多 た 変数 へんすう 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく およびベクトル解析 かいせき におけるヤコビ行列 ぎょうれつ (ヤコビぎょうれつ、英 えい : Jacobian matrix )あるいは単 たん にヤコビアン [1] または関数 かんすう 行列 ぎょうれつ (かんすうぎょうれつ、独 どく : Funktionalmatrix )は、一変 いっぺん 数 すう スカラー値 ち 関数 かんすう における接線 せっせん の傾 かたむ き および一変 いっぺん 数 すう ベクトル値 ち 函数 かんすう の勾配 こうばい の、多 た 変数 へんすう ベクトル値 ち 関数 かんすう に対 たい する拡張 かくちょう 、高 こう 次元 じげん 化 か である。名称 めいしょう はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ に因 ちな む。多 た 変数 へんすう ベクトル値 ち 関数 かんすう f のヤコビ行列 ぎょうれつ は、f の各 かく 成分 せいぶん の各 かく 軸 じく 方向 ほうこう への方向 ほうこう 微分 びぶん を並 なら べてできる行列 ぎょうれつ で
J
f
=
D
x
f
=
∂
f
∂
x
=
[
∂
f
1
∂
x
1
⋯
∂
f
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
⋯
∂
f
m
∂
x
n
]
(
f
=
[
f
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⋮
f
m
(
x
1
,
…
,
x
n
)
]
)
{\displaystyle J_{f}=D_{x}f={\frac {\partial f}{\partial x}}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\quad \left(f={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\right)}
のように表 あらわ される。
ヤコビ行列 ぎょうれつ の行列 ぎょうれつ 式 しき は、ヤコビ行列 ぎょうれつ 式 しき (英 えい : Jacobian determinant ) あるいは単 たん にヤコビアン [1] と呼 よ ばれる。ヤコビ行列 ぎょうれつ 式 しき は変数 へんすう 変換 へんかん に伴 ともな う面積 めんせき 要素 ようそ や体積 たいせき 要素 ようそ の無限 むげん 小 しょう 変化 へんか の比率 ひりつ を符号 ふごう つきで表 あらわ すもので、しばしば重 じゅう 積分 せきぶん の変数 へんすう 変換 へんかん (英語 えいご 版 ばん ) に現 あらわ れる。
これらは多 た 変数 へんすう 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 、多様 たよう 体 からだ 論 ろん などで基本 きほん 的 てき な役割 やくわり を果 は たすほか、最適 さいてき 化 か 問題 もんだい 等 ひとし の応用 おうよう 分野 ぶんや でも重要 じゅうよう な概念 がいねん である。
D を n 次元 じげん ユークリッド空間 くうかん R n の開 ひらけ 集合 しゅうごう とし、f を D 上 うえ で定義 ていぎ され、R m に値 ね を取 と る C 1 級 きゅう 関数 かんすう とする。
点 てん p ∈ D における f のヤコビ行列 ぎょうれつ は、
∂
f
∂
x
(
p
)
=
[
∂
f
1
∂
x
1
(
p
)
⋯
∂
f
1
∂
x
n
(
p
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
(
p
)
⋯
∂
f
m
∂
x
n
(
p
)
]
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(p)={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}}
なる m × n 行列 ぎょうれつ をいう。これをしばしば Jf (p ) や Df (p ) あるいは ∂f / ∂x = ∂(f 1 , …, f m ) / ∂(x 1 , …, x n ) , Df / Dx = D (f 1 , …, f m )/ D (x 1 , …, x n ) などと表 あらわ す。
