, est complètement régulière mais n'est pas normale. L'espace [0, ωおめが₁] est complètement normal, mais pas parfaitement normal. L'espace [0, ωおめが₁]×[0, ωおめが₁] \ {(ωおめが₁, ωおめが₁)} est faiblement normal mais pas normal.

Une construction similaire donne naissance à la longue droite, un espace topologique analogue à la droite réelle, mais « beaucoup plus long ».

Notes

↑ Hapax : zéroième sur le CNRTL.
↑ Cette notation, due à Georg Cantor, a été largement adoptée et est désormais employée dans la plupart des branches des mathématiques.
↑ Par exemple, dans les quatre formules correspondantes de Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] (p. 14 de la traduction en anglais de 1971), la première n'exprime pas l'antiréflexivité mais l'asymétrie, ce qui, pour une relation transitive, est équivalent.
↑ Une formulation équivalente a été donnée par Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions], p. 93, qui définit un ordinal comme « un ensemble bien ordonné αあるふぁ tel que s(ξくしー) = ξくしー pour tout ξくしー dans αあるふぁ », s(ξくしー) étant la section commençante des minorants stricts de ξくしー ; la transitivité, l'antiréflexivité, et même la nature de l'ordre strict (l'appartenance) sont alors des conséquences de la définition.
↑ Les utilisateurs habitués à la récurrence usuelle peuvent penser qu'il faut aussi ajouter le « cas de base » $\varphi (0)$ . Il n'en est rien, en raison de la définition de l'implication, et des propriétés de l'ensemble vide qui en résultent ; on trouvera plus de précisions dans le § « Récurrence bien fondée » de l'article sur le raisonnement par récurrence.
↑ (en) Abhijit Dasgupta, Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets, Springer, 2014 (lire en ligne), p. 190-191.

Articles connexes

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ordinal, sur le Wiktionnaire

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[1] Hapax : zéroième sur le CNRTL.

[2] Cette notation, due à Georg Cantor, a été largement adoptée et est désormais employée dans la plupart des branches des mathématiques.

[3] Par exemple, dans les quatre formules correspondantes de Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] (p. 14 de la traduction en anglais de 1971), la première n'exprime pas l'antiréflexivité mais l'asymétrie, ce qui, pour une relation transitive, est équivalent.

[4] Une formulation équivalente a été donnée par Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions], p. 93, qui définit un ordinal comme « un ensemble bien ordonné αあるふぁ tel que s(ξくしー) = ξくしー pour tout ξくしー dans αあるふぁ », s(ξくしー) étant la section commençante des minorants stricts de ξくしー ; la transitivité, l'antiréflexivité, et même la nature de l'ordre strict (l'appartenance) sont alors des conséquences de la définition.

[5] Les utilisateurs habitués à la récurrence usuelle peuvent penser qu'il faut aussi ajouter le « cas de base » $\varphi (0)$ . Il n'en est rien, en raison de la définition de l'implication, et des propriétés de l'ensemble vide qui en résultent ; on trouvera plus de précisions dans le § « Récurrence bien fondée » de l'article sur le raisonnement par récurrence.

[6] (en) Abhijit Dasgupta, Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets, Springer, 2014 (lire en ligne), p. 190-191.

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v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π ぱい$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φふぁい) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante de Neper ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif