Teorema del resto: differenze tra le versioni

Calcolo letterale

In algebra, il teorema del resto fornisce un metodo per calcolare il resto di un polinomio intero $P(x)$ quando viene diviso per un binomio della forma $(x-a)$ , senza dover eseguire la divisione. Il teorema afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per $x=a$ ^[1].

Dividendo un polinomio $P(x)$ per un polinomio $D(x)$ , si ottiene una relazione del tipo:

P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),

dove $R(x)$ è un polinomio di grado minore di quello di $D(x)$ . In particolare, se $D(x)=x-a$ , la relazione diventa:

P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,

dove $r$ è una costante numerica. Sostituendo $x=a$ si ottiene:

P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r.

Quindi $P(a)=r$ ossia ciò che vogliamo dimostrare.

Teorema di Ruffini

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Un ovvio corollario del teorema del resto è il teorema di Ruffini^[2]:

Un polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ se e solo se il resto della divisione è nullo, e quindi $P(a)=0$ .

Questo rende possibile determinare la divisibilità di un polinomio per un binomio $(x-a)$ senza dover eseguire la divisione.

Note

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^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.23
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.24

Bibliografia

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Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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(EN) remainder theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema del resto, su MathWorld, Wolfram Research.

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 {{Calcolo letterale}}
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+In [[algebra]], il '''teorema del resto''' fornisce un metodo per calcolare il [[resto]] di un [[polinomio]] intero <math>P(x)</math> quando viene [[divisione (matematica)|diviso]] per un [[binomio]] della forma <math>(x-a)</math>, senza dover eseguire la divisione. Il teorema afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per <math>x=a</math><ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.23</ref>.
-Dividendo un polinomio <math>P(x)</math> per un polinomio <math>D(x)</math>, si ha una relazione del tipo:
+Dividendo un polinomio <math>P(x)</math> per un polinomio <math>D(x)</math>, si ottiene una relazione del tipo:
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+dove <math>r</math> è una [[costante]] numerica. Sostituendo <math>x=a</math> si ottiene:
 :<math>P(a) = (a - a) \cdot Q(a) + r = r.</math>
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 == Teorema di Ruffini ==
 Un ovvio [[corollario]] del teorema del resto è il teorema di Ruffini<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.24</ref>:
-:''Un polinomio <math>P(x)</math> è divisibile per <math>(x-a)</math> se e solo se il resto è nullo e quindi <math>P(a)=0</math>.''
+:''Un polinomio <math>P(x)</math> è divisibile per <math>(x-a)</math> se e solo se il resto della divisione è nullo, e quindi <math>P(a)=0</math>.''
-In questo modo diventa possibile determinare la divisibilità per un binomio <math>(x-a)</math> senza eseguire la divisione.
+Questo rende possibile determinare la divisibilità di un polinomio per un binomio <math>(x-a)</math> senza dover eseguire la divisione.
 ==Note==

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