שוויון פרסבל – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה אחרונה מ־10:08, 11 ביולי 2024

שוויון פרסבל הוא זהות מתמטית אשר מקשרת בין מקדמי טור פורייה לבין הפונקציה היוצרת אותם. שוויון זה, אשר נכתב על ידי מארק אנטואן פרסבל, משמש ככלי חשוב באנליזה הרמונית. בהנדסה, בתחומי התקשורת ועיבוד האותות מייחסים לשוויון את הקשר בין שימור האנרגיה של האות במרחב התדר למרחב הזמן.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל פונקציה מחזורית בקטע $[-\pi ,\pi ]$ אשר מקיימת תנאים מסוימים (תנאי דיריכלה), ניתנת לייצוג כטור פונקציות אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:

f(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{inx}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}

הזהות מציגה את הקשר בין הנורמה של הפונקציה למקדמי טור פורייה שלה באופן הבא: סכום ריבועי הערכים המוחלטים של מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין). בנוסחה:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx

כאשר $c_{n}$ הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה $f$ ונתון על ידי

c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx

זהות זו היא מקרה פרטי של שוויון פלנשרל וניתן להוכיחה באמצעות אורתוגונליות.

תנאים מספיקים לקיום השוויון, כלומר סוג של תנאי דיריכלה:

הנגזרת החד צדדית של הפונקציה, הימנית והשמאלית, קיימת בכל נקודה. בנוסף, קיימת נגזרת שמאלית בנקודת סוף המחזור ונגזרת ימנית בתחילת המחזור.
הפונקציה רציפה בכל נקודה.
ובנוסף ערך הפונקציה בתחילת המחזור שווה לערכה בסוף המחזור (כלומר רציפות על פני המחזורים).

הגדרה הנדסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר $f$ :

E=\int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}~\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }|X(f)|^{2}~\mathrm {d} f

כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר. בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית $\omega$ להוסיף נרמול בגורם של $2\pi$ .

E=\int _{-\infty }^{+\infty }|x(t)|^{2}~\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }|X(\omega )|^{2}~\mathrm {d} \omega

צורות כתיבה נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שוויון פרסבל המוכלל: ${\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx$ כאשר a_0, a_n ו־b_n הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה $f$ .
עבור מערכת אורתונורמלית שלמה $\left\{u_{i}\right\}_{i\in n}$ במרחב הילברט $H$ , אם $x\in H$ איבר כלשהו, אז ניתן להציג את $x,y$ כך: $x=\sum _{i\in n}\langle x,u_{i}\rangle u_{i}$ . ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
שוויון פרסבל עם מכפלה פנימית: $\sum _{i\in n}\left|\langle x,u_{i}\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}$ .
שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית: $\sum _{i\in n}\langle x,u_{i}\rangle {\overline {\langle y,u_{i}\rangle }}=\langle x,y\rangle$ .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

סמי זעפרני, אלן פנקוס, טורי פוריה והתמרות אינטגרליות, 1997, הוצאת הטכניון.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שוויון פרסבל, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 == הגדרה מתמטית ==
 כל [[פונקציה מחזורית]] בקטע <math>[ -\pi , \pi ]</math> אשר מקיימת תנאים מסוימים ([[תנאי דיריכלה]]), ניתנת לייצוג כ[[טור פונקציות]] אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:
 : <math>f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{i n x} = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} </math>
@@ שורה 8: / שורה 7: @@
 הזהות מציגה את הקשר בין ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של הפונקציה למקדמי [[טור פורייה]] שלה באופן הבא: סכום ריבועי הערכים המוחלטים של מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין). בנוסחה:
 :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx</math>
-כאשר ''c''<sub>''n''</sub> הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה ''&fnof;'' ונתון על ידי
+כאשר <math>c_n</math> הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה <math>f</math> ונתון על ידי
-: <math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>
+: <math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx</math>
 זהות זו היא מקרה פרטי של [[טור פורייה|שוויון פלנשרל]] וניתן להוכיחה באמצעות [[אורתוגונליות]].
@@ שורה 19: / שורה 18: @@
 == הגדרה הנדסית==
-האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר f.
+האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר <math>f</math>:
-<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2~\mathrm df.</math>
+:<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |X(f)|^2~\mathrm df</math>
-כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר.{{ש}}
+כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר. בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית <math>\omega</math> להוסיף נרמול בגורם של <math>2\pi</math>.
-בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית ωおめが להוסיף נרמול בפקטור של 2πぱい.
-<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(\omega)|^2~\mathrm d\omega.</math>
+:<math display="block">E=\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2~\mathrm dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2~\mathrm d\omega</math>
 == צורות כתיבה נוספות ==
-# '''שוויון פרסבל המוכלל''': <math>\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math> כאשר ''a''<sub>''0,''</sub> ''a''<sub>''n''</sub> ו ''b''<sub>''n''</sub> הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה ''&fnof;''.
+# '''שוויון פרסבל המוכלל''': <math>\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx</math> כאשר ''a''<sub>''0,''</sub> ''a''<sub>''n''</sub> ו־''b''<sub>''n''</sub> הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה <math>f</math>.
-# עבור [[מערכת אורתונורמלית שלמה]] <math>\ \left\{u_i\right\}_{i\in n}</math> במרחב הילברט <math>\ H</math>, אם <math>\ x\isin H</math> איבר כלשהו, אז ניתן להציג את <math>\ x, y</math> כך: <math>\ x=\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle u_i</math>. ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
+# עבור [[מערכת אורתונורמלית שלמה]] <math>\left\{u_i\right\}_{i\in n}</math> במרחב הילברט <math>H</math>, אם <math>x\isin H</math> איבר כלשהו, אז ניתן להציג את <math>x, y</math> כך: <math>x=\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle u_i</math>. ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
-# '''שוויון פרסבל עם מכפלה פנימית''': <math>\ \sum_{i\in n}\left|\langle x,u_i\rangle\right|^2=\|x\|^2</math>.
+# '''שוויון פרסבל עם [[מכפלה פנימית]]''': <math>\sum_{i\in n}\left|\langle x,u_i\rangle\right|^2=\|x\|^2</math>.
-# '''שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית''': <math>\ \sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle\overline{\langle y,u_i\rangle}=\langle x,y\rangle</math>.
+# '''שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית''': <math>\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle\overline{\langle y,u_i\rangle}=\langle x,y\rangle</math>.
 == ראו גם ==