Sigma-álgebra
Em matemática, uma
A
O uso principal das
Em estatística, (sub)
Se X = {a, b, c, d}, uma possível
Se {A1, A2, A3, …} é uma partição contável de X, então a coleção de todas as uniões de conjuntos na partição (incluindo o conjunto vazio) é uma
Um exemplo mais útil é o conjunto de subconjuntos da reta real que se forma começando com todos os intervalos abertos e a subsequente adição de todas as uniões e intersecções contáveis e complementos relativos num processo continuo (por indução transfinita através de todos os ordinais contáveis) até que as propriedades de fechamento relevantes são alcançadas (uma construção chama de hierarquia de Borel).
Motivação
[editar | editar código-fonte]Há ao menos três motivos chave para
Medida
[editar | editar código-fonte]Uma medida em X é uma função que designa um número real não negativo para subconjuntos de X; pode-se pensar que isto se trata de tornar precisa a noção de "tamanho"ou "volume" para conjuntos. É desejado que o tamanho da união de conjuntos disjuntos seja igual à soma de seus tamanhos individuais, mesmo para uma sequencia infinita de conjuntos disjuntos.
Poderia-se pensar em designar um tamanho para cada subconjunto de X, mas em vários arranjos naturais isso não é possível. Por exemplo, o axioma da escolha implica que quando o tamanho sob consideração é a noção comum de comprimento para subconjuntos da reta real, então há conjuntos para os quais não existe tamanho, por exemplo, o conjunto de Vitali. Por essa razão, consideramos uma coleção menor de subconjuntos privilegiados de X. Estes subconjuntos serão chamados de conjuntos mensuráveis. Eles estão enclausurados dentro de operações para as quais se esperaria conjuntos mensuráveis, isto é, o complemento de um conjunto mensurável é um conjunto mensurável e uma união contável de conjuntos mensuráveis é um conjunto mensurável. Coleções não vazias com estas propriedades são chamadas de
Limites de conjuntos
[editar | editar código-fonte]Muitos usos de medidas, como o conceito de probabilidade de convergência de variáveis aleatórias, envolvem limites de sequências de conjuntos. Para isso, o fechamento sob uniões contáveis e intersecções é necessário. Limites de conjuntos são definidos como se segue em
- O limite supremo de uma sequência A1, A2, A3, ..., cada qual um subconjunto de X, é
- O limite ínfimo de uma sequência A1, A2, A3, ..., cada qual um subconjunto de X, é
- Se, de fato,
- então o existe como o conjunto comum.
Sub σ -álgebras
[editar | editar código-fonte]Em grande parte da probabilidade, especialmente quando a esperança condicional está envolvida, pode-se preocupar com conjuntos que representam apenas parte de toda a informação que pode ser observada. Essa informação parcial pode ser caracterizada com uma
Imagine que você está jogando um jogo que envolve lançar uma moeda repetidamente e observar se ela cai em Cara (C) ou Coroa (Co). Uma vez que você e seus adversários são infinitamente abastados, não há limite para quanto tempo durará o jogo. Isso significa que o espaço amostral
- .
No entanto, depois de n lançamentos da moeda, você pode querer determinar ou revisar sua estratégia de aposta antes do próximo lançamento. A informação observada naquele ponto pode ser descrita em termos das 2n possibilidades para os primeiros n lançamentos. Formalmente, uma vez que você precisa usar subconjuntos de
Observe que então
- ,
onde é a menor
Definição e propriedades
[editar | editar código-fonte]Definição formal
[editar | editar código-fonte]Sendo X um conjunto, e 2X representa seu conjunto de partes ou conjunto potência. Então, X é uma
- O conjunto vazio está em X,
- Se
Σ está em X, então o mesmo ocorre para o complemento deΣ . - Se E1, E2, E3,… é uma seqüência em X, então sua união (numerável) também está em X[1].[1]
Obs: Em alguns livros a definição 1 apresenta um conjunto universo Ώ ao invés do vazio, mas não há problema pois o ΏC = vazio
De 1 e 2 segue que S está em X; de 2 e 3 segue que a
Um par ordenado (S, X), onde S é um conjunto e X é uma
Teorema de Dynkin
[editar | editar código-fonte]Este teorema (ou o teorema de classe monótona relacionado) é uma ferramenta essencial para prover várias propriedades sobre
Um sistema-
um sistema de Dynkin (ou sistema -
O teorema Dynkin
Um dos usos mais fundamentais do teorema
- para todo A na
σ -algebra Borel em R,
onde F(x) é a função distribuição acumulada para X, definida em R, enquanto é uma medida de probabilidade, definida em uma
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- Associado a um espaço amostral S podemos ter muitas diferentes sigmas-álgebras[4]. Se S é qualquer conjunto, então a coleção consistindo de apenas o conjunto vazio e S é uma
σ -álgebra sobre S, a chamadaσ -álgebra trivial. Outraσ -álgebra sobre S é dada pelo conjunto das partes de S. - Se {Xa} é uma família de
σ -álgebras sobre S, então a interseção de todos os subconjuntos Xa é também umaσ -álgebra sobre S. - Se U é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, então pode-se formar uma
σ -álgebra especial a partir de U, chamadaσ -álgebra gerada por U e denotada porσ (U). Define-seσ (U) da seguinte maneira:
- Primeiramente, nota-se que existe uma
σ -álgebra sobre S que contém U, por exemplo, o conjunto das partes de S. - Considere
Φ como sendo a coleção (não-vazia) de todas asσ -álgebras sobre S que contém U (isto é, umaσ -álgebra X sobre S está emΦ se e somente se U está em X). Então, define-seσ (U) como sendo a interseção de todasσ -álgebras emΦ .σ (U) é pois a menorσ -álgebra sobre S que contém U.
