Sigma-álgebra

Em matemática, uma σしぐま-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) sobre um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X, incluindo o conjunto vazio, e que é fechada sobre operações contáveis de união, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em X. O conceito é importante em análise e probabilidade. O par (X, Σしぐま) é chamado espaço mensurável.

A σしぐま-álgebra especializa o conceito de conjunto algébrico. Uma álgebra de conjuntos precisa apenas ser fechada sob a união ou interseção de vários subconjuntos finitos.

O uso principal das σしぐま-álgebras é na definição de medidas; especificamente, a coleção daqueles subconjuntos para os quais uma dada medida definida é necessariamente uma σしぐま-álgebra. Este conceito é importante na análise matemática como base para a integração de Lebesgue e, em teoria da probabilidade, onde ela é interpretada como a coleção de eventos que podem ser atribuídos com probabilidades. Também em probabilidade, σしぐま-álgebras são cruciais na definição de esperança condicional.

Em estatística, (sub) σしぐま-álgebras são necessárias para uma definição matemática formal de suficiência estatística; particularmente quando a estatística é uma função ou um processo aleatório e a noção de densidade condicional não é aplicável.

Se X = {a, b, c, d}, uma possível σしぐま-álgebra em X é  Σしぐま = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }, onde ∅ é o conjunto vazio. Em geral, uma álgebra finita é sempre uma σしぐま-álgebra.

Se {A₁, A₂, A₃, …} é uma partição contável de X, então a coleção de todas as uniões de conjuntos na partição (incluindo o conjunto vazio) é uma σしぐま-álgebra.

Um exemplo mais útil é o conjunto de subconjuntos da reta real que se forma começando com todos os intervalos abertos e a subsequente adição de todas as uniões e intersecções contáveis e complementos relativos num processo continuo (por indução transfinita através de todos os ordinais contáveis) até que as propriedades de fechamento relevantes são alcançadas (uma construção chama de hierarquia de Borel).

Motivação

Há ao menos três motivos chave para σしぐま-álgebras: definição de medidas, manipulação de limites de conjuntos, e gerenciamento de informação parcial caracterizada por conjuntos.

Medida

Uma medida em X é uma função que designa um número real não negativo para subconjuntos de X; pode-se pensar que isto se trata de tornar precisa a noção de "tamanho"ou "volume" para conjuntos. É desejado que o tamanho da união de conjuntos disjuntos seja igual à soma de seus tamanhos individuais, mesmo para uma sequencia infinita de conjuntos disjuntos.

Poderia-se pensar em designar um tamanho para cada subconjunto de X, mas em vários arranjos naturais isso não é possível. Por exemplo, o axioma da escolha implica que quando o tamanho sob consideração é a noção comum de comprimento para subconjuntos da reta real, então há conjuntos para os quais não existe tamanho, por exemplo, o conjunto de Vitali. Por essa razão, consideramos uma coleção menor de subconjuntos privilegiados de X. Estes subconjuntos serão chamados de conjuntos mensuráveis. Eles estão enclausurados dentro de operações para as quais se esperaria conjuntos mensuráveis, isto é, o complemento de um conjunto mensurável é um conjunto mensurável e uma união contável de conjuntos mensuráveis é um conjunto mensurável. Coleções não vazias com estas propriedades são chamadas de σしぐま-álgebras.

Limites de conjuntos

Muitos usos de medidas, como o conceito de probabilidade de convergência de variáveis aleatórias, envolvem limites de sequências de conjuntos. Para isso, o fechamento sob uniões contáveis e intersecções é necessário. Limites de conjuntos são definidos como se segue em σしぐま-álgebras.

• O limite supremo de uma sequência A₁, A₂, A₃, ..., cada qual um subconjunto de X, é
• $\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}.$

• O limite ínfimo de uma sequência A₁, A₂, A₃, ..., cada qual um subconjunto de X, é

$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}.$

• Se, de fato,

$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}$

então o $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ existe como o conjunto comum.

