数学すうがく

数学すうがく（すうがく）とは、数かず・量りょう・図形ずけいなどに関かんする学問がくもんであり、理学りがくの一種いっしゅ。「算術さんじゅつ・代数だいすう学がく・幾何きか学がく・解析かいせき学がく・微分びぶん法ほう・積分せきぶん法ほうなどの総称そうしょう」とされる。

数学すうがくは自然しぜん科学かがくの一種いっしゅにも、自然しぜん科学かがくではない「形式けいしき科学かがく」の一種いっしゅにも分類ぶんるいされ得える。

語源ごげん

現代げんだいの日本語にほんごにおける「数学すうがく」は、直接的ちょくせつてきには英語えいごの mathematics の訳語やくごないし同義語どうぎごとされる。英語えいごの mathematics ないしその単数たんすう形がた mathematic の直接ちょくせつの語源ごげんは、古こフランス語ふらんすご mathematique であり、これはラテン語らてんごの (ars) mathematica、またギリシア語ごの μαθηματικὴ (τέχνη) に由来ゆらいし、原義げんぎは「学まなぶこと」である。

mathematics の訳語やくごとして「数学すうがく（數學すうがく）」を用もちいている例れいとして、東京とうきょう数学すうがく会社かいしゃ（現げん、日本にっぽん数すう学会がっかい）訳語やくご会かいによる訳語やくごが挙あげられる。それ以前いぜんにも「数学すうがく」という語かたりは使つかわれていたが、mathematics の定訳ていやくではなかった。例たとえば1814年ねんの『諳厄利とぎ亜あ語ご林はやし大成たいせい』では「数学すうがく」は arithmetic の訳語やくごに用もちいられ、mathematics には「測度そくど數すう之これ学がく」が当あてられている。

定義ていぎと対象たいしょう

数学すうがくの定義ていぎについては、数学すうがく者しゃや哲学てつがく者しゃの間あいだで様々さまざまな見解けんかいがある。

冒頭ぼうとうでは「数かず・量りょう・図形ずけいなどに関かんする学問がくもん」としたが、数学すうがくの研究けんきゅう対象たいしょうは、量りょう（数かず）・構造こうぞう・空間くうかん・変化へんかなど多岐たきにわたる。

19世紀せいきのヨーロッパで集合しゅうごう論ろんが生うまれてからは「数学すうがくとは何なにか」ということがあらためて問とい直なおされるようになり（数学すうがく基礎きそ論ろん）、数学すうがくの対象たいしょう・方法ほうほう・文化ぶんか史し的てきな価値かちなどについて研究けんきゅうする数理すうり科学かがくも生うまれた。

歴史れきし

詳細しょうさいは「数学すうがく史し」を参照さんしょう

「数学すうがくの起源きげんは人類じんるいが農耕のうこうを始はじめたこととの関連かんれんが大おおきい」とも。農作物のうさくもつの分配ぶんぱい管理かんりや商しょう取引とりひきのための計算けいさん、農地のうち管理かんりのための測量そくりょう、そして農作業のうさぎょうの時期じきを知しる暦こよみ法ほうのための天文てんもん現象げんしょうの周期しゅうき性せいの解明かいめいなどである。これら三みっつの必要ひつよう性せいは、そのまま数学すうがくの大おおきな三みっつの区分くぶん、構造こうぞう・空間くうかん・変化へんかのそれぞれの研究けんきゅうに大体だいたい対応たいおうしているといえよう。この時点じてんでは、例たとえば土木どぼく工事こうじなどの経験けいけんから辺あたりの比ひが 3: 4: 5である三角形さんかっけいが直角ちょっかく三角形さんかっけいになることは知しられていても、一般いっぱんに直角ちょっかく三角形さんかっけいの辺あたりの長ながさの比ひが c² = a² + b² （c, b, a は辺あたりの長ながさ）になること（ピタゴラスの定理ていり）は知しられていなかった。数学すうがくが独立どくりつした学問がくもんでなく純粋じゅんすいな実用じつよう数学すうがくであった時代じだいには、あたかも自然しぜん科学かがくにおけるデータのようにこれらの関係かんけいを扱あつかい、例れいを多数たすう挙あげることで正ただしさを主張しゅちょうするといった手法しゅほうでもさして問題もんだい視しされなかった。しかし数かずは無限むげんに存在そんざいするため、沢山たくさんの数かずを調しらべても完全かんぜんに証明しょうめいすることはできない。数学すうがくが一ひとつの学問がくもんとして研究けんきゅうされるようになって以降いこうは、論理ろんりを用もちいて真偽しんぎを判定はんていする「数学すうがく的てき証明しょうめい」が発達はったつした。現代げんだいの数学すうがくでも数学すうがく的てき証明しょうめいは非常ひじょうに重視じゅうしされている。

「数学すうがくの年表ねんぴょう」も参照さんしょう

各国かっこくでの歴史れきし

• ユークリッド原論げんろん（古代こだいエジプト） / アラビア数学すうがく / インドの数学すうがく / 中国ちゅうごくの数学すうがく / 中国ちゅうごくの剰余じょうよ定理ていり / 和算わさん /

分類ぶんるい・分野ぶんや

現代げんだいにおける純粋じゅんすい数学すうがくの研究けんきゅうは主おもに代数だいすう学がく・幾何きか学がく・解析かいせき学がくの三さん分野ぶんやに大別たいべつされる。また、これらの数学すうがくを記述きじゅつするのに必要ひつような道具どうぐを与あたえる論理ろんりを研究けんきゅうする学問がくもんを数学すうがく基礎きそ論ろんという。

基礎きそ付づけ

数学すうがくの基礎きそを明確めいかくにすること、あるいは数学すうがくそのものを研究けんきゅうすることのために、集合しゅうごう論ろんや数理すうり論ろん理学りがくそしてモデル理論りろんは発展はってんしてきた。フランスの数学すうがく者しゃグループであるニコラ・ブルバキは、集合しゅうごう論ろんによる数学すうがくの基礎きそ付づけを行おこない、その巨大きょだいな体系たいけいを『数学すうがく原論げんろん』として著あらわした。彼かれらのスタイルはブルバキ主義しゅぎとよばれ、現代げんだい数学すうがくの発展はってんに大おおきな影響えいきょうをあたえた。個々ここの対象たいしょうの持もつ性質せいしつを中心ちゅうしんとする研究けんきゅう方法ほうほうである集合しゅうごう論ろんとは別べつの体系たいけいとして、対象たいしょう同士どうしの関係かんけい性せいが作つくるシステムに主眼しゅがんを置おくことにより対象たいしょうを研究けんきゅうする方法ほうほうとして圏けん論ろんがある。これはシステムという具体ぐたい性せいからコンピュータネットワークなどに応用おうようされる一方いっぽうで、極きわめて高たかい抽象ちゅうしょう性せいを持もつ議論ぎろんを経へて極きわめて具体ぐたい的てきな結果けっかを得えるようなアブストラクト・ナンセンスなどと呼よばれる形式けいしき性せいも持もち合あわせている。

構造こうぞう

数かずや関数かんすう・図形ずけいの中なかの点てんなどの数学すうがく的てき対象たいしょうの間あいだに成なり立たつさまざまな関係かんけいを形式けいしき化か・公理こうり化かして調しらべるという立場たちばがダフィット・ヒルベルトやニコラ・ブルバキによって追求ついきゅうされた。数かずの大小だいしょう関係かんけいや演算えんざん、点てんの近ちかさ遠とおさなどの関係かんけいがそれぞれ順序じゅんじょ集合しゅうごうや群ぐんの構造こうぞう、位相いそう空間くうかんなどの概念がいねんとして公理こうり化かされ、その帰結きけつが研究けんきゅうされる。特とくに、様々さまざまな代数だいすう的てき構造こうぞうの性質せいしつを研究けんきゅうする抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくは20世紀せいきに大おおきく発展はってんした。現代げんだい数学すうがくで取とり扱あつかわれる構造こうぞうは上うえのような基本きほん的てきな構造こうぞうにとどまらず、異ことなった種類しゅるいの構造こうぞうを併あわせて考かんがえる線型せんけい位相いそう空間くうかんや双そう曲きょく群ぐんなどさまざまなものがある。

