濃度のうど (数学すうがく)

数学すうがく、特とくに集合しゅうごう論ろんにおいて、濃度のうど（のうど、英えい: cardinality カーディナリティ）とは、有限ゆうげん集合しゅうごうにおける「元もとの個数こすう」を一般いっぱんの集合しゅうごうに拡張かくちょうしたものである。集合しゅうごうの濃度のうどは基数きすう (cardinal number) と呼よばれる数かずによって表あらわされる。歴史れきし的てきには、カントールにより初はじめて無限むげん集合しゅうごうのサイズが一ひとつではないことが見出みいだされた。

濃度のうどの関係かんけい

集合しゅうごう X と Y の間あいだに全ぜん単たん射しゃが存在そんざいするとき X ≈ Y と書かき、X と Y は濃度のうどが等ひとしいという。

集合しゅうごう X から集合しゅうごう Y のへの単たん射しゃが存在そんざいするとき X ≾ Y と書かき、X の濃度のうどは Y の濃度のうど以下いかであるという。

集合しゅうごう X と Y について、X ≾ Y だが X ≈ Y でないとき、X ≺ Y と書かき、X の濃度のうどは Y の濃度のうどより小ちいさいという。

シュレーダー=ベルンシュタインの定理ていりにより、X ≾ Y かつ Y ≾ X なら、X ≈ Y が成なり立たつ。さらに、選択せんたく公理こうりを仮定かていすれば、任意にんいの集合しゅうごう X と Y に対たいして、X ≾ Y または Y ≾ X が成なり立たつ。

| X | = | Y | ⇔ X ≈ Y が常つねに成なり立たつ集合しゅうごうへの数学すうがく的てき対象たいしょうの割わり当あてを濃度のうどといい、濃度のうどとして割わり当あてられる数学すうがく的てき対象たいしょうを基数きすうという（濃度のうど | X | は card(X), #X などとも表記ひょうきされる）。

厳密げんみつな定義ていぎ

（カントールによって暗あんに、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確めいかくに示しめされていた）集合しゅうごう X の濃度のうどの最もっとも古ふるい定義ていぎは、X と一対一いちたいいち対応たいおうのつくすべての集合しゅうごうからなるクラス [X] としての定義ていぎである。これは、ZFCや関連かんれんする集合しゅうごう論ろんの公理系こうりけいではうまく機能きのうしない。それは、X が空そらでないならば、一対一いちたいいち対応たいおうのつくすべての集合しゅうごうを集あつめたものは集合しゅうごうにしては大おおきすぎるからである。実際じっさい、X を空そらでない集合しゅうごうとしたとき、集合しゅうごう S に {S} × X を対応たいおうさせる写像しゃぞうを考かんがえることによって、宇宙うちゅうから [X] への単たん射しゃが存在そんざいし、サイズの限界げんかいより、[X] は真しんのクラスである。

フォン・ノイマンの割わり当あて

選択せんたく公理こうりを仮定かていすると集合しゅうごう X に対たいし濃度のうど | X | を | X | := min{αあるふぁ ∈ ON : |αあるふぁ| = | X | } と定義ていぎできる 。

これをフォン・ノイマンの割わり当あてという。

スコットのトリック

正則せいそく性せい公理こうりの元もと、任意にんいのクラスに対たいし画一かくいつ的てきに（そのクラスの部分ぶぶんクラスとなる）集合しゅうごうを割わり当あてる方法ほうほうであるスコットのトリックを使つかうと、 整列せいれつ可能かのうとは限かぎらない集合しゅうごう X に濃度のうど | X | を以下いかのように割わり当あてることができる（詳くわしくはスコットのトリックを参照さんしょう）。

| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意にんいの集合しゅうごう B に対たいし「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」

どのような定義ていぎを採用さいようするにしろ集合しゅうごうの濃度のうどが等ひとしいのは、それらの間あいだに全ぜん単たん射しゃが構成こうせいできるちょうどそのときである。

様々さまざまな集合しゅうごうの濃度のうど

有限ゆうげん集合しゅうごう

有限ゆうげん集合しゅうごうの濃度のうどは自然しぜん数すうを使つかって表あらわせられる。濃度のうどがn である集合しゅうごうをn 点てん集合しゅうごうという。

可算かさん集合しゅうごう

詳細しょうさいは「可算かさん集合しゅうごう」を参照さんしょう

自然しぜん数すう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうの濃度のうどを可算かさん無限むげん濃度のうどまたは単たんに可算かさん濃度のうどという（古ふるくは可か付づけ番ばん濃度のうどとも呼よばれた）。通常つうじょう、$\aleph _{0}$（アレフ・ゼロ）あるいは ${\mathfrak {a}}$ と表記ひょうきされる。$\aleph$はヘブライ文字もじのアレフである。濃度のうどが可算かさん無限むげんになる集合しゅうごうを可算かさん無限むげん集合しゅうごうまたは単たんに可算かさん集合しゅうごう（英えい: countable set）という。たとえば、整数せいすう全体ぜんたいからなる集合しゅうごう、有理数ゆうりすう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうはいずれも可算かさん無限むげん集合しゅうごうである。可算かさん無限むげん以下いかである濃度のうどを高々たかだか可算かさんな濃度のうどまたは単たんに可算かさん濃度のうどという。

可算かさん無限むげん濃度のうどには以下いかの性質せいしつがある。

• $\aleph _{0}$ は極小きょくしょうな無限むげん濃度のうどである。すなわち、$\kappa$ が $\aleph _{0}$ より小ちいさい濃度のうどならば、$\kappa$ は有限ゆうげん濃度のうど（すなわち自然しぜん数すう）である。
• 選択せんたく公理こうりを仮定かていすると、$\aleph _{0}$ は最小さいしょうな無限むげん濃度のうどである。すなわち、全すべての無限むげん濃度のうど $\kappa$ に対たいして、$\aleph _{0}\leq \kappa$ が成なり立たつ。

非ひ可算かさん集合しゅうごう

詳細しょうさいは「連続れんぞく体たい濃度のうど」および「非ひ可算かさん集合しゅうごう」を参照さんしょう

連続れんぞく体たい濃度のうどとは実数じっすう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうの濃度のうどである。$\aleph$ あるいは ${\mathfrak {c}}$ と表記ひょうきされる（ベート数すうを使つかって $\beth _{1}$ と書かくこともできる）。カントールの対角線たいかくせん論法ろんぽうによって $\aleph _{0}<\aleph$ が成なり立たつことが証明しょうめいされる。ユークリッド空間くうかんをはじめとする多おおくの有限ゆうげん次元じげんの空間くうかんが連続れんぞく体たい濃度のうどを持もつ。さらにはユークリッド空間くうかんの上うえの連続れんぞく関数かんすう全体ぜんたいや可分かぶんなヒルベルト空間くうかん全体ぜんたいもこの濃度のうどである。

連続れんぞく体たい濃度のうどの冪べき濃度のうどは $\beth _{2}$ あるいは $2^{\mathfrak {c}}$ などと表記ひょうきされる。ユークリッド空間くうかん上じょうの関数かんすう全体ぜんたいなどはこの濃度のうどを持もつ。

集合しゅうごう演算えんざんと濃度のうど

濃度のうどの間あいだに以下いかの演算えんざんが定義ていぎされる（詳くわしくは基数きすう#基数きすう演算えんざんを参照さんしょう）。

| X |+| Y | := | X ⊔ Y |（ただし X ⊔ Y は X と Y の直和なおかず (X × {0})∪(Y × {1}) のこと）

を | X | と | Y | の和わという。

| X |·| Y | := | X × Y |（ただし X × Y は X と Y の直積ちょくせき。）

を | X | と | Y | の積せきという。

| X |^{| Y |} := | X^Y|（ただし X^Y は Y から X への写像しゃぞう全体ぜんたい。）

を | X | を底そこ、| Y | を指数しすうとする冪べきという。

このとき以下いかが成立せいりつ。

| X ∪ Y |+| X ∩ Y | = | X |+| Y |

| P(X ) | = 2^{| X |}

参考さんこう文献ぶんけん

• 松坂まつさか和夫かずお『集合しゅうごう・位相いそう入門にゅうもん』岩波書店いわなみしょてん、1968年ねん。ISBN 4-00-005424-4。 

関連かんれん項目こうもく

• 基数きすう
• 連続れんぞく体たい仮説かせつ
• 連続れんぞく体たい濃度のうど

外部がいぶリンク

• 『集合しゅうごうの濃度のうどと可算かさん無限むげん・非ひ可算かさん無限むげん』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり