Arco (topologia)

In matematica, un arco (o cammino) in uno spazio topologico $X$ è una funzione continua dall'intervallo unitario $I=[0,1]$ in $X$.

Gli archi sono alla base della definizione del gruppo fondamentale, e quindi della topologia algebrica.

Definizioni

Il punto iniziale dell'arco è $f(0)$, mentre il punto finale è $f(1)$. Se $x$ e $y$ sono due punti di $X$ (anche coincidenti), un "arco da $x$ a $y$" è un arco in $X$ il cui punto iniziale è $x$ e il cui punto finale è $y$. Se $x=y$, si parla di cammino chiuso, o di cappio o di laccio.

Notiamo che un arco non è solamente un sottoinsieme di $X$, ma una funzione da $I$ in $X$: possono esistere archi diversi ma con lo stesso punto iniziale e finale e con la stessa immagine.

Uno spazio topologico in cui per ogni coppia $x$ e $y$ di punti esiste un arco avente questi come punti iniziale e finale è detto connesso per archi; poiché ogni punto è contenuto in un massimo sottospazio connesso per archi, ogni spazio topologico può essere decomposto in modo unico in componenti connesse per archi. L'insieme delle componenti connesse per archi di $X$ viene denotato con il simbolo $\pi _{0}(X)$.

Composizione

Due archi $f$ e $g$ di $x$ tali che $f(1)=g(0)$ possono essere composti, dando luogo ad un nuovo arco $h=f\ast g$, che può essere visto come l'arco ottenuto percorrendo prima $f$ e poi $g$: formalmente, $h$ è la funzione da $[0,1]$ a $X$ tale che

$h(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}$.

Questa operazione non è associativa: infatti, $(f\ast g)\ast h$ e $f\ast (g\ast h)$ hanno lo stesso supporto, ma viaggiano a "velocità diverse": la prima percorre $f$ in un tempo ¼, quindi $g$ in un altro ¼, e $h$ in tempo 1/2; la seconda invece percorre $f$ in tempo $1/2$ e le altre due ciascuna in tempo $1/4$.

Per risolvere questo problema si introduce la relazione di equivalenza omotopica tra archi, che permette tra l'altro di riparametrizzare gli archi. L'insieme dei cammini chiusi con punto iniziale $x_{0}$, modulo omotopia, è chiamato gruppo fondamentale di $X$ con base $x_{0}$, ed è denotato con $\pi _{1}(X,x_{0})$; se $X$ è connesso per archi allora la classe di isomorfismo di questo gruppo non dipende dal punto $x_{0}$ scelto.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

• Spazio connesso per archi
• Spazio semplicemente connesso
• Omotopia
• Gruppo fondamentale