Ángulo inscrito
En xeometría, un ángulo inscrito é o ángulo formado no interior dun círculo cando dúas rectas secantes (ou, no caso límite, cando unha recta secante e unha recta tanxente á circunferencia) intersecta na circunferencia.[1] Tamén pódese definir como o ángulo subtendido nun punto da circunferencia por dous puntos dados da circunferencia. Ao fixar estes puntos, todos os ángulos da mesma amplitude que subtenden a corda definida polos puntos están nun mesmo arco de circunferencia, que é o arco capaz.
Outra definición equivalente é a de que un ángulo inscrito está definido por dúas cordas que cordas do círculo que comparten un extremo.
O teorema do ángulo inscrito relaciona a amplitude dun ángulo inscrito á do ángulo central subtendido polo mesmo arco.[2]
Teorema[editar | editar a fonte]
Enunciado[editar | editar a fonte]
O teorema do ángulo inscrito expón que un ángulo
Proba[editar | editar a fonte]
Ángulos inscritos onde unha corda é un diámetro[editar | editar a fonte]
Sexa O o centro da circunferencia, ao xeito do debuxo. Escollemos dous puntos na circunferencia, que serán V e A. Estendemos a recta VO de xeito que intersecta a circunferencia no punto B, que é diametralmente oposto ao punto V. Debuxamos un ángulo cuxo vértice é o punto V e cuxos costados pasan polos puntos A e B.
Debuxamos a recta OA. O ángulo BOA é un ángulo central e chamarémolo
Os ángulos BOA e AOV son suplementarios, xa que suman 180° porque a recta VB que atravesa O é unha liña recta. Daquela, o ángulo AOV mide 180° −
É un resultado coñecido que os tres ángulos dun triángulo suman 180°, e os tres ángulos do triángulo VOA son:
- 180° −
θ ψ ψ .
Daquela,
Restando 180° a ámbolos dous lados,
onde
Ángulos inscritos co centro do círculo no seu interior[editar | editar a fonte]
Dado unha circunferencia cuxo centro é o punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas VC e VD, formando o ángulo inscrito DVC. Logo trazamos a recta VO estendéndoa pasando polo punto O e intersectando o circunferencia no punto E. O ángulo DVC está subtendido polo arco DC da circunferencia.
Supoñemos que este arco inclúe o punto E dentro del. O punto E é diametralmente oposto ao punto V. Os ángulos DVE e EVC son tamén ángulos inscritos, mais estes ángulos teñen un costado que pasa polo centro do círculo, polo que podémoslle aplicar o teorema anterior.
Daquela,
logo sexan
conque
Debuxamos as rectas OC e OD. O ángulo DOC é un ángulo central, mais tamén os ángulos DOE e EOC, e
Sexa
De modo que
Temos que e , que ámbolos dous combinados coa ecuación (2), obtemos
Daquela, pola ecuación (1),
Ángulos inscritos co centro do círculo no seu exterior[editar | editar a fonte]
O caso anterior pode ser estendido para cubrir o caso onde a amplitude do ángulo inscrito é a diferenza entre dous ángulos inscritos, como se verá na primeira parte desta proba.
Dado unha circunferencia con centro no punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas VC e VD, definindo o ángulo inscrito DVC. Despois estendemos a recta VO a fin de que atravese o punto O e intersectando a circunferencia no punto E. Así, o arco DC subtende o ángulo DVC.
Supoñemos que este arco non inclúe o punto E nel. Sabemos que o punto E é diametralmente oposto a V. Os ángulos EVD e EVC son ángulos inscritos, mais ámbolos dous teñen un costado que pasa polo centro O, polo que se lles pode aplicar o teorema anterior
Daquela,
entón sexan
deste xeito
Trazamos as rectas OC e OD e formamos o ángulo DOC, que é un ángulo central, como tamén o son EOD e EOC, e
Sexa
entón
Temos que e , que combinas ámbolos dous resultados coa ecuación (2) obtemos
Por tanto, pola ecuación (3),
Corolarios[editar | editar a fonte]
Por un argumento similar, o ángulo entre unha corda e a recta tanxente a unha dos puntos de intersección é igual a metade do ángulo central subtendido pola corda.
Dous resultados directos do teorema sería:
- Dous ángulos inscritos que subtenden o mesmo arco teñen a mesma amplitude.
- Dous ángulos inscritos que subtenden arcos complementarios (que xuntos forman a circunferencia toda) son suplementarios.
Aplicacións[editar | editar a fonte]
O teorema do ángulo inscrito é utilizado en moitas probas de xeometría euclidiana no plano. Un caso especial é o do teorema de Tales, que expón que o ángulo subtendido polo diámetro é sempre un ángulo recto, 90º.
Outra consecuencia é que os ángulos de oposto de cuadrilátero cíclico suman 180° e ao revés, calquera cuadrilátero para o cal isto é certo é inscribíbel nunha circunferencia.[3]
Outro exemplo, o teorema do ángulo inscrito é parte da base de varios teoremas relacionados coa potencia dun punto respecto á circunferencia. Entre eles, permite demostrar que cando dúas cordas intersectan dentro da circunferencia, os produtos das lonxitudes das súas partes son iguais.[4]
Par de arcos capaces[editar | editar a fonte]
Debido para dous puntos fixos A e B, o conxunto de puntos M do plano para os cales o ángulo AMB é igual a
Pódese observar que os puntos A e B non comparten das propiedades do lugar xeométrico. Por exemplo, a circunferencia ten como unha das súas características ser un par de arcos capaces dos puntos que enxergan o seu diámetro AB a 90º, exceptuando-se os puntos A e B do propio diámetro.
Proceso de construción[editar | editar a fonte]
Arcos menores do que 90º[editar | editar a fonte]
Os pasos para a construción do par de arcos capaces dun ángulo
- Deseñar un ángulo
α (α =60º na figura), tal que B sexa o vértice e AB un dos segmentos que o forma. - No lado oposto, trazar o ángulo complementario, é dicir, 90º-
α (neste caso, o de 30º). - Determinar o punto O mediante a intersección da mediatriz de AB co costado do ángulo de 90º-
α . Este é o centro dun dos arcos capaces deα °. - A fin de achar o outro arco, este pode ser obtido por simetría en relación ao segmento AB.
Arcos maiores do que 90º[editar | editar a fonte]
O arco de circunferencia desprezado na construción do arco capaz de
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Moise et al. 1990, p. 233.
- ↑ Ogilvy et al. 1990, p. 7.
- ↑ Gellert et al. 1975, p. 250.
- ↑ Ogilvy et al. 1990, p. 23.
- ↑ Marmo & Marmo 1994, p. 101.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Bibliografía[editar | editar a fonte]
- Gellert; Küstner; Hellwich; Kästner (1975). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. Springer US. ISBN 978-1-4684-8239-3.
- Moise, Edwin (1990). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison Wesley. ISBN 9780201508673.
- Ogilvy, C. Stanley (1990). Excursions in geometry. Dover Publications. ISBN 0-486-26530-7.
- Marmo, Carlos; Marmo, Nicolau (1994). Desenho geométrico. ISBN 85-262-1868-9.
- Putnoki, José Carlos (1993). Elementos Geometria E Desenho Geometrico 1. ISBN 978-8526214675.