基数きすう

数学すうがくにおいて基数きすう（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合しゅうごうの濃度のうど（cardinality、大おおきさ、サイズ）を測はかるために定義ていぎされた自然しぜん数すうの一般いっぱん化かである。有限ゆうげん集合しゅうごうの濃度のうどつまり有限ゆうげん集合しゅうごうの要素ようその個数こすうは自然しぜん数すうで表あらわされる。無限むげん集合しゅうごうの濃度のうどが一ひとつではないことはゲオルク・カントールによって示しめされた。基数きすうは、集合しゅうごう論ろんで活発かっぱつに研究けんきゅうされている。また、組合くみあわせ論ろんや抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく、解析かいせき学がくを含ふくめた数学すうがくの各かく分野ぶんやの道具どうぐとしても使つかわれる。圏けん論ろんでは、基数きすうは集合しゅうごうの圏けんの骨格こっかく（英語えいご版ばん）を形成けいせいする。

歴史れきし

濃度のうどは、集合しゅうごう論ろんの創始そうし者しゃであるゲオルク・カントールによって定式ていしき化かされた。濃度のうどは、集合しゅうごうの一いち側面そくめんを比くらべるのに用もちいられる。例たとえば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} という集合しゅうごうは等ひとしくない。しかし、（{1→4, 2→5, 3→6}という一対一いちたいいちの対応たいおうの存在そんざいによって確立かくりつされた）3という同おなじ“濃度のうど”を持もっている。

カントールは、一対一いちたいいち対応たいおうという概念がいねんを無限むげん集合しゅうごうに適用てきようすることで濃度のうどを定義ていぎした。自然しぜん数すう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうNとの間あいだに一対一いちたいいち対応たいおうが存在そんざいする集合しゅうごうを可算かさん無限むげん集合しゅうごうといい、可算かさん無限むげん集合しゅうごうは同おなじ基数きすう $\aleph _{0}$ （アレフ・ゼロ）を持もつ。カントールは、このような無限むげん集合しゅうごうに対応たいおうする基数きすうを超ちょう限きり基数きすう (transfinite cardinal) と呼よんだ。

カントールは、直観ちょっかんに反はんするかもしれないが、Nのいかなる非ひ有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうもNと同おなじ濃度のうどを持もつということを証明しょうめいした。また、Nの直積ちょくせきN×Nも可算かさん無限むげんであるということを証明しょうめいした（これは有理数ゆうりすう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうが可算かさん無限むげんであることを直ただちに導みちびく）。また、後のちに代数だいすう的てき数すう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうも可算かさん無限むげんであることも証明しょうめいした。

カントールは1874年ねんの論文ろんぶん^[1] において、Nの濃度のうどより実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごうの濃度のうどのほうが真しんに大おおきいということを示しめすことによって、高階たかしなの基数きすうが存在そんざいすることを示しめした。彼かれの証明しょうめいは、区間くかん縮小しゅくしょう法ほうを用もちいた複雑ふくざつな論法ろんぽうであった。しかし、1891年ねんの論文ろんぶん^[2] では、同おなじことを巧妙こうみょうかつ簡潔かんけつな対角線たいかくせん論法ろんぽうという方法ほうほうを用もちいて証明しょうめいした。実数じっすう全体ぜんたいの集合しゅうごうに対応たいおうする新あたらしい基数きすうを、連続れんぞく体たい濃度のうどといい、カントールは ${\mathfrak {c}}$ という記号きごうをそれに用もちいた。

カントールは基数きすうの一般いっぱん理論りろんの大だい部分ぶぶんを発展はってんさせた。彼かれは最小さいしょうの超ちょう限きり基数きすうの存在そんざいを示しめした。また、いかなる基数きすうについても、その次つぎに大おおきい基数きすうが存在そんざいすることを示しめした。

彼かれが予想よそうした連続れんぞく体たい仮説かせつは、 ${\mathfrak {c}}$ は $\aleph _{1}$ に等ひとしい、という命題めいだいである。連続れんぞく体たい仮説かせつは、公理系こうりけいから証明しょうめいもその否定ひていも証明しょうめいできないという意味いみで、集合しゅうごう論ろんの通常つうじょうの公理系こうりけい（ツェルメロ・フレンケルの公理系こうりけい）から独立どくりつであることが示しめされている。

