Rendszám (halmazelmélet)
A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.
Definíció[szerkesztés]
Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.
Alaptulajdonságok[szerkesztés]
Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az
- irreflexivitás:
α <α sosem igaz, - tranzitivitás: ha
α <β <γ akkorα <γ , - trichotómia: ha
α ,β rendszámok, akkorα <β ,α =β ésβ <α közül pontosan az egyik igaz. - jólrendezés: rendszámok tetszőleges nemüres halmazának vagy osztályának van legkisebb eleme.
- egy
α rendszámnál kisebb rendszámok jólrendezett halmazt alkotnak, melynek rendszámaα .
Rendszámok osztályozása[szerkesztés]
A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.
- Ha A üres, akkor a rendszám a nulla.
- Ha A-nak van legnagyobb
β eleme, akkor a szóban forgó rendszámβ rákövetkezője. - Egyébként pedig limeszrendszám.
Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az
Műveletek[szerkesztés]
Összeadás[szerkesztés]
az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.
Formálisan: ha jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az halmazon a lexikografikus rendezés (, ha ) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük rendszámai összegének.
Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen . Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg .)
Szorzás[szerkesztés]
Hatványozás[szerkesztés]
A rendszámok nem alkotnak halmazt,[szerkesztés]
hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy
A Neumann-féle rendszámfogalom[szerkesztés]
Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám: , , , …
Megjegyzés[szerkesztés]
Valójában nem definiálhatjuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, mert ahhoz, hogy az működjön, már szükség van rendszámokra, tehát fölhasználnánk őket önmaguk definiálásához.
Ezért kerülő úton kell definiálni a Neumann-féle halmazokat:
Egy X halmazt Neumann-rendszámnak nevezünk, ha
- X tranzitív, azaz esetén ;
- jólrendezett.
Az így definiált Neumann-rendszámok ugyanazok, mint amiket transzfinit rekurzióval építenénk föl. Azt, hogy ez megfelelő rendszámdefiníció, a következő tétel garantálja: Minden jólrendezett halmazhoz egyértelműen létezik vele izomorf Neumann-rendszám.