Sub σしぐま-álgebras

Em grande parte da probabilidade, especialmente quando a esperança condicional está envolvida, pode-se preocupar com conjuntos que representam apenas parte de toda a informação que pode ser observada. Essa informação parcial pode ser caracterizada com uma σしぐま-álgebra menor que é um subconjunto da σしぐま-álgebra principal; isso consiste da coleção de subconjuntos relevantes apenas para e determinado pela informação parcial. Um simples exemplo é suficiente para ilustrar esta ideia.

Imagine que você está jogando um jogo que envolve lançar uma moeda repetidamente e observar se ela cai em Cara (C) ou Coroa (Co). Uma vez que você e seus adversários são infinitamente abastados, não há limite para quanto tempo durará o jogo. Isso significa que o espaço amostral Ωおめが deve consistir de todas as infinitas possibilidade de sequências de C ou Co:

$\Omega =\{C,Co\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{C,Co\},i\geq 1\}$.

No entanto, depois de n lançamentos da moeda, você pode querer determinar ou revisar sua estratégia de aposta antes do próximo lançamento. A informação observada naquele ponto pode ser descrita em termos das 2ⁿ possibilidades para os primeiros n lançamentos. Formalmente, uma vez que você precisa usar subconjuntos de Ωおめが, isso é codificado como uma σしぐま-álgebra:

${\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{C,Co\}^{\infty }:A\subset \{C,Co\}^{n}\}$

Observe que então

${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {G}}_{3}\subset \cdots \subset {\mathcal {G}}_{\infty }$,

onde ${\mathcal {G}}_{\infty }$ é a menor σしぐま-álgebra contendo todas as outras.

Definição e propriedades

Definição formal

Sendo X um conjunto, e 2^X representa seu conjunto de partes ou conjunto potência. Então, X é uma σしぐま-álgebra se e somente se X possui as seguintes propriedades^[2]:

1. O conjunto vazio está em X,
2. Se Σしぐま está em X, então o mesmo ocorre para o complemento de Σしぐま.
3. Se E₁, E₂, E₃,… é uma seqüência em X, então sua união (numerável) também está em X^[1].

Obs: Em alguns livros a definição 1 apresenta um conjunto universo Ώ ao invés do vazio, mas não há problema pois o Ώ^C = vazio

De 1 e 2 segue que S está em X; de 2 e 3 segue que a σしぐま-álgebra também é fechada sobre interseções (via leis de De Morgan); de 1, 2 e 3 segue que o conjunto vazio está em Σしぐま, uma vez que de acordo com (1) X está em Σしぐま e (2) afirma que seu complemento, o conjunto vazio, também é Σしぐま. Além do mais, uma vez que {X, ∅} satisfaz a condição (3) também, se segue que (X, ∅} é a menor σしぐま-álgebra possível em X. A maior σしぐま-álgebra possível em X é 2^X.

Um par ordenado (S, X), onde S é um conjunto e X é uma σしぐま-álgebra sobre S, é chamado de um espaço mensurável. Uma função entre dois espaços mensuráveis é chamada de função mensurável se o conjunto imagem de todo o conjunto mensurável é mensurável. A coleção de espaços mensuráveis forma uma categoria, com as funções mensuráveis como morfismos. Medidas são definidas com certos tipos de funções de uma σしぐま-álgebra para [0, ∞]. Uma σしぐま-álgebra é tanto um sistema-πぱい e um sistema Dynkin (sistema-λらむだ). O contrário também é verdade, de acordo com o teorema de Dynkin (abaixo).

Teorema de Dynkin

Este teorema (ou o teorema de classe monótona relacionado) é uma ferramenta essencial para prover várias propriedades sobre σしぐま-álgebras especificas. Ele se aproveita da natureza de duas classes de conjuntos mais simples, as quais mostramos a seguir.

Um sistema-πぱい P é a coleção dos subconjuntos de Σしぐま que está fechada sob várias intersecções finitas,

um sistema de Dynkin (ou sistema -λらむだ) D é a coleção de subconjuntos de Σしぐま que contém Σしぐま e está fechado sob complemento e sob uniões contáveis de conjuntos disjuntos.