動機どうき

有限ゆうげん集合しゅうごうの要素ようその個数こすうは自然しぜん数すうを使つかって数かぞえることが出来できる。自然しぜん数すうの個数こすうを数かぞえる役割やくわりも「基数きすう」と呼よばれる（対照たいしょう的てきに順番じゅんばんを数かぞえる役割やくわりは序じょ数すうと呼よばれる。基数きすう詞しと序数詞じょすうしを参照さんしょう）。通常つうじょう数学すうがくでは有限ゆうげん集合しゅうごうだけではなく無限むげん集合しゅうごうが現あらわれ、特とくに可算かさん濃度のうどと非ひ可算かさん濃度のうどを区別くべつすることは大おおきな意味いみを持もつ。このため有限ゆうげん集合しゅうごうの場合ばあいの自然しぜん数すうの一般いっぱん化かとして無限むげん集合しゅうごうの濃度のうどについてもそれを表あらわす「指標しひょう」として基数きすうを定義ていぎしたい。

集合しゅうごうの濃度のうどの概念がいねんは全ぜん単たん射しゃをもちいて定義ていぎされる。2つの集合しゅうごうが等ひとしい濃度のうどを持もつとは、その集合しゅうごうの間あいだに全ぜん単たん射しゃが存在そんざいすることをいう。有限ゆうげん集合しゅうごうは必かならずなんらかの自然しぜん数すう n にたいし {0 ... n-1} との間あいだに全ぜん単たん射しゃが作つくれることがわかり、有限ゆうげん集合しゅうごうの濃度のうどの指標しひょうとしては自然しぜん数すうを採用さいようすればいいことが分わかる。無限むげん集合しゅうごうの場合ばあいは、振ふる舞まいは複雑ふくざつになってくる。例たとえば、有限ゆうげん集合しゅうごうの真ま部分ぶぶん集合しゅうごうと元もとの集合しゅうごうの濃度のうどが等ひとしくなり得えないのに対たいし、無限むげん集合しゅうごうの真ま部分ぶぶん集合しゅうごうの濃度のうどが元もとの集合しゅうごうの濃度のうどと等ひとしいということが起おきる（デデキント無限むげんも参照さんしょう）。さらにカントールが示しめしたように、無限むげん集合しゅうごうの濃度のうどには最大さいだいが存在そんざいせず、いくらでも大おおきな濃度のうどを構成こうせいすることが出来できる。

カントールは基数きすうを濃度のうどが等ひとしい集合しゅうごうからなる同値どうち類るいとして素朴そぼくに定義ていぎした。しかし（ZFCなどの標準ひょうじゅん的てきな集合しゅうごう論ろんでは）この方法ほうほうでは基数きすうを集合しゅうごうとして扱あつかうことは出来できず、また基数きすうからなる集合しゅうごうやクラスを考かんがえることは本質ほんしつ的てきに困難こんなんである。これを回避かいひする方法ほうほうはフォン・ノイマンやデイナ・スコット^[3] によって提示ていじされた。

定義ていぎ

基数きすうの厳密げんみつな定義ていぎ

（カントールによって暗あんに、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確めいかくに示しめされていた）基数きすうの最もっとも古ふるい定義ていぎは、集合しゅうごう全体ぜんたいからなるクラスを濃度のうどによる同値どうち関係かんけいで割わったときの同値どうち類るいとしての定義ていぎである。つまり $X$ の濃度のうど $| X |$ は $X$ と一対一いちたいいち対応たいおうであるすべての集合しゅうごうからなるクラスとして定義ていぎされる。これは、ZFCや関連かんれんする集合しゅうごう論ろんの公理系こうりけいではうまく機能きのうしない。実際じっさい、 $X$ を空そらでない集合しゅうごうとしたとき、集合しゅうごう $S$ に ${S}\times X$ を対応たいおうさせる写像しゃぞうを考かんがえることによって、宇宙うちゅうから $| X |$ への単たん射しゃが存在そんざいし、サイズの限界げんかい (en:Limitation of size) より、 $| X |$ は真しんのクラスである。

フォン・ノイマンの割わり当あて

任意にんいの順序じゅんじょ数すう $β べーた$ に対たいし $β べーた < α あるふぁ \Rightarrow | β べーた | < | α あるふぁ |$ を満みたす順序じゅんじょ数すう $α あるふぁ$ を始はじめ順序じゅんじょ数すう (initial ordinal) という^{[注釈ちゅうしゃく 1]}。このとき整列せいれつ可能かのうな集合しゅうごう $X$ に対たいして $min{α あるふぁ \in ON :| α あるふぁ | = | X |$ } を濃度のうど $| X |$ の始はじめ順序じゅんじょ数すうという（ただし ON は順序じゅんじょ数すう全体ぜんたいからなるクラス）。整列せいれつ可能かのうな集合しゅうごうの濃度のうどをその始はじめ順序じゅんじょ数すうとして定義ていぎすることをフォン・ノイマンの割わり当あてという。

スコットのトリック

整列せいれつ可能かのう定理ていりを仮定かていしない場合ばあい、以下いかの方法ほうほうを用もちいて整列せいれつ可能かのうとは限かぎらない集合しゅうごう $X$ に濃度のうどとして以下いかの集合しゅうごうを割わり当あてる（詳くわしくはスコットのトリックを参照さんしょう）：

| X | := {A : | A | = | X |

かつ、任意にんいの集合しゅうごう

B

にたいし

「| B | = | X | \to rank(A) \leq rank(B)」

}

このとき基数きすうはある集合しゅうごうと濃度のうどが等ひとしい集合しゅうごうのうち階数かいすうが一番いちばん小ちいさいもの全体ぜんたいからなる集合しゅうごうとして定義ていぎされる。

どのような定義ていぎを採用さいようするにしろ2つの基数きすうが等ひとしいのは、それらの基数きすうを濃度のうどとするような集合しゅうごうの間あいだに全ぜん単たん射しゃが構成こうせいできるちょうどそのときである。整列せいれつ可能かのうな集合しゅうごうの濃度のうどとして表あらわせる基数きすうをアレフ数すう（aleph number）という。ここでは基数きすう全体ぜんたいからなるクラスを $\mathbb {CN}$ とかく。 $\mathbb {CN}$ は真しんのクラスである。

大小だいしょう関係かんけい

基数きすうの間あいだの大小だいしょう関係かんけいを

$κ かっぱ \leq λ らむだ$ ⇔ 「 $X$ 、 $Y$ が $κ かっぱ = | X | , λ らむだ = | Y |$ を満みたすなら、 $X$ から $Y$ への単たん射しゃが存在そんざいする」

と定義ていぎする

有限ゆうげん基数きすうと無限むげん基数きすう

有限ゆうげん集合しゅうごうの濃度のうどとなる基数きすうを有限ゆうげん基数きすうといい、自然しぜん数すう $n$ にたいし、 $n$ 点てん集合しゅうごうの濃度のうどを $n$ と書かく。無限むげん集合しゅうごうの濃度のうどとなる基数きすうを無限むげん基数きすうという。自然しぜん数すう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうの濃度のうどを $\aleph _{0}$ と書かく（ $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |$ ）。実数じっすう全体ぜんたいからなる集合しゅうごうの基数きすうを ${\mathfrak {c}}$ などと書かき（ ${\mathfrak {c}}=\beth _{1}=|\mathbb {R} |=|2^{\mathbb {N} }|$ ）連続れんぞく体たい濃度のうどと呼よぶ。

基数きすう演算えんざん

基数きすうに対たいしての基本きほん的てきな演算えんざんは、有限ゆうげん基数きすうについて自然しぜん数すう上じょうのよく知しられた演算えんざんと一致いっちするように定義ていぎされる。

以下いか、特とくに言及げんきゅうのないときは選択せんたく公理こうりを仮定かていする。 $X$ 、 $Y$ は集合しゅうごう、 $κ かっぱ$ 、 $λ らむだ$ 、 $μ みゅー$ 、 $ν にゅー$ は基数きすうとする。

後続こうぞく

| X | + := |{α あるふぁ \in ON : | α あるふぁ |\leq| X | }|

を $X$ のハルトークス数すう (Hartogs number) という（これは濃度のうどが $| X |$ より大おおきい最小さいしょうの順序じゅんじょ数すうと一致いっちする）。 $κ かっぱ +$ を $κ かっぱ$ の後続こうぞくという。 $κ かっぱ$ が有限ゆうげんの時ときは $κ かっぱ + = κ かっぱ +1$ が成立せいりつ。一方いっぽう、無限むげん基数きすうのときは $κ かっぱ +$ と $κ かっぱ +1$ は異ことなる。

加法かほう

| X |+| Y | := | X ⊔ Y |

（ただし

X ⊔ Y

は

X

と

Y

の直和なおかず

(X \times {0})\cup(Y \times {1})

のこと）

を $| X |$ と $| Y |$ の和わという。基数きすうの加法かほうについて以下いかが成なり立たつ。

単位たんい元もと : $κ かっぱ +0 = κ かっぱ$
結合けつごう律りつ : $(κ かっぱ + λ らむだ)+ μ みゅー = κ かっぱ +(λ らむだ + μ みゅー)$
可か換かわ律ただし : $κ かっぱ + λ らむだ = λ らむだ + κ かっぱ$
順序じゅんじょの保存ほぞん : $κ かっぱ \leq λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ + μ みゅー \leq λ らむだ + μ みゅー$
$κ かっぱ$ と $λ らむだ$ のどちらかが無限むげん基数きすうのとき $κ かっぱ + λ らむだ = max{κ かっぱ, λ らむだ$ }
減法げんぽう : 無限むげん基数きすう $κ かっぱ$ と基数きすう $λ らむだ$ にたいし、 $κ かっぱ > λ らむだ$ のとき $λ らむだ + μ みゅー = κ かっぱ \Leftrightarrow μ みゅー = κ かっぱ$

乗法じょうほう

| X |\cdot| Y | := | X \times Y |

　（ただし

X \times Y

は

X

と

Y

の直積ちょくせき。）

を $| X |$ と $| Y |$ の積せきという。

吸収きゅうしゅう元もと : $κ かっぱ \cdot0 = 0$
零れい因子いんしの非ひ存在そんざい : $κ かっぱ \neq 0 , λ らむだ \neq 0 \Rightarrow κ かっぱ \cdot λ らむだ \neq 0$
単位たんい元もと : $κ かっぱ \cdot1 = κ かっぱ$
結合けつごう律りつ : $(κ かっぱ \cdot λ らむだ)\cdot μ みゅー = κ かっぱ \cdot(λ らむだ \cdot μ みゅー)$
可か換かわ律ただし : $κ かっぱ \cdot λ らむだ = κ かっぱ \cdot λ らむだ$
順序じゅんじょの保存ほぞん : $κ かっぱ \leq λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ \cdot μ みゅー \leq λ らむだ \cdot μ みゅー$
分配ぶんぱい律りつ : $κ かっぱ \cdot(λ らむだ +\cdot μ みゅー) = κ かっぱ \cdot λ らむだ + κ かっぱ \cdot μ みゅー$ 、 $(κ かっぱ + λ らむだ)\cdot μ みゅー = κ かっぱ \cdot μ みゅー + λ らむだ \cdot μ みゅー$
0 でない基数きすう $κ かっぱ$ と $λ らむだ$ のどちらかが無限むげん基数きすうのとき $κ かっぱ \cdot λ らむだ = max{κ かっぱ, λ らむだ$ }

除法じょほう

無限むげん基数きすう $κ かっぱ$ と基数きすう $λ らむだ > 0$ にたいし、 $κ かっぱ > λ らむだ$ のとき $λ らむだ \cdot μ みゅー = κ かっぱ \Leftrightarrow μ みゅー = κ かっぱ$ 。

冪べき

| X | | Y | := | X Y |

　（ただし

X Y

は

Y

から

X

への写像しゃぞう全体ぜんたい。）

を $| X |$ を底そこ、 $| Y |$ を指数しすうとする冪べきという。

$κ かっぱ 0 = 1$ 、 $κ かっぱ 1 = κ かっぱ$
$κ かっぱ > 0 \Rightarrow 0 κ かっぱ = 0$
指数しすう法則ほうそく :

κ かっぱ (λ らむだ + μ みゅー) = κ かっぱ λ らむだ \cdot κ かっぱ μ みゅー

(κ かっぱ \cdot λ らむだ) μ みゅー = κ かっぱ μ みゅー \cdot λ らむだ μ みゅー

(κ かっぱ λ らむだ) μ みゅー = κ かっぱ λ らむだ \cdot μ みゅー

順序じゅんじょの保存ほぞん :

κ かっぱ \leq λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ μ みゅー \leq λ らむだ μ みゅー

κ かっぱ > 0 , λ らむだ \leq μ みゅー \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ \leq κ かっぱ μ みゅー

$2\leq \kappa <\aleph _{0}\Rightarrow \kappa ^{\lambda }=2^{\lambda }$ 、 $1\leq \lambda <\aleph _{0}\Rightarrow \kappa ^{\lambda }=\kappa$
無限むげん基数きすう $λ らむだ$ にたいし以下いかが成立せいりつ。

2 \leq κ かっぱ \leq 2 λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ = 2 λ らむだ

λ らむだ \leq κ かっぱ \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ \leq 2 κ かっぱ

|cf(κ かっぱ)| \leq λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ < κ かっぱ λ らむだ

　（ただし

cf(κ かっぱ)

は

κ かっぱ

の始はじめ順序じゅんじょ数すうの共きょう終おわり数すうを表あらわすとする。）

さらに一般いっぱん連続れんぞく体たい仮説かせつを仮定かていすると無限むげん基数きすう $λ らむだ$ にたいし以下いかが成立せいりつ。

$2 \leq κ かっぱ \leq 2 λ らむだ \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ = λ らむだ +$; $|cf(κ かっぱ)| \leq λ らむだ \leq κ かっぱ \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ = κ かっぱ +$; $λ らむだ < |cf(κ かっぱ)| \Rightarrow κ かっぱ λ らむだ = κ かっぱ$ 　
冪べき乗じょう根ね

基数きすう $λ らむだ$ 、 $κ かっぱ$ にたいし、 $μ みゅー λ らむだ = κ かっぱ$ を満みたす $μ みゅー$ は存在そんざいするとも一意的いちいてきとも限かぎらない。 $λ らむだ$ が有限ゆうげんで $κ かっぱ$ が無限むげんなら、 $μ みゅー λ らむだ = κ かっぱ \Leftrightarrow μ みゅー = κ かっぱ$ 。

対数たいすう

基数きすう $λ らむだ$ 、 $κ かっぱ$ にたいし、 $λ らむだ μ みゅー = κ かっぱ$ を満みたす $μ みゅー$ は存在そんざいするとも一意的いちいてきとも限かぎらない。無限むげん基数きすう $κ かっぱ$ にたいし $log(κ かっぱ) := inf{λ らむだ : κ かっぱ \leq 2 λ らむだ$ } を $κ かっぱ$ の対数たいすうという。このとき $log(κ かっぱ) \leq κ かっぱ$ 、 $κ かっぱ \leq 2 log(κ かっぱ)$ 。

諸しょ概念がいねん

アレフ数すうとベート数すう

アレフ数すう

詳細しょうさいは「アレフ数すう」を参照さんしょう

順序じゅんじょ数すう $\alpha$ にたいし、 $\alpha$ 番ばん目めのアレフ数すうを $\aleph _{\alpha }$ と書かく。より正確せいかくには $\aleph _{\alpha }$ を以下いかのように超ちょう限きり再帰さいきにより定義ていぎする。

0 : $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |$
後続こうぞく順序じゅんじょ数すう : $\aleph _{\alpha +1}:=\aleph _{\alpha }^{+}$ （後述こうじゅつの後続こうぞくを参照さんしょう）
極限きょくげん順序じゅんじょ数すう : $\aleph _{\gamma }:={\rm {{sup}\{\aleph _{\alpha }:\alpha <\gamma \}}}$ （ただし $\gamma$ は極限きょくげん順序じゅんじょ数すう）

特とくにアレフ数すうの列れつ $\{\aleph _{\alpha }\}_{\alpha \in \mathbb {ON} }$ のことをアレフ数すうと呼よぶこともある。アレフ数すうは必かならずなんらかの $\alpha$ によって $\aleph _{\alpha }$ と表あらわせる。 $\aleph _{\alpha }$ の始はじめ順序じゅんじょ数すうを $\omega _{\alpha }$ と書かく。

ベート数すう

詳細しょうさいは「ベート数すう」を参照さんしょう

順序じゅんじょ数すう $\alpha$ にたいし、 $\beth _{\alpha }$ を以下いかのように超ちょう限きり再帰さいきにより定義ていぎする。

0 : $\beth _{0}=\aleph _{0}$
後続こうぞく順序じゅんじょ数すう : $\beth _{\alpha +1}:=2^{\beth _{\alpha }}$ （後述こうじゅつの後続こうぞくを参照さんしょう）
極限きょくげん順序じゅんじょ数すう : $\beth _{\gamma }:={\rm {{sup}\{\beth _{\alpha }:\alpha <\gamma \}}}$ （ただし $\gamma$ は極限きょくげん順序じゅんじょ数すう）

列れつ $\{\beth _{\alpha }\}_{\alpha \in \mathbb {ON} }$ ないし列れつ上じょうの基数きすうをベート数すう（beth number）と呼よぶ。

連続れんぞく体たい仮説かせつ

詳細しょうさいは「連続れんぞく体たい仮説かせつ」を参照さんしょう

$\beth _{1}=\aleph _{1}$

を連続れんぞく体たい仮説かせつ

$\alpha \in \mathbb {ON} \Rightarrow \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$

を一般いっぱん連続れんぞく体たい仮説かせつという。

この仮説かせつはゲオルク・カントールによって予想よそうされた。ヒルベルトは彼かれの有名ゆうめいな23 の問題もんだいの第だい一番いちばんにこの連続れんぞく体たい仮説かせつを取とり上あげている。その後ご、クルト・ゲーデルは構成こうせい可能かのう集合しゅうごう全体ぜんたいのクラス $L$ が一般いっぱん連続れんぞく体たい仮説かせつをみたすことを示しめし、「ZFC からは一般いっぱん連続れんぞく体たい仮説かせつの否定ひていは証明しょうめいできない」ことを証明しょうめいした。ポール・コーエンは強制きょうせい法ほうと呼よばれる新あたらしい手法しゅほうを用もちいて連続れんぞく体たい仮説かせつが成なりたないモデルを構成こうせいし「ZFC から連続れんぞく体たい仮説かせつを証明しょうめいできない」ことを証明しょうめいした。これらの結果けっかから（一般いっぱん）連続れんぞく体たい仮説かせつの ZFC からの独立どくりつ性せいが示しめされ、連続れんぞく体たい仮説かせつは一応いちおうの解決かいけつを見みた。コーエンはこの業績ぎょうせきによりフィールズ賞しょうを受賞じゅしょうしている。

後続こうぞく基数きすうと極限きょくげん基数きすう

詳細しょうさいは「en:Successor cardinal」および「極限きょくげん基数きすう（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

無限むげん基数きすう $κ かっぱ$ がなんらかの基数きすう $λ らむだ$ を使つかって $κ かっぱ = λ らむだ +$ と表あらわせるとき $κ かっぱ$ を後続こうぞく基数きすうといい、 $κ かっぱ = sup {λ らむだ \in CN : λ らむだ < κ かっぱ$ } と表あらわせるとき $κ かっぱ$ を（弱じゃく）極限きょくげん基数きすうという。後続こうぞく基数きすうでなければ極限きょくげん基数きすうである。極限きょくげん基数きすう $κ かっぱ$ が $λ らむだ < κ かっぱ \Rightarrow 2 λ らむだ < κ かっぱ$ を満みたすとき強つよ極限きょくげん基数きすうという、これは $log(κ かっぱ) = κ かっぱ$ と同値どうち。

正則せいそく基数きすうと特異とくい基数きすう

詳細しょうさいは「正則せいそく基数きすう」を参照さんしょう

無限むげん基数きすう $\kappa$ が

$|{\mathcal {S}}|<\kappa$ かつ $X\in {\mathcal {S}}\rightarrow |X|<\kappa$ ならば $|\bigcup {\mathcal {S}}|<\kappa$

を満みたすとき正則せいそく基数きすう、満みたさないとき特異とくい基数きすうという。 $\aleph _{\alpha }$ が正則せいそく基数きすうとなることと ${\rm {{cf}(\omega _{\alpha })=\omega _{\alpha }}}$ は同値どうち。正則せいそくな極限きょくげん基数きすうを弱じゃく到達とうたつ不可能ふかのう基数きすう、正則せいそくな強つよ極限きょくげん基数きすうを強つよ到達とうたつ不可能ふかのう基数きすうという。

出典しゅってん

^ Cantor; Cantor (1874-01-01) (ドイツ語ご). Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen.. 1874. pp. 258–262. doi:10.1515/crll.1874.77.258. ISSN 1435-5345.
^ Cantor, Georg (1891). “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigketislehre”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1: 72-78. ISSN 0012-0456.
^ Klee, V. L. (1955). “The June meeting in Vancouver” (英語えいご). Bulletin of the American Mathematical Society 61 (5): 433–444. doi:10.1090/S0002-9904-1955-09941-5. ISSN 0002-9904.

注釈ちゅうしゃく

^ ただし ON の最小さいしょう元もとという意味いみで0を始はじめ順序じゅんじょ数すうということもある

基数きすう

目次もくじ

歴史れきし

動機どうき

定義ていぎ

基数きすうの厳密げんみつな定義ていぎ

大小だいしょう関係かんけい

有限ゆうげん基数きすうと無限むげん基数きすう

基数きすう演算えんざん

後続こうぞく

加法かほう

乗法じょうほう

冪べき

諸しょ概念がいねん

アレフ数すうとベート数すう

後続こうぞく基数きすうと極限きょくげん基数きすう

正則せいそく基数きすうと特異とくい基数きすう

出典しゅってん

注釈ちゅうしゃく

関連かんれん項目こうもく