数学 すうがく ベクトル空間 くうかん の次元 じげん 英 えい dimension 基底 きてい 濃度 のうど 基底 きてい 属 ぞく 個数 こすう 他 た 種類 しゅるい 次元 じげん ヒルベルト次元 じげん ）との区別 くべつ ハメル次元 じげん または代 だい 数 すう 次元 じげん 呼 よ 定義 ていぎ 任意 にんい 空間 くうかん 選択 せんたく 公理 こうり 仮定 かてい 基底 きてい 持 も 一 ひと 空間 くうかん 基底 きてい 二 ふた 必 かなら 同 おな 濃度 のうど 持 も 二 ふた 事実 じじつ 依存 いぞん 事実 じじつ 結果 けっか 空間 くうかん 次元 じげん 空間 くうかん 対 たい 一意的 いちいてき 定 さだ 体 からだ F 上 うえ 空間 くうかん V の次元 じげん dimF V ) あるいは [V : F ] で表 あらわ 文脈 ぶんみゃく 基礎 きそ 体 からだ F が明 あき 単 たん dim(V ) と書 か
ベクトル空間 くうかん V が有限 ゆうげん 次元 じげん 次元 じげん 有限 ゆうげん 値 ち
ベクトル空間 くうかん R 3
{
(
1
0
0
)
,
(
0
1
0
)
,
(
0
0
1
)
}
{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
を基底 きてい 持 も 従 したが dimR R 3 ) = 3 が成 な 立 た 一般 いっぱん dimR R n n が成 な 立 た 一般 いっぱん 任意 にんい 体 からだ F に対 たい dimF F n n が成 な 立 た
複素数 ふくそすう 全体 ぜんたい C 実 じつ 空間 くうかん 複素 ふくそ 空間 くうかん 場合 ばあい dimR C ) = 2 および dimC C ) = 1 が成 な 立 た 従 したが 次元 じげん 値 ね 基礎 きそ 体 からだ 取 と 方 かた 依存 いぞん
次元 じげん 0 のベクトル空間 くうかん 零 れい 空間 くうかん {0 } のみである。
ベクトル空間 くうかん V の部分 ぶぶん 線型 せんけい 空間 くうかん W に対 たい dim(W ) ≤ dim(V ) が成 な 立 た
二 ふた 有限 ゆうげん 次元 じげん 空間 くうかん 等 ひと 示 しめ 次 つぎ 判定 はんてい 規準 きじゅん 利用 りよう
V が有限 ゆうげん 次元 じげん 空間 くうかん W が V の部分 ぶぶん 線型 せんけい 空間 くうかん dim(W ) = dim(V ) ならば W = V 成 な 立 た R n 標準 ひょうじゅん 的 てき 基底 きてい {e 1 , ..., e n を持 も e i 単位 たんい 行列 ぎょうれつ 第 だい i -列 れつ 対応 たいおう 従 したが R n 次元 じげん n である。
体 からだ F 上 うえ 任意 にんい 二 ふた 空間 くうかん 次元 じげん 等 ひと 互 たが 同型 どうけい 基底 きてい 間 あいだ 任意 にんい 全 ぜん 単 たん 射 しゃ 空間 くうかん 間 あいだ 全 ぜん 単 たん 射 しゃ 線型 せんけい 写像 しゃぞう 一意的 いちいてき 拡張 かくちょう 集合 しゅうごう B が与 あた F 上 うえ 次元 じげん |B | （B の濃度 のうど 空間 くうかん 次 つぎ 作 つく 写像 しゃぞう f : B → F 有限 ゆうげん 個 こ 例外 れいがい 除 のぞ B の各 かく 元 もと b に対 たい f (b ) = 0全体 ぜんたい F (B ) 取 と 元 もと 和 わ 倍 ばい 写像 しゃぞう 間 あいだ 加法 かほう F の元 もと 乗法 じょうほう 定 さだ 初期 しょき F -ベクトル空間 くうかん
次元 じげん 重要 じゅうよう 結果 けっか 線型 せんけい 写像 しゃぞう 対 たい 階数 かいすう 退化 たいか 次数 じすう 定理 ていり 挙 あ
F /K 体 からだ 拡大 かくだい 拡大 かくだい 体 たい F は特 とく 部分 ぶぶん 体 たい K 上 うえ 空間 くうかん 構造 こうぞう 持 も 任意 にんい F -ベクトル空間 くうかん V は K -ベクトル空間 くうかん 見 み 空間 くうかん 次元 じげん
dimK V ) = dimK F ) dimF V ) なる関係 かんけい 結 むす 特 とく 任意 にんい n -次元 じげん 複素 ふくそ 空間 くうかん 実 じつ 空間 くうかん 次元 じげん 2n を持 も
ベクトル空間 くうかん 次元 じげん 基底 きてい 濃度 のうど 空間 くうかん 自身 じしん 濃度 のうど 関 かん 簡単 かんたん 公式 こうしき 知 し V を体 からだ F 上 うえ 空間 くうかん 次元 じげん dim V で表 あらわ
