原点 げんてん Oから物体 ぶったい の位置 いち Pへのベクトル (位置 いち ベクトル (position vector))で表 あらわ される。
通常 つうじょう は x , r , s で表 あらわ され、O から P までの各 かく 軸 じく に沿 そ った直線 ちょくせん 距離 きょり に対応 たいおう する[1] 。
r
=
O
P
→
{\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}
「位置 いち ベクトル」という用語 ようご は、主 おも に微分 びぶん 幾何 きか 学 がく 、力学 りきがく 、時 とき にはベクトル解析 かいせき の分野 ぶんや で使用 しよう される。
2次元 じげん または3次元 じげん 空間 くうかん で使用 しよう されることが多 おお いが、任意 にんい の次元 じげん 数 かず のユークリッド空間 くうかん に容易 ようい に一般 いっぱん 化 か することができる[2] 。
3次元 じげん の空間 くうかん 曲線 きょくせん 。位置 いち ベクトル r はスカラー量 りょう t によってパラメータ化 か される。r = a では、赤 あか い線 せん は曲線 きょくせん の接線 せっせん であり、青 あお い面 めん は曲線 きょくせん の法線 ほうせん である。
3次元 じげん では、任意 にんい の3次元 じげん 座標 ざひょう とそれに対応 たいおう する基底 きてい ベクトルを使用 しよう して、空間 くうかん 内 ない の点 てん の位置 いち を定義 ていぎ することができる。位置 いち の座標 ざひょう の表 あらわ し方 かた を座標 ざひょう 系 けい という。よく使 つか われるのは直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい であり、ほかに球面 きゅうめん 座標 ざひょう 系 けい や円柱 えんちゅう 座標 ざひょう 系 けい が使用 しよう されることもある。
r
(
t
)
≡
r
(
x
,
y
,
z
)
≡
x
(
t
)
e
^
x
+
y
(
t
)
e
^
y
+
z
(
t
)
e
^
z
≡
r
(
r
,
θ しーた
,
ϕ
)
≡
r
(
t
)
e
^
r
(
θ しーた
(
t
)
,
ϕ
(
t
)
)
≡
r
(
r
,
θ しーた
,
z
)
≡
r
(
t
)
e
^
r
(
θ しーた
(
t
)
)
+
z
(
t
)
e
^
z
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} \left(x,y,z\right)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,\phi \right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t),\phi (t))\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,z\right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t))+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\,\!\cdots \\\end{aligned}}}
ここで t は媒介 ばいかい 変数 へんすう である。
これらの異 こと なる座標 ざひょう および対応 たいおう する基底 きてい ベクトルは、同 おな じ位置 いち ベクトルを表 あらわ す。より一般 いっぱん 化 か した曲線 きょくせん 座標 ざひょう (英語 えいご 版 ばん ) を代 か わりに使用 しよう することができ、連続 れんぞく 体力 たいりょく 学 がく や一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん で使 つか われる(後者 こうしゃ の場合 ばあい 、追加 ついか の時間 じかん 座標 ざひょう を必要 ひつよう とする)。
線形 せんけい 代数 だいすう では、n 次元 じげん の位置 いち ベクトルの抽象 ちゅうしょう 化 か が可能 かのう である。位置 いち ベクトルは、基底 きてい ベクトルの線形 せんけい 結合 けつごう として表 あらわ すことができる[3] [4] 。
r
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
⋯
+
x
n
e
n
{\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}}
全 すべ ての位置 いち ベクトルの集合 しゅうごう は、位置 いち 空間 くうかん (要素 ようそ が位置 いち ベクトルであるベクトル空間 くうかん )を形成 けいせい する。空間 くうかん 内 ない の別 べつ の位置 いち ベクトルを得 え るために、位置 いち を加算 かさん (ベクトル加算 かさん )し、長 なが さを計測 けいそく (スカラー乗算 じょうざん (英語 えいご 版 ばん ) )することができる。それぞれの xi (i = 1, 2, …, n ) は任意 にんい の値 ね であり、値 ね の集合 しゅうごう は空間 くうかん 内 ない の点 てん を定義 ていぎ するので、「空間 くうかん 」の概念 がいねん は直感 ちょっかん 的 てき である。
位置 いち 空間 くうかん の次元 じげん は n である(dim(R ) = n とも示 しめ される)。基底 きてい ベクトル e i に対 たい するベクトル r の座標 ざひょう は x i である。座標 ざひょう のベクトルは、座標 ざひょう ベクトルまたは n -タプル (x 1 , x 2 , …, xn )を形成 けいせい する。
