Funzione L
In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.
Serie L
[modifica | modifica wikitesto]Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet
definita sul semipiano complesso Re(s)>
Classe di Selberg
[modifica | modifica wikitesto]Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet
che soddisfano i seguenti 4 assiomi:
- Prolungamento analitico: esiste un numero naturale m tale che sia una funzione intera.
- Congettura di Ramanujan: i coefficienti crescono meno di ogni potenza, cioè
- per ogni
ε > 0.
- Equazione funzionale: esiste una funzione della forma
- ove
Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gliλ j sono numeri reali positivi, e iμ j sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione
- soddisfi la relazione,
- Prodotto di Eulero: a1 = 1 e, per Re(s) > 1
- ,
- ove bn = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |bn| < c n
θ per qualcheθ < 1/2 e c > 0.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
- Atle Selberg, Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, in Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, 1992, pp. 367–385, MR 1220477. Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Progetto sulle funzioni L.
- (EN) Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008
- (EN) Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
- (EN) Hunting the elusive L-function, su physorg.com.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 68047 · LCCN (EN) sh85073592 · BNF (FR) cb13163190s (data) · J9U (EN, HE) 987007548335605171 |
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