O teorema Dynkin πぱい-λらむだ diz que se P é um sistema-πぱい e D é um sistema de Dynkin que contém P, então a σしぐま-álgebra σしぐま(P) gerada por P está contida em D. Uma vez que certos sistemas-πぱい são de classes relativamente simples, pode não ser difícil de verificar que todos os conjuntos em P se aproveitam da propriedade sob consideração enquanto, ao mesmo tempo, mostrar que a coleção D de todos os subconjuntos com a propriedade é um sistema de Dynkin também pode ser bastante simples. O teorema de Dynkin πぱい-λらむだ então implica que todos os conjuntos em σしぐま(P) se aproveitam da propriedade, evitando a tarefa de checar por isso em um conjunto arbitrário em σしぐま(P).

Um dos usos mais fundamentais do teorema πぱい-λらむだ é o de mostrar a equivalência de medidas ou integrais separadamente definidas. Por exemplo, ele é usado para equacionar a probabilidade de uma variável X aleatória com a integral de Lesbesgue-Stieltjes tipicamente associada com a computação da probabilidade:

$\mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)$ para todo A na σしぐま-algebra Borel em R,

onde F(x) é a função distribuição acumulada para X, definida em R, enquanto $\mathbb {P}$ é uma medida de probabilidade, definida em uma σしぐま-álgebra Σしぐま de subconjuntos de alguns espaços amostrais Ωおめが.

Propriedades

• Associado a um espaço amostral S podemos ter muitas diferentes sigmas-álgebras^[4]. Se S é qualquer conjunto, então a coleção consistindo de apenas o conjunto vazio e S é uma σしぐま-álgebra sobre S, a chamada σしぐま-álgebra trivial. Outra σしぐま-álgebra sobre S é dada pelo conjunto das partes de S.
• Se {X_a} é uma família de σしぐま-álgebras sobre S, então a interseção de todos os subconjuntos X_a é também uma σしぐま-álgebra sobre S.
• Se U é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, então pode-se formar uma σしぐま-álgebra especial a partir de U, chamada σしぐま-álgebra gerada por U e denotada por σしぐま(U). Define-se σしぐま(U) da seguinte maneira:

Primeiramente, nota-se que existe uma σしぐま-álgebra sobre S que contém U, por exemplo, o conjunto das partes de S.

Considere Φふぁい como sendo a coleção (não-vazia) de todas as σしぐま-álgebras sobre S que contém U (isto é, uma σしぐま-álgebra X sobre S está em Φふぁい se e somente se U está em X). Então, define-se σしぐま(U) como sendo a interseção de todas σしぐま-álgebras em Φふぁい. σしぐま(U) é pois a menor σしぐま-álgebra sobre S que contém U.

• A σしぐま-álgebra de Borel: a definição acima nos leva ao quiçá mais importante exemplo de σしぐま-álgebra: a Álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico, gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que esta σしぐま-álgebra não é geralmente o conjunto potência de tal espaço. Para um exemplo não-trivial, veja Conjunto de Vitali.
• A σしぐま-álgebra de Lebesgue: no Espaço euclidiano Rⁿ, outra σしぐま-álgebra é importante: a formada por todos os conjuntos mensuráveis (Lebesgue). Todo elemento da sigma-álgebra de Borel está na sigma-álgebra de Lebesgue, mas o contrário não é verdadeiro. Esta é a sigma-álgebra preferida na teoria de integrais. O Conjunto de Vitali é o exemplo padrão de um subconjunto de números reais que não está nesta sigma-álgebra.

Combinando σしぐま-algebras

Suponha que $\textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ é uma coleção de σしぐま-álgebras em um espaço "X".

• A intersecção de uma coleção de σしぐま-álgebras é uma σしぐま-álgebra. Para enfatizar sua característica como uma σしぐま-álgebra, ela é frequentemente denotada por:

$\bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.$

Rascunho da prova: Deixe Σしぐま^∗ denotar a intersecção. Uma vez "X" está em toda Σしぐま_{αあるふぁ}, Σしぐま^∗ não está vazio. O fechamento sob complemento e uniões contáveis para todo Σしぐま_{αあるふぁ} implica que o mesmo deve ser verdade para Σしぐま^∗. Então, Σしぐま^∗ não é uma σしぐま-álgebra.

• A união de uma coleção de σしぐま-álgebras não é genericamente uma σしぐま-álgebra, ou mesmo uma álgebra, mas ela gera uma σしぐま-álgebra conhecida como uma junção que é tipicamente denotada como

$\bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$

Um sistema-πぱい que gera a junção é

${\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.$

Rascunho da prova: No caso n = 1, se vê que cada $\Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}}$, então

$\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}}.$

Isso implica

$\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subset \sigma ({\mathcal {P}})$

Pela definição de uma σしぐま-álgebra gerada por uma coleção de subconjuntos. Por outro lado,

${\mathcal {P}}\subset \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)$

o que, pelo teorema πぱい-λらむだ de Dynkin, implica

$\sigma ({\mathcal {P}})\subset \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).$

σしぐま-álgebras para subespaços

Suponha que Y é um subconjunto de X e deixe que (X, Σしぐま) seja um espaço mensurável.

• A coleção {Y ∩ B: B ∈ Σしぐま} é uma σしぐま-álgebra de subconjuntos de Y.

• Suponha que (Y, Λらむだ) é um espaço mensurável. A coleção {A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λらむだ} é uma σしぐま-álgebra de subconjuntos de X.

Relação com σしぐま-anel

Uma σしぐま-álgebra Σしぐま é apenas um σしぐま-anel que contém o conjunto universal de X. Um σしぐま-anel não precisa de uma σしぐま-álgebra, como por exemplo os subconjuntos mensuráveis de zero da medidade de Lebesgue na reta real são um σしぐま-anel, mas não uma σしぐま-álgebra posto que a reta real tem medida infinita e por tanto não pode ser obtida por sua união contável. Se, ao contrário de uma medida zero, se mede subconjuntos de medida de Lebesgue finita, esse serão anéis mas não σしぐま-anéis, uma vez que a reta real pode ser obtida pela união contável mas a medida não é finita.

Nota tipográfica

σしぐま-álgebras são às vezes denotadas usando-se letras maiúsculas de caligrafia, o tipo Fraktur. Então (X, Σしぐま) pode ser denotado como $\scriptstyle (X,\,{\mathcal {F}})$ ou $\scriptstyle (X,\,{\mathfrak {F}})$.

Casos particulares e exemplos

σしぐま-álgebras separáveis

Uma σしぐま-álgebra separável (ou σしぐま-campo separável) é uma σしぐま-álgebra que é um espaço separável quando considerada como espaço métrico com métrica $\rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)$ para $A,B\in {\mathcal {F}}$ e uma dada medida $\mu$ (com $\triangle$ sendo o operador de diferença simétrica).Note que qualquer σしぐま-algebra gerada por uma coleção contável de conjuntos é separável, mas o contrário não ocorre. Por exemplo, a σしぐま-algebra de Lebesgue é separável (uma vez que todo o conjunto mensurável de Lebesgue é equivalente a algum conjunto de Borel) mas não gerado de forma contável (uma vez que a sua cardinalidade é maior que o contínuo).

Um espaço de medida separável tem uma pseudométrica natural que o faz separável como um espaço separável.A distância entre dois conjuntos é definida como a medida da diferença simétrica dos dois conjuntos. Note que a diferença simétrica de dois conjuntos distintos pode ter medida zero; por isso a definição dada acima sobre pseudométrica não precisa ser uma métrica verdadeira. No entanto, se conjuntos cujas diferença simétricas tem medida zero são identificados dentro de uma única classe de equivalência, o quociente do conjunto resultante pode ser propriamente medido pela métrica induzida. Se a medida do espaço é separável, pode-se mostrar que a métrica do espaço correspondente o é também.

Exemplos simples baseados em conjuntos

Deixe X ser qualquer conjunto.