- A
σ -álgebra de Borel: a definição acima nos leva ao quiçá mais importante exemplo deσ -álgebra: a Álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico, gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que estaσ -álgebra não é geralmente o conjunto potência de tal espaço. Para um exemplo não-trivial, veja Conjunto de Vitali. - A
σ -álgebra de Lebesgue: no Espaço euclidiano Rn, outraσ -álgebra é importante: a formada por todos os conjuntos mensuráveis (Lebesgue). Todo elemento da sigma-álgebra de Borel está na sigma-álgebra de Lebesgue, mas o contrário não é verdadeiro. Esta é a sigma-álgebra preferida na teoria de integrais. O Conjunto de Vitali é o exemplo padrão de um subconjunto de números reais que não está nesta sigma-álgebra.
Combinando σ -algebras
[editar | editar código-fonte]Suponha que é uma coleção de
- A intersecção de uma coleção de
σ -álgebras é umaσ -álgebra. Para enfatizar sua característica como umaσ -álgebra, ela é frequentemente denotada por:
- Rascunho da prova: Deixe
Σ ∗ denotar a intersecção. Uma vez "X" está em todaΣ α ,Σ ∗ não está vazio. O fechamento sob complemento e uniões contáveis para todoΣ α implica que o mesmo deve ser verdade paraΣ ∗. Então,Σ ∗ não é umaσ -álgebra.
- A união de uma coleção de
σ -álgebras não é genericamente umaσ -álgebra, ou mesmo uma álgebra, mas ela gera umaσ -álgebra conhecida como uma junção que é tipicamente denotada como
- Um sistema-
π que gera a junção é - Rascunho da prova: No caso n = 1, se vê que cada , então
- Isso implica
- Pela definição de uma
σ -álgebra gerada por uma coleção de subconjuntos. Por outro lado, - o que, pelo teorema
π -λ de Dynkin, implica
σ -álgebras para subespaços
[editar | editar código-fonte]Suponha que Y é um subconjunto de X e deixe que (X,
- A coleção {Y ∩ B: B ∈
Σ } é umaσ -álgebra de subconjuntos de Y.
- Suponha que (Y,
Λ ) é um espaço mensurável. A coleção {A ⊂ X : A ∩ Y ∈Λ } é umaσ -álgebra de subconjuntos de X.
Relação com σ -anel
[editar | editar código-fonte]Uma
Nota tipográfica
[editar | editar código-fonte]Casos particulares e exemplos
[editar | editar código-fonte]σ -álgebras separáveis
[editar | editar código-fonte]Uma
Um espaço de medida separável tem uma pseudométrica natural que o faz separável como um espaço separável.A distância entre dois conjuntos é definida como a medida da diferença simétrica dos dois conjuntos. Note que a diferença simétrica de dois conjuntos distintos pode ter medida zero; por isso a definição dada acima sobre pseudométrica não precisa ser uma métrica verdadeira. No entanto, se conjuntos cujas diferença simétricas tem medida zero são identificados dentro de uma única classe de equivalência, o quociente do conjunto resultante pode ser propriamente medido pela métrica induzida. Se a medida do espaço é separável, pode-se mostrar que a métrica do espaço correspondente o é também.
Exemplos simples baseados em conjuntos
[editar | editar código-fonte]Deixe X ser qualquer conjunto.
- A familia que consiste apenas do conjunto vazio e do conjunto X é chamada de
σ -álgebra trivial ou mínima sobre X. - O conjunto de partes de X é chamado de
σ -álgebra discreta. - A coleção {∅, A, Ac, X} é uma
σ -álgebra simples gerada pelo subconjunto A. - A coleção de subconjuntos de X que são contáveis ou cujos complementos são contáveis é uma
σ -álgebra (que é distinta do conjunto de partes de X se e somente se X é incontável). Esta é aσ -álgebra gerada pelo conjunto unitário de X. Note: "contável"inclui finito ou vazio. - A coleção de todas as uniões de conjuntos em uma partição contável de X é uma
σ -ágebra.
σ -álgebras e o tempo de parada
[editar | editar código-fonte]Um tempo de parada pode definir um -álgebra , também chamado de -álgebra tempo de parada, que num espaço de probabilidade filtrado descreve a informação até o tempo aleatória , no sentido de que, se o espaço de probabilidade filtrado é interpretado como um experimento aleatório, o máximo de informações que podem ser encontradas sobre o experimento repetindo-o diversas vezes de forma arbitrária até o tempo é .
σ -algebras geradas por famílias de conjuntos
[editar | editar código-fonte]σ -álgebra gerada por uma familia arbitraria
[editar | editar código-fonte]Deixe F ser uma família arbitraria de subconjuntos de X. Então, passa a existir a menor de todas as
σ -álgebra gerada por uma função
[editar | editar código-fonte]Se f é uma função de um conjunto "X" a um conjunto "Y" e "B" é uma
Uma função f de um conjunto X a um conjunto Y é mensurável com respeito a uma
Uma situação comum, e entendida por definição se B não está explicitamente especificado, é quando Y é um espaço métrico ou topológico e B é a coleção dos conjuntos de Borel em Y.
Se f é uma função de X a Rn então
Uma propriedade útil é a seguinte: Assuma que f é um mapa mensurável de (X,
σ -álgebras de Borel e Lebesgue
[editar | editar código-fonte]Um importante exemplo é a álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico: a
No espaço Euclidiano Rn, outra
σ -álgebra produto
[editar | editar código-fonte]Deixe e serem dois espaços mensuráveis. A
Observe que é um sistema-
A
Para cada um desses dois exemplos, a familia geradora é um sistema-
σ -álgebra gerada por conjuntos cilíndricos
[editar | editar código-fonte]Suponha
é um conjunto de funções de valores reais. Deixe denotar os subconjuntos de Borel de "R". Um conjunto de cilindros de X é um conjunto finitamente restrito definido como
Cada
é um sistema-
é uma álgebra que gera a
Um caso especial importante é quando é o conjunto de números naturais e X é um conjunto de sequências de valores reais. Nesse caso, é suficiente considerar os conjuntos cilíndricos
para os quais
é uma não decrescente sequência de
σ -álgebra gerada por variável ou vetor aleatório
[editar | editar código-fonte]Suponha é um espaço de probabilidade. Se é mensurável com respeito a
σ -álgebra gerada por processo estocástico
[editar | editar código-fonte]Suponha é um espaço de probabilidade e é o conjunto de funções de valores reais em . Se é mensurável com respeito à
a
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ a b Basics of Probability Theory, site do Department of Economics da University of Minnesota
- ↑ «"Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes"». Random. Universidade de Alabama em Huntsville, Departamento de Ciências Matemáticas. Consultado em 30 de março de 2016
- ↑ Billingsley, Patrick (2012). Probability and Measure. [S.l.]: (Anniversary ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2
- ↑ Rudin, Walter (1987). Real & Complex Analysis. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1
- ↑ «Capítulo sobre Sigma álgebra» (PDF) (em inglês). do Department of Mathematics at Louisiana State University
- ↑ Vestrup, Eric M. (2009). The Theory of Measures and Integration. [S.l.]: John Wiley & Sons. 12 páginas. ISBN 978-0-470-31795-2
- ↑ Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). If
μ is a Borel measure on X, the measure algebra of (X,μ ) is the Boolean algebra of all Borel sets moduloμ -null sets. Ifμ is finite, then such a measure algebra is also a metric space, with the distance between the two sets being the measure of their symmetric difference. Then, we say thatμ is separable iff this metric space is separable as a topological space.. «Properties of the class of measure separable compact spaces» (PDF). Fundamenta Mathematicae (em inglês). 262 páginas. Consultado em 5 de outubro de 2016 - ↑ Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability. [S.l.]: (2nd ed.) Springer. 7 páginas. ISBN 0-387-95313-2
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Algebra of sets" Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4