空間くうかん

空間くうかんの研究けんきゅうは幾何きか学がくと共ともに始はじまる。初はじめは、それは身近みぢかな三さん次元じげんにおけるユークリッド幾何きか学がくや三角さんかく法ほうであるが、後のちにはやはり、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんで中心ちゅうしん的てきな役割やくわりを演えんずる非ひユークリッド幾何きか学がくに一般いっぱん化かされる。長ながい間あいだ未解決みかいけつだった定規じょうぎとコンパスによる作図さくずの問題もんだいは、最終さいしゅう的てきにガロア理論りろんによって決着けっちゃくが付ついた。現代げんだい的てきな分野ぶんやである微分びぶん幾何きか学がくや代数だいすう幾何きか学がくは幾何きか学がくを異ことなる方向ほうこうに発展はってんさせた：微分びぶん幾何きか学がくでは、座標ざひょうや滑なめらかさ、それに向むきの概念がいねんが強調きょうちょうされるが、一方いっぽうで代数だいすう幾何きか学がくでは、代数だいすう方程式ほうていしきの解かいとなるような集合しゅうごうを幾何きか学がく的てきな対象たいしょうとする。集合しゅうごうは数学すうがくの基礎きそを成なす重要じゅうような概念がいねんであるが、幾何きか学がく的てきな側面そくめんを強調きょうちょうする場合ばあい、集合しゅうごうを空間くうかんと言いい、その集合しゅうごうの元もとを点てんと呼よぶ。群論ぐんろんでは対称たいしょう性せいという概念がいねんを抽象ちゅうしょう的てきに研究けんきゅうし、空間くうかんと代数だいすう構造こうぞうの研究けんきゅうの間あいだに関連かんれんを与あたえる。位相いそう幾何きか学がくは連続れんぞくという概念がいねんに着目ちゃくもくすることで、空間くうかんと変化へんかの双方そうほうの研究けんきゅうに関係かんけいする。

解析かいせき

測はかる量りょうについての変化へんかを理解りかいし、記述きじゅつすることは自然しぜん科学かがくの共通きょうつうの主題しゅだいであり、微分びぶん積分せきぶん学がくはまさにそのための最もっとも有用ゆうような道具どうぐとして発展はってんしてきた。変化へんかする量りょうを記述きじゅつするのに使つかわれる中心ちゅうしん的てきな道具どうぐは関数かんすうである。多おおくの問題もんだいは、とても自然しぜんに量りょうとその変化へんかの割合わりあいとの関係かんけいになり、そのような問題もんだいを解とくための手法しゅほうは微分びぶん方程式ほうていしきの分野ぶんやで研究けんきゅうされる。連続れんぞく的てきな量りょうを表あらわすのに使つかわれる数かずが実数じっすうであり、実数じっすうの性質せいしつや実数じっすうに値ねをとる関数かんすうの性質せいしつの詳くわしい研究けんきゅうは実じつ解析かいせきとして知しられる。いくつかの理由りゆうから、複素数ふくそすうに拡張かくちょうする方ほうが便利べんりであり、それは複素ふくそ解析かいせきにおいて研究けんきゅうされる。関数かんすう解析かいせき学がくは関数かんすう空間くうかん（関数かんすうの集合しゅうごうに位相いそう構造こうぞうを持もたせたもの）が興味きょうみの中心ちゅうしんであり、この分野ぶんやは量子力学りょうしりきがくやその他た多おおくの学問がくもんの基盤きばんとなっている。自然しぜんの多おおくの現象げんしょうは力学りきがく系けいによって記述きじゅつされ、カオス理論りろんでは、多おおくの系けいが決定けってい可能かのうであるにもかかわらず予測よそく不可能ふかのうな現あらわれ方かたをする、という事実じじつを扱あつかう。

計算けいさん機き

人類じんるいがコンピュータを最初さいしょに思おもいついたとき（それは実際じっさいに作つくられるより遥はるかに前まえのことだが）、いくつかの重要じゅうような理論りろん的てき概念がいねんは数学すうがく者しゃによってかたち作つくられ、計算けいさん可能かのう性せい理論りろん・計算けいさん複雑ふくざつ性せい理論りろん・情報じょうほう理論りろん、そしてアルゴリズム情報じょうほう理論りろんの分野ぶんやに発展はってんした。これらの問題もんだいの内うちの多おおくは計算けいさん機き科学かがくにおいて研究けんきゅうされている。離散りさん数学すうがくは計算けいさん機き科学かがくにおいて有用ゆうような数学すうがくの分野ぶんやの総称そうしょうである。数値すうち解析かいせきは、丸まるめ誤差ごさを考慮こうりょに入いれて、幅広はばひろい数学すうがくの問題もんだいについて効率こうりつ的てきにコンピュータの上うえで数値すうち解かいを求もとめる方法ほうほうを研究けんきゅうする。また1950年代ねんだいから2000年代ねんだいにかけて、計算けいさん機き科学かがくを駆使くしして自然しぜん科学かがく上じょうの問題もんだいを解決かいけつする計算けいさん科学かがくが急速きゅうそくに発展はってんした。

統計とうけい

応用おうよう数学すうがくにおいて、重要じゅうような分野ぶんやに統計とうけい学がくが挙あげられる。統計とうけい学がくはランダムな現象げんしょうの記述きじゅつや解析かいせきや予測よそくを可能かのうにし、全すべての科学かがくにおいて、利用りようされている。

「数学すうがくの諸しょ分野ぶんや 」および「数学すうがくの諸しょ分野ぶんやの語彙ごいの一覧いちらん（英語えいご: Glossary of areas of mathematics） 」も参照さんしょう

以下いかの分野ぶんやや項目こうもくの一覧いちらんは、数学すうがくに対たいする一ひとつの有機ゆうき的てきな見方みかたを反映はんえいしている。

便宜上べんぎじょうの分類ぶんるい

• 代数だいすう学がく
• 幾何きか学がく
• 解析かいせき学がく
• 集合しゅうごう論ろん
• 情報じょうほう科学かがく
• 確率かくりつ論ろん
• 統計とうけい学がく
• 論理ろんり学がく

量りょう

数かず—自然しぜん数すう—整数せいすう—偶数ぐうすう—奇数きすう—小数しょうすう—分数ぶんすう—素数そすう—有理数ゆうりすう—無理むり数すう—実数じっすう—虚数きょすう—複素数ふくそすう—四よん元げん数すう—八はち元げん数すう—十じゅう六ろく元げん数すう—超ちょう実数じっすう—順序じゅんじょ数すう—基数きすう—濃度のうど—P進数しんすう—巨きょ大数たいすう—整数せいすう列れつ—数学すうがく定数ていすう—無限むげん

変化へんか

算術さんじゅつ—微分びぶん積分せきぶん学がく—ベクトル解析かいせき—解析かいせき学がく—微分びぶん方程式ほうていしき—力学りきがく系けい—カオス理論りろん—関数かんすう一覧いちらん

構造こうぞう

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく—数かず論ろん—代数だいすう幾何きか学がく—群論ぐんろん—モノイド—解析かいせき学がく—位相いそう幾何きか学がく—線型せんけい代数だいすう学がく—グラフ理論りろん—圏けん論ろん