• A familia que consiste apenas do conjunto vazio e do conjunto X é chamada de σしぐま-álgebra trivial ou mínima sobre X.
• O conjunto de partes de X é chamado de σしぐま-álgebra discreta.
• A coleção {∅, A, A^c, X} é uma σしぐま-álgebra simples gerada pelo subconjunto A.
• A coleção de subconjuntos de X que são contáveis ou cujos complementos são contáveis é uma σしぐま-álgebra (que é distinta do conjunto de partes de X se e somente se X é incontável). Esta é a σしぐま-álgebra gerada pelo conjunto unitário de X. Note: "contável"inclui finito ou vazio.
• A coleção de todas as uniões de conjuntos em uma partição contável de X é uma σしぐま-ágebra.

σしぐま-álgebras e o tempo de parada

Um tempo de parada $\tau$ pode definir um $\sigma$-álgebra ${\mathcal {F}}_{\tau }$, também chamado de $\sigma$-álgebra tempo de parada, que num espaço de probabilidade filtrado descreve a informação até o tempo aleatória $\tau$, no sentido de que, se o espaço de probabilidade filtrado é interpretado como um experimento aleatório, o máximo de informações que podem ser encontradas sobre o experimento repetindo-o diversas vezes de forma arbitrária até o tempo $\tau$ é ${\mathcal {F}}_{\tau }$.

σしぐま-algebras geradas por famílias de conjuntos

σしぐま-álgebra gerada por uma familia arbitraria

Deixe F ser uma família arbitraria de subconjuntos de X. Então, passa a existir a menor de todas as σしぐま-álgebras que contém todo conjunto de F (mesmo que F, ele mesmo, possa ou não ser uma σしぐま-álgebra). Ela é, de fato, a interseção de todas as σしぐま-álgebras contendo F (veja as interseções de σしぐま-álgebras acima). Esta σしぐま-álgebra é denotada como σしぐま(F) e é chamada como a σしぐま-ágebra gerada por F. Se F for vazio, então σしぐま(F)={X, ∅}. Caso contrário, σしぐま(F) consiste de todos os subconjuntos de X que podem ser feitos a partir dos elementos de F por um número contável de operações de complemento, união e interseção. Em um exemplo simples, considere o conjunto X = {1, 2, 3}. Então, a σしぐま-ágebra gerada pelo subconjunto único { 1 } é σしぐま({{1}}) = {∅, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Por um abuso de notação, quando uma coleção de subconjuntos contém apenas um elemento A, pode-se escrever σしぐま(A) ao invés de σしぐま({A}); no exemplo anterior, σしぐま({1}) ao invés de σしぐま({{1}}). De fato, usar σしぐま(A1, A2, ...) para dizer σしぐま({A1, A2, ...}) é também bastante comum. Há muitas famílias de subconjuntos que geram σしぐま-álgebras úteis. Alguns desses estão apresentados aqui.

σしぐま-álgebra gerada por uma função

Se f é uma função de um conjunto "X" a um conjunto "Y" e "B" é uma σしぐま-álgebra de subconjuntos de "Y", então a σしぐま-álgebra gerada pela função de f, denotada por σしぐま(f), é a coleção de todas as imagens inversas  f⁻¹(S) dos subconjuntos de "S" em "B". Ex:

$\sigma (f)=\{f^{-1}(S)\,|\,S\in B\}.$

Uma função f de um conjunto X a um conjunto Y é mensurável com respeito a uma σしぐま-álgebra ∑ de subconjuntos de X se e somente se σしぐま(f) é um subconjunto de ∑.

Uma situação comum, e entendida por definição se B não está explicitamente especificado, é quando Y é um espaço métrico ou topológico e B é a coleção dos conjuntos de Borel em Y.

