Topologia discreta

Uno spazio topologico $X$ ha la topologia discreta quando tutti i sottoinsiemi di $X$ sono aperti. Le seguenti sono altre definizioni equivalenti:

• tutti i sottoinsiemi di $X$ sono chiusi;
• tutti i punti di $X$ sono aperti.

La topologia discreta è la più fine fra le topologie di un insieme. All'estremo opposto troviamo la topologia banale che è la meno fine. La topologia discreta può essere considerata come la "topologia naturale" di un insieme, in cui i punti sono tutti "staccati" l'uno dall'altro.

Proprietà

• Assegnando ad ogni coppia di punti di un insieme la seguente distanza:

$d(x,y)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}x=y,\\1,&{\mbox{se }}x\neq y,\end{cases}}$

otteniamo così uno spazio metrico con topologia discreta (questa metrica si chiama metrica discreta). Quindi la topologia discreta è metrizzabile, ovvero indotta da una metrica.

• La topologia discreta soddisfa tutti gli assiomi di separazione.
• Ogni funzione definita su uno spazio discreto (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua.
• Uno spazio discreto è totalmente sconnesso. Notiamo che esistono spazi totalmente sconnessi con topologia non discreta, ad esempio i numeri razionali o l'insieme di Cantor.
• Uno spazio discreto è compatto se e solo se è finito.
• Uno spazio discreto è omogeneo: i punti sono indistinguibili.
• Gli spazi discreti a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità. Ad esempio, ogni spazio discreto numerabile è omeomorfo all'insieme dei numeri interi.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

• Topologia banale
• Cardinalità