真ま近きん点てん角かく

真ま近きん点てん角かく（しんきんてんかく、true anomaly）とは、天文学てんもんがく・天体てんたい力学りきがくにおいて、ケプラーの法則ほうそくに従したがう軌道きどう運動うんどうを行おこなう質点しつてん (天体てんたい) の、ある時刻じこくにおける軌道きどう上じょうの位置いちを表あらわすパラメータの1つである。真ま近きん点てん離はなれ角かくと呼よぶこともある。

真ま近きん点てん離はなれ角かく f は、主しゅ星ほしと軌道きどうの近きん点てんがなす半はん直線ちょくせん (つまりラプラス・ルンゲ・レンツベクトル) と主おも星ぼしと天体てんたいを結むすぶ半はん直線ちょくせん (つまり位置いちベクトル) がなす角かくとして定義ていぎされる。つまり、右みぎ図ずにおいてp を天体てんたいの位置いち、z を近きん点てん、s を焦点しょうてん (主しゅ星ほしの位置いち) としたときの角かく $\nu =\angle zsp$ のことを言いう。従したがって、主しゅ星ほしと天体てんたいの距離きょり r は、真ま近きん点てん角かく $\nu$ の関数かんすうとして

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \nu }}$

という形かたちに表示ひょうじすることができる。ここに a は軌道きどう長ちょう半径はんけい、e は離はなれ心しん率りつである。

離はなれ心しん率りつが1で2体たい衝突しょうとつの起おこる直線ちょくせん軌道きどうの時ときには真ま近きん点てん角かくが定義ていぎできなくなるがその場合ばあいには射影しゃえい近きん点てん角かくを使つかって表現ひょうげんできる。

他たの離はなれ角かくとの関係かんけい

真ま近きん点てん角かくはその時間じかん依存いぞん性せいおよび動どう径みち r との関係かんけいがともに複雑ふくざつであるため、種々しゅじゅの計算けいさんの際さいには離はなれ心こころ近きん点てん角かく E を用もちいる方ほうが便利べんりである。これは真ま近きん点てん角かく $\nu$ と

$\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

という関係かんけいにあるが、この等式とうしきは $\beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)$ を用もちいて

${\begin{aligned}\nu &=E+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {2}{s}}\beta ^{s}\sin sE\\&=E+2\left(\beta \sin E+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\sin 2E+{\frac {\beta ^{3}}{3}}\sin 3E+{\frac {\beta ^{4}}{4}}\sin 4E+\cdots \right)\end{aligned}}$

という級数きゅうすうの形かたちに書かき直なおすことができる。この級数きゅうすうにより、天体てんたいの離はなれ心こころ近きん点てん角かく E が求もとまっているならば真しん近きん点てん角かく $\nu$ を計算けいさんすることができる。

あるいは、離はなれ心こころ近きん点てん角かく E と平均へいきん近きん点てん角かく M の関係かんけいはケプラー方程式ほうていしきを解とくことにより求もとまるが、それを真ま近きん点てん角かく $\nu$ と平均へいきん近きん点てん角かく M によるフーリエ級数きゅうすう表示ひょうじに書かき直なおすと

${\begin{aligned}\nu &=M+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+e^{3}\left({\frac {13}{12}}\sin 3M-{\frac {1}{4}}\sin M\right)\\&+e^{4}\left({\frac {103}{96}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)\\&+e^{5}\left({\frac {1097}{960}}\sin 5M-{\frac {43}{64}}\sin 3M+{\frac {5}{96}}\sin M\right)\\&+e^{6}\left({\frac {1223}{960}}\sin 6M-{\frac {451}{480}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)+\cdots \end{aligned}}$

となる。

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