dim V が有限 ゆうげん |V | = |F |dimV dim V が無限 むげん |V | = max(|F |, dim V ) などが成立 せいりつ
ベクトル空間 くうかん マトロイド の特別 とくべつ 場合 ばあい 後者 こうしゃ 次元 じげん 概念 がいねん 矛盾 むじゅん 定義 ていぎ 加 か 群 ぐん 長 なが アーベル群 ぐん は、いずれもベクトル空間 くうかん 次元 じげん 同様 どうよう 性質 せいしつ
ヴォルフガンク・クルル (1899–1971) に由来 ゆらい 可 か 換 かわ 環 たまき クルル次元 じげん は、環 たまき 素 す 昇 のぼり 列 れつ 真 しん 包含 ほうがん 関係 かんけい 個数 こすう 最大 さいだい 定義 ていぎ
ベクトル空間 くうかん 次元 じげん 恒等 こうとう 作用素 さようそ トレース として特徴付 とくちょうづ 例 たと
tr
id
R
2
=
tr
(
1
0
0
1
)
=
1
+
1
=
2
{\displaystyle \operatorname {tr} \operatorname {id} _{\mathbf {R} ^{2}}=\operatorname {tr} {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1+1=2}
はトレースの定義 ていぎ 明 あき 一般 いっぱん 化 か 有用 ゆうよう
まず、これにより自然 しぜん 意味 いみ 基底 きてい 定義 ていぎ 言 い 場合 ばあい 次元 じげん 概念 がいねん 定義 ていぎ 例 たと 代数 だいすう A が単位 たんい 射 しゃ η いーた K → A 余 よ 単位 たんい 射 しゃ ε いぷしろん A → K 持 も 合成 ごうせい 射 しゃ ε いぷしろん η いーた K → K 恒等 こうとう 変換 へんかん 対応 たいおう 一 いち 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう 線型 せんけい 作用素 さようそ 抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 対 たい 次元 じげん 概念 がいねん 考 かんが 実用 じつよう 上 じょう 双 そう 代数 だいすう 余 よ 単位 たんい 射 しゃ 次元 じげん 割 わ ε いぷしろん n )tr正規 せいき 化 か 合成 ごうせい 射 しゃ 恒等 こうとう 変換 へんかん 要求 ようきゅう 場合 ばあい 正規 せいき 化 か 定数 ていすう 次元 じげん 対応 たいおう
また、無限 むげん 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう 作用素 さようそ 定義 ていぎ 場合 ばあい 有限 ゆうげん 次元 じげん 存在 そんざい 有限 ゆうげん 次 じ 定義 ていぎ 作用素 さようそ 次元 じげん 概念 がいねん 考 かんが ヒルベルト空間 くうかん 上 うえ トレースクラス 作用素 さようそ 一般 いっぱん バナッハ空間 くうかん 上 うえ 核 かく 作用素 さようそ 考 かんが 方 かた 該当 がいとう
もう少 すこ 一般 いっぱん 化 か 作用素 さようそ 族 ぞく 捻 ねじ 時限 じげん 一種 いっしゅ 考 かんが 表現 ひょうげん 論 ろん 顕著 けんちょ 現 あらわ 表現 ひょうげん 論 ろん 表現 ひょうげん 指標 しひょう 表現 ひょうげん 群 ぐん G 上 うえ 値 ち 函数 かんすう χ かい G → K 単位 たんい 元 もと 1 ∈ G における値 ね χ かい 表現 ひょうげん 次元 じげん 表現 ひょうげん 単位 たんい 元 もと 写 うつ 先 さき 単位 たんい 行列 ぎょうれつ
χ かい (
1
G
)
=
tr
I
V
=
dim
V
{\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} I_{V}=\dim V}
が成立 せいりつ 指標 しひょう 他 ほか 値 ね χ かい g )捻 ねじ 次元 じげん 考 かんが 次元 じげん 関 かん 主張 しゅちょう 対 たい 次元 じげん 指標 しひょう 表現 ひょうげん 置 お 換 か 一般 いっぱん 化 か 得 え モンスター群 ぐん のムーンシャイン現象 げんしょう の理論 りろん 生 しょう j -不 ふ 変量 へんりょう モンスター群 ぐん の無限 むげん 次元 じげん 次数 じすう 表現 ひょうげん 次数 じすう 次元 じげん 次元 じげん 指標 しひょう 取 と 替 か 群 ぐん 各 かく 元 もと 対 たい マッケイ＝トンプソン級数 きゅうすう が与 あた [1]
Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , ISBN 0-521-83531-3