m = n の場合 ばあい 、ヤコビ行列 ぎょうれつ は正方 せいほう 行列 ぎょうれつ となり、その行列 ぎょうれつ 式 しき を考 かんが えることができる。ヤコビ行列 ぎょうれつ の行列 ぎょうれつ 式 しき |Jf | をヤコビ行列 ぎょうれつ 式 しき 、関数 かんすう 行列 ぎょうれつ 式 しき あるいは簡単 かんたん にヤコビアン と呼 よ ぶ。ヤコビ行列 ぎょうれつ 式 しき も |Jf | , |Df (p )| あるいは |∂f / ∂x | = |∂(f 1 , …, f m ) / ∂(x 1 , …, x n ) | , |Df / Dx | = |D (f 1 , …, f m )/ D (x 1 , …, x n ) | などとも書 か かれる。
ヤコビ行列 ぎょうれつ は、実 じつ 関数 かんすう に関 かん する微分 びぶん 係数 けいすう および導 しるべ 函数 かんすう の自然 しぜん な拡張 かくちょう となっている。つまり、n = m = 1 のとき、(1, 1) -型 かた 行列 ぎょうれつ とその唯一 ゆいいつ の成分 せいぶん である実数 じっすう とを同一 どういつ 視 し することにより、ヤコビ行列 ぎょうれつ の概念 がいねん は微分 びぶん 係数 けいすう および導 しるべ 函数 かんすう の概念 がいねん に一致 いっち する。
f が点 てん p において任意 にんい の偏 へん 微分 びぶん を持 も つならば p においてヤコビ行列 ぎょうれつ は存在 そんざい する。しかし、f の偏 へん 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい だけでは f の微分 びぶん 可能 かのう 性 せい は言 い えないから、ヤコビ行列 ぎょうれつ が存在 そんざい しても f は p において必 かなら ずしも全 ぜん 微分 びぶん 可能 かのう でない。
f が D 上 うえ の点 てん p で微分 びぶん 可能 かのう 、すなわち
lim
x
→
p
‖
f
(
x
)
−
f
(
p
)
−
d
f
(
x
−
p
)
‖
‖
x
−
p
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to p}{\dfrac {\|f(x)-f(p)-{\mathit {df}}(x-p)\|}{\|x-p\|}}=0}
なる線型 せんけい 写像 しゃぞう df が存在 そんざい するとき、この線型 せんけい 写像 しゃぞう df の標準 ひょうじゅん 基底 きてい に関 かん する表現 ひょうげん 行列 ぎょうれつ は f の p におけるヤコビ行列 ぎょうれつ Jf (p ) によって与 あた えられる(すなわち、R m のベクトルの各 かく 成分 せいぶん への射影 しゃえい π ぱい i : R m → R (i = 1, 2, ..., m ) に対 たい して
f
i
:=
π ぱい
i
∘
f
{\displaystyle f_{i}:=\pi _{i}\circ f}
と書 か けば、点 てん x = p におけるヤコビ行列 ぎょうれつ Jf (p ) は
(
∂
f
i
∂
x
j
|
x
=
p
)
i
=
1
,
…
,
m
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle {\bigg (}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}{\bigg |}_{x=p}{\bigg )}_{i=1,\ldots ,m \atop j=1,\ldots ,n}}
と書 か くことができる)。またこれは f が D の全域 ぜんいき で微分 びぶん 可能 かのう であるとき、p に対 たい して Jf (p ) を対応 たいおう させる写像 しゃぞう Jf : p ↦ Jf (p ) は f の全 ぜん 微分 びぶん であると言 い っても同 おな じことである。
f が点 てん p において微分 びぶん 可能 かのう であるとき、点 てん p におけるヤコビ行列 ぎょうれつ Jf (p ) は、x が p に十分 じゅうぶん 近 ちか いとき
f
(
x
)
=
f
(
p
)
+
J
f
(
p
)
(
x
−
p
)
+
o
(
‖
x
−
p
‖
)
{\displaystyle f(x)=f(p)+J_{f}(p)(x-p)+o(\|x-p\|)}
なる関係 かんけい を満足 まんぞく する(ここで o はランダウの記号 きごう )という意味 いみ で f の p における一 いち 次 じ 近似 きんじ であり、接 せっ 空間 くうかん の間 あいだ の線型 せんけい 写像 しゃぞう とみなせる。この線型 せんけい 写像 しゃぞう の合成 ごうせい は行列 ぎょうれつ 積 せき と等価 とうか であり、g が f (p ) を含 ふく む領域 りょういき E から R l への関数 かんすう であり、f (p ) において微分 びぶん 可能 かのう であるとき、
J
g
∘
f
(
p
)
=
J
g
(
f
(
p
)
)
⋅
J
f
(
p
)
{\displaystyle J_{g\circ f}(p)=J_{g}(f(p))\cdot J_{f}(p)}
が成 な り立 た つ。これは、合成 ごうせい 関数 かんすう の微分 びぶん に相当 そうとう する。
ここでは、f が D 上 うえ で Ck 級 きゅう (k ≥ 1) であるとする。
m = n のとき、f の p におけるヤコビ行列 ぎょうれつ は正方 せいほう 行列 ぎょうれつ であるが、ヤコビ行列 ぎょうれつ が正則 せいそく 行列 ぎょうれつ である場合 ばあい 、f は 局所 きょくしょ 的 てき に全 ぜん 単 たん 射 しゃ となり、その逆 ぎゃく 関数 かんすう は Ck 級 きゅう であり、f (p ) でのヤコビ行列 ぎょうれつ は Jf (p ) の逆 ぎゃく 行列 ぎょうれつ となる。
つまり、p を含 ふく むある領域 りょういき D' について、f の D' への制限 せいげん
h
:=
f
|
D
′
:
D
′
→
f
(
D
′
)
{\displaystyle h:=f|_{D'}\colon D'\to f(D')}
が Ck 級 きゅう 全 ぜん 単 たん 射 しゃ で、
J
h
−
1
(
h
(
p
)
)
=
(
J
h
(
p
)
)
−
1
{\displaystyle J_{h^{-1}}(h(p))=(J_{h}(p))^{-1}}
となる。
一方 いっぽう 、Jf (p ) が退化 たいか している(階数 かいすう が落 お ちる)場合 ばあい には、以下 いか の二 ふた つの状況 じょうきょう がありうる。
f は p のまわりで局所 きょくしょ 的 てき に全 ぜん 単 たん 射 しゃ だが、逆 ぎゃく 関数 かんすう が f (p ) にて微分 びぶん 不可能 ふかのう
例 れい
x 3 は 0 付近 ふきん で全 ぜん 単 たん 射 しゃ だが、逆 ぎゃく 関数 かんすう は 0 で微分 びぶん 不可能 ふかのう
f は p のまわりで局所 きょくしょ 的 てき にも全 ぜん 単 たん 射 しゃ でない
例 れい
x 2 は 0 付近 ふきん で局所 きょくしょ 的 てき にも全 ぜん 単 たん 射 しゃ でない
この時 とき 、p を特異 とくい 点 てん 、または臨界 りんかい 点 てん という。ヤコビ行列 ぎょうれつ 及 およ びヤコビアンは、特異 とくい 点 てん を見 み つけるのにしばしば用 もち いられる。
ここでは、多様 たよう 体 たい 間 あいだ の写像 しゃぞう のヤコビ行列 ぎょうれつ について述 の べる。
M, N をそれぞれ m 次元 じげん 、n 次元 じげん の Ck (k ≥ 1) 多様 たよう 体 たい で、f をその間 あいだ の Ck 級 きゅう 写像 しゃぞう だとする。
このとき、f の点 てん p ∈ M での微分 びぶん dfp は、点 てん p における M の接 せっ ベクトル空間 くうかん Tp M と、点 てん f (p ) における N の接 せっ ベクトル空間 くうかん T f (p )N の間 あいだ の線型 せんけい 写像 しゃぞう となる。p のまわりの M の局所 きょくしょ 座標 ざひょう {x 1 , …, xm } および f (p ) のまわりの N の局所 きょくしょ 座標 ざひょう {y 1 , ..., yn } を定 さだ めると、それぞれの接 せっ ベクトル空間 くうかん における基底 きてい が定 さだ まる。
この基底 きてい に関 かん する dfp の表現 ひょうげん 行列 ぎょうれつ を f の p におけるヤコビ行列 ぎょうれつ と呼 よ ぶ。
写像 しゃぞう の微分 びぶん は局所 きょくしょ 座標 ざひょう に依存 いぞん しないが、ヤコビ行列 ぎょうれつ は局所 きょくしょ 座標 ざひょう の選 えら び方 かた に依存 いぞん する。
ただし、同 おな じ写像 しゃぞう の、局所 きょくしょ 座標 ざひょう の選 えら び方 かた を変 か えたヤコビ行列 ぎょうれつ 同士 どうし は互 たが いに共役 きょうやく である。
この定義 ていぎ は、冒頭 ぼうとう の定義 ていぎ の拡張 かくちょう となっている。
M = R m (の開 ひらき 集合 しゅうごう )、N = R n とし、それぞれに自明 じめい な局所 きょくしょ 座標 ざひょう を選 えら ぶことによって、冒頭 ぼうとう の定義 ていぎ と一致 いっち する[注 ちゅう 1] 。
極座標 きょくざひょう 系 けい に関 かん する具体 ぐたい 例 れい
編集 へんしゅう
ここでは、いくつかの極座標 きょくざひょう 系 けい から直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい への座標 ざひょう 変換 へんかん で、ヤコビアンがどのようになるか述 の べる。
円 えん 座標 ざひょう は、直交 ちょっこう 座標 ざひょう への座標 ざひょう 変換 へんかん (x , y ) = f (r , θ しーた ) = (r cos θ しーた , r sin θ しーた ) を与 あた えるから、ヤコビアンは
|
J
f
|
=
|
∂
(
x
,
y
)
∂
(
r
,
θ しーた
)
|
=
|
cos
θ しーた
−
r
sin
θ しーた
sin
θ しーた
r
cos
θ しーた
|
=
r
{\displaystyle |J_{f}|=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r}
となる。従 したが って、特異 とくい 点 てん は r = 0 となる点 てん 、即 すなわ ち (0, θ しーた ) である。これは直交 ちょっこう 座標 ざひょう での (0, 0) を表 あらわ す。
円柱 えんちゅう 座標 ざひょう は、直交 ちょっこう 座標 ざひょう への座標 ざひょう 変換 へんかん (x , y , z ) = f (r , θ しーた , z ) = (r cos θ しーた , r sin θ しーた , z ) を与 あた えるから、ヤコビアンは
|
J
f
|
=
|
cos
θ しーた
−
r
sin
θ しーた
0
sin
θ しーた
r
cos
θ しーた
0
0
0
1
|
=
r
{\displaystyle |J_{f}|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r}
となる。従 したが って、円 えん 座標 ざひょう のときと同 おな じく、特異 とくい 点 てん は r = 0 となる点 てん 、即 すなわ ち (0, θ しーた , z ) である。これは直交 ちょっこう 座標 ざひょう での (0, 0, z ) すなわち z –軸 じく を表 あらわ す。
球 たま 座標 ざひょう は、直交 ちょっこう 座標 ざひょう への座標 ざひょう 変換 へんかん (x , y , z ) = f (r , θ しーた , φ ふぁい ) = (r sinθ しーた cosφ ふぁい , r sinθ しーた sinφ ふぁい , r cosθ しーた ) を与 あた えるから、ヤコビアンは
|
J
f
|
=
|
sin
θ しーた
cos
ϕ
r
cos
θ しーた
cos
ϕ
−
r
sin
θ しーた
sin
ϕ
sin
θ しーた
sin
ϕ
r
cos
θ しーた
sin
ϕ
r
sin
θ しーた
cos
ϕ
cos
θ しーた
−
r
sin
θ しーた
0
|
=
r
2
sin
θ しーた
{\displaystyle |J_{f}|={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta }
となる。従 したが って、特異 とくい 点 てん は r = 0 または sin θ しーた = 0 となる点 てん 、即 すなわ ち (0, θ しーた , φ ふぁい ) と (r , 0, φ ふぁい ), (r , π ぱい , φ ふぁい ) である。これは直交 ちょっこう 座標 ざひょう での (0, 0, 0), (0, 0, r ), (0, 0, −r ) すなわち z –軸 じく を表 あらわ す。
^ ただし、冒頭 ぼうとう の定義 ていぎ とは m と n の役割 やくわり が逆 ぎゃく になっている
^ a b Weisstein, Eric W. "Jacobian" . mathworld.wolfram.com (英語 えいご ).
岩 いわ 堀 ほり 長慶 ちょうけい 編 へん 編 へん 『微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 』裳 も 華 はな 房 ぼう 、1983年 ねん 12月。ISBN 978-4-7853-1039-4 。
島 しま 和久 かずひさ 『多 た 変数 へんすう の微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 』近代 きんだい 科学 かがく 社 しゃ 、1991年 ねん 9月 がつ 。ISBN 978-4-7649-1024-9 。
Spivak, Michael (2018) [1965], Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus , Mathematics Monograph Series (Paperback ed.), New York: CRC Press, ISBN 978-0-8053-9021-6
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