各 かく 座標 ざひょう xi は、媒介 ばいかい 変数 へんすう t でパラメータ化 か することができる。1つのパラメータ xi (t ) は湾曲 わんきょく 1次元 じげん 経路 けいろ を記述 きじゅつ し、2つのパラメータ xi (t 1 , t 2 ) は湾曲 わんきょく 2次元 じげん 表面 ひょうめん を表 あらわ し、3つのパラメータ xi (t 1 , t 2 , t 3 ) は3次元 じげん 空間 くうかん を表 あらわ す。
基底 きてい 集合 しゅうごう B = {e 1 , e 2 , …, e n } の線型 せんけい 包 つつみ は、span(B ) = R と表 あらわ される位置 いち 空間 くうかん R に等 ひと しい。
位置 いち ベクトルフィールドは、連続 れんぞく した微分 びぶん 可能 かのう な空間 くうかん 曲線 きょくせん を記述 きじゅつ するために使用 しよう される。この場合 ばあい 、独立 どくりつ パラメータは時間 じかん でなくても、曲線 きょくせん の円弧 えんこ 長 ちょう などでもかまわない。
位置 いち ベクトル r (t ) は、ある時間 じかん t における点 てん 粒子 りゅうし の位置 いち を表 あらわ す。
古典 こてん 粒子 りゅうし の運動 うんどう に関 かん する量 りょう : 質量 しつりょう m 、位置 いち r 、速度 そくど v 、加速度 かそくど a
時間 じかん t の関数 かんすう である位置 いち ベクトル r に対 たい して、時間 じかん 微分 びぶん は t に関 かん して計算 けいさん することができる。これらの派生 はせい は、運動 うんどう 学 がく 、制御 せいぎょ 理論 りろん 、工学 こうがく および他 た の科学 かがく の研究 けんきゅう において共通 きょうつう の有用 ゆうよう 性 せい を有 ゆう する。
速度 そくど
v
=
d
r
d
t
{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}
ここで、 dr は変位 へんい の微分 びぶん 小 しょう である。
加速度 かそくど
a
=
d
v
d
t
=
d
2
r
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}
躍 おど 度 たび
j
=
d
a
d
t
=
d
2
v
d
t
2
=
d
3
r
d
t
3
{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}
位置 いち の1階 かい 微分 びぶん 、2階 かい 微分 びぶん 、3階 かい 微分 びぶん に対 たい するこれらの名前 なまえ は、基本 きほん 的 てき な運動 うんどう 学 がく で一般 いっぱん 的 てき に使用 しよう される[5] 。拡張 かくちょう によって、高次 こうじ 導 しるべ 関数 かんすう は同様 どうよう の方法 ほうほう で計算 けいさん することができる。これらの高次 こうじ 導 しるべ 関数 かんすう の研究 けんきゅう は、元 もと の変位 へんい 関数 かんすう の近似 きんじ を改善 かいぜん することができる。 このようなより高次 こうじ の項 こう は、変位 へんい 関数 かんすう を無限 むげん の数列 すうれつ の和 わ として正確 せいかく に表現 ひょうげん するために必要 ひつよう であり、工学 こうがく および物理 ぶつり 学 がく におけるいくつかの解析 かいせき 技術 ぎじゅつ を可能 かのう にする。
変位 へんい ベクトル は、与 あた えられた距離 きょり にわたって所与 しょよ の方向 ほうこう に空間 くうかん 点 てん を一様 いちよう に平行 へいこう 移動 いどう させる「動作 どうさ 」として定義 ていぎ することができる。従 したが って、変位 へんい ベクトルの加算 かさん は、これらの変位 へんい 動作 どうさ の構成 こうせい およびスカラー乗算 じょうざん を、距離 きょり の尺度 しゃくど として表現 ひょうげん する。これを念頭 ねんとう に置 お いて、空間 くうかん 内 ない の点 てん の位置 いち ベクトルを、ある点 てん をその点 てん に写像 しゃぞう する変位 へんい ベクトルとして定義 ていぎ することができる。従 したが って、位置 いち ベクトルは空間 くうかん の原点 げんてん の選択 せんたく に依存 いぞん し、変位 へんい ベクトルは初期 しょき 点 てん の選択 せんたく に依存 いぞん することに留意 りゅうい されたい。
^ H.D. Young, R.A. Freedman (2008). University Physics (12th ed.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 0-321-50130-6
^ Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993), p 28–29
^ Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3
^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1
^ Stewart, James (2001). “§2.8 - The Derivative As A Function”. Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1
Keller, F. J, Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing