σしぐま-algebra

A σしぐま-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

Axiómák

Legyen $\Omega$ tetszőleges halmaz, ${\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazainak egy halmaza.

Az ${\mathcal {A}}$ halmazt az $\Omega$ halmaz feletti σしぐま-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. ${\mathcal {A}}$ nem üres, azaz ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$ .

2. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely eleme ( $\Omega$ -ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}}$ .

3. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz $A_{i}\in {\mathcal {A}}(i\in \mathbb {N} )\Rightarrow \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ .

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az $\bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}$ -t régies jelöléssel $\sum _{i=0}^{\infty }A_{i}$ -nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σしぐま-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az " ${\mathcal {A}}$ tartalmazza az üres halmazt ( $\emptyset$ -t, avagy a valószínűségszámításban a lehetetlen eseményt)", akár az " ${\mathcal {A}}$ tartalmazza az univerzális halmazt ( $\Omega$ -t, avagy a valószínűségszámításban a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az $\emptyset \in {\mathcal {A}}$ , vagy akár az $\Omega \in {\mathcal {A}}$ axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az " ${\mathcal {A}}$ zárt a különbségképzésre", azaz $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ axiómával is.

Mérhető tér

Az $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ rendezett párt mérhető térnek nevezzük, ${\mathcal {A}}$ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal

A σしぐま-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λらむだ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a σしぐま-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λらむだ-rendszer és πぱい-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.^[1]

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény ^[2]

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ωおめが feletti Borel-féle halmaztest vagy σしぐま-algebra az Ωおめが részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ωおめが, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok

Halmazalgebra

Tetszőleges σしぐま-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ωおめが tartóhalmazzal (l. o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság

A halmazalgebrákhoz képest egy σしぐま-algebra a megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a de Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha $I$ tetszőleges indexhalmaz, akkor

{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}=\bigcup _{i\in I}{\overline {A}}_{i}

.

Képezve mindkét oldal komplementerét:

\bigcap _{i\in I}A_{i}={\overline {\bigcup _{i\in I}{\overline {A}}_{i}}}

.

Ha mármost σしぐま-algebrában vagyunk, azaz A₀, A₁, …, A_n, … legfeljebb megszámlálható sok tagú ${\mathcal {A}}$ -beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

\bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}={\overline {\bigcup _{i=0}^{\infty }{\overline {A}}_{i}}}

.

Ha ${\mathcal {A}}$ σしぐま-algebra, akkor ${\overline {A}}_{i}\in {\mathcal {A}}$ minden $i\in \mathbb {N}$ -re, és így az utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme ${\mathcal {A}}$ -nak, ■ QED.

Leszűkítés

Legyen Ωおめが tetszőleges halmaz, Λらむだ⊆Ωおめが és A σしぐま-algebra az Ωおめが felett. Legyen továbbá A_|Λらむだ := {X∩Λらむだ | X∈A}. Ekkor (Λらむだ, A_|Λらむだ) mérhető tér az Ωおめが felett, amit az (Ωおめが A) tér Λらむだ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ωおめが A)_|Λらむだ jelöl.

Generált algebra

Bővebben: Generált σしぐま-algebra

Igen fontos eszköz a σしぐま-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ωおめが tetszőleges halmaz, és G⊆P(Ωおめが) az Ωおめが részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ωおめが feletti σしぐま(G) σしぐま-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σしぐま-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér

Ha (Φふぁい, X) és (Ψぷさい, Y) két mérhető tér, akkor a (Φふぁい×Ψぷさい, σしぐま(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető tér által generált szorzattérnek vagy szorzat-σしぐま-algebrának mondjuk.

Példák

Tetszőleges nemüres Ωおめが halmaz felett σしぐま-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ωおめが} halmaz, ez az Ωおめが feletti triviális σしぐま-algebra.
Tetszőleges nemüres Ωおめが halmaz esetén a teljes Ωおめが⊆P(Ωおめが) halmaz is halmazalgebra, az Ωおめが feletti teljes σしぐま-algebra.
Tetszőleges véges Ωおめが halmaz feletti halmazalgebra mindig σしぐま-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti σしぐま-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ωおめが := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ωおめが} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ωおめが egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ωおめが esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σしぐま-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras Archiválva 2006. szeptember 9-i dátummal a Wayback Machine-ben (PDF-jegyzet, v. 2007. augusztus 5.).
↑ Pl. az Ψぷさい = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σしぐま-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.

További információk

Hatványhalmazok szorzatszigmaalgebrái (PDF).

[1] Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras Archiválva 2006. szeptember 9-i dátummal a Wayback Machine-ben (PDF-jegyzet, v. 2007. augusztus 5.).

[2] Pl. az Ψぷさい = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σしぐま-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.

[1]

[2]