Se f é uma função de X a Rⁿ então σしぐま(f) é gerado pela família de subconjuntos que são imagens inversas dos intervalos/retângulos em Rⁿ:

$\sigma (f)=\sigma \left(\{f^{-1}((a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \}\right).$

Uma propriedade útil é a seguinte: Assuma que f é um mapa mensurável de (X, Σしぐま_X) a (S, Σしぐま_S) e g é um mapa mensurável de (X, Σしぐま_X) a (T, Σしぐま_T). Se existe um mapa mensurável h de (T, Σしぐま_T) a (S, Σしぐま_S) de tal forma que f(x) = h(g(x)) para todos os valores de x, então σしぐま(f) ⊂ σしぐま(g). Se S é finito ou contavelmente infinito ou, mais genericamente, (S, Σしぐま_S) é um espaço de Borel padrão (ex. um espaço métrico completo e separável com seus conjuntos de Borel associados), então o contrário também é verdade. Exemplos de espaços de Borel padrão incluem Rⁿ com seus conjuntos de Borel e R^∞ com a σしぐま-álgebra cilíndrica descrita abaixo.

σしぐま-álgebras de Borel e Lebesgue

Um importante exemplo é a álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico: a σしぐま-álgebra gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que esta σしぐま-álgebra não é, em geral, todo o conjunto de partes. Para um exemplo não trivial que não seja um conjunto de Borel, veja o conjunto de Vitali ou os conjuntos Não-Borelianos.

No espaço Euclidiano Rⁿ, outra σしぐま-álgebra é de importância: aquela de todos os conjunto mensuráveis de Lebesgue. Essa σしぐま-álgebra contém mais conjuntos que a σしぐま-álgebra de Borel em Rⁿ e é preferida na teoria de integração, posto que ela dá um espaço mensurável completo.

σしぐま-álgebra produto

Deixe $(X_{1},\Sigma _{1})$ e $(X_{2},\Sigma _{2})$ serem dois espaços mensuráveis. A σしぐま-álgebra para o espaço produto correspondente $X_{1}\times X_{2}$ é chamada de σしぐま-álgebra produto e é definida por:

$\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma (\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}).$

Observe que $\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}$ é um sistema-πぱい.

A σしぐま-álgebra de Borel para Rⁿ é gerada por retângulos meio infinitos e por retângulos finitos. Por exemplo,

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).$

Para cada um desses dois exemplos, a familia geradora é um sistema-πぱい.

σしぐま-álgebra gerada por conjuntos cilíndricos

Suponha

$X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}$

é um conjunto de funções de valores reais. Deixe ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ denotar os subconjuntos de Borel de "R". Um conjunto de cilindros de X é um conjunto finitamente restrito definido como

$C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\}.$

Cada

$\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}$

é um sistema-πぱい que gera uma σしぐま-álgebra $\textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}$. Então a família de subconjuntos

${\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}$

é uma álgebra que gera a σしぐま-álgebra cilíndrica para X. Essa σしぐま-álgebra é uma (sub) álgebra da σしぐま-álgebra de Borel determinada pelo topologia produto de $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ restrito para X.

Um caso especial importante é quando $\mathbb {T}$ é o conjunto de números naturais e X é um conjunto de sequências de valores reais. Nesse caso, é suficiente considerar os conjuntos cilíndricos

$C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty })\cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\},$

para os quais

$\Sigma _{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})$

é uma não decrescente sequência de σしぐま-álgebras.

σしぐま-álgebra gerada por variável ou vetor aleatório

Suponha $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ é um espaço de probabilidade. Se $\textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ é mensurável com respeito a σしぐま-álgebra de Borel em Rⁿ então Y é chamada de "'variável aleatória"' (n = 1) ou vetor aleatório (n > 1). A σしぐま-álgebra gerada por Y é

$\sigma (Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}.$

σしぐま-álgebra gerada por processo estocástico

Suponha $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ é um espaço de probabilidade e $\mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ é o conjunto de funções de valores reais em $\mathbb {T}$. Se $\textstyle Y:\Omega \to X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }$ é mensurável com respeito à σしぐま-álgebra cilíndrica $\sigma ({\mathcal {F}}_{X})$ (veja acima) para X então Y é chamada de ""processo estocástico"" ou ""processo aleatório"". A σしぐま-álgebra gerada por Y é

$\sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma (\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\}),$

a σしぐま-álgebra gerada pelas imagens inversas dos conjuntos cilíndricos.

Ver também

• Função mensurável
• Espaço amostral

Ligações externas

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Algebra of sets"  Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4