空間くうかん

解析かいせき幾何きか学がく—位相いそう幾何きか学がく—幾何きか学がく—三角さんかく法ほう—代数だいすう幾何きか学がく—微分びぶん幾何きか学がく—線型せんけい代数だいすう学がく—フラクタル幾何きか—図形ずけい—図形ずけいの一覧いちらん—ベクトル解析かいせき

有限ゆうげん数学すうがく

組合くみあわせ数学すうがく—素朴そぼく集合しゅうごう論ろん—確率かくりつ論ろん—統計とうけい学がく—計算けいさん理論りろん—離散りさん数学すうがく—暗号あんごう理論りろん—グラフ理論りろん

数理すうり科学かがく

計算けいさん科学かがく—数値すうち解析かいせき—確率かくりつ論ろん—逆ぎゃく問題もんだい—数理すうり物理ぶつり学がく—数理すうり経済けいざい学がく—ゲーム理論りろん—数理すうり生物せいぶつ学がく—数理すうり心理しんり学がく—保険ほけん数理すうり—数理すうり工学こうがく

有名ゆうめいな定理ていりと予想よそう

フェルマーの最終さいしゅう定理ていり—リーマン予想よそう—連続れんぞく体たい仮説かせつ—P≠NP予想よそう—ゴールドバッハの予想よそう—双子ふたご素数そすう—ゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていり—ポアンカレ予想よそう—カントールの対角線たいかくせん論法ろんぽう—ピタゴラスの定理ていり—中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり—微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていり—代数だいすう学がくの基本きほん定理ていり—四よん色しょく定理ていり—ツォルンの補題ほだい—オイラーの等式とうしき—コラッツの問題もんだい—合同ごうどう数すう—バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想よそう—ヒルベルトの23の問題もんだい—スメイルの問題もんだい—ソファ問題もんだい

基礎きそと方法ほうほう

数理すうり哲学てつがく—直観ちょっかん主義しゅぎ—構成こうせい主義しゅぎ—数学すうがく基礎きそ論ろん—集合しゅうごう論ろん—数理すうり論ろん理学りがく—モデル理論りろん—圏けん論ろん—証明しょうめい—数学すうがく記号きごうの表ひょう—逆ぎゃく数学すうがく

数学すうがくの応用おうよう

自然しぜん科学かがく

ヴィンチェンツォ・ガリレイは音楽おんがく（音程おんてい学がく・音響おんきょう学がく）の研究けんきゅうに数学すうがく的てき手法しゅほうを導入どうにゅうし、その息子むすこガリレオ・ガリレイは、父ちちの影響えいきょうを受うけ、物体ぶったいの運動うんどうの研究けんきゅう（物理ぶつり学がく）に数学すうがく的てき手法しゅほうを導入どうにゅうし、物理ぶつり学がくに大おおきな変革へんかくをもたらした。以後いご、（アイザック・ニュートンの『自然しぜん哲学てつがくの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり』でも、「数学すうがく的てき原理げんり」としており、書物しょもつ名めい、タイトルにも顕著けんちょにあらわれているが）数学すうがくの発展はってんと物理ぶつり学がくの発展はってんは密接みっせつな関係かんけいにある。このほかの自然しぜん科学かがくにおいても数学すうがく的てきな手法しゅほうは基礎きそ的てきな要素ようそとなっている。

数理すうりモデル

数理すうりモデルは数理すうりモデルは理想りそう化かされており、往々おうおうにして実際じっさいとの間あいだには「ずれ」が生しょうじる、という問題もんだいはあるが、それでも、そうした分野ぶんやの研究けんきゅうに、俯瞰ふかん的てきな視点してんを与あたえ、研究けんきゅうに大おおきな進歩しんぽや高たかい次元じげんからの洞察どうさつをもたらすこともある。

工学こうがくの他ほか、社会しゃかい学がくや言語げんご学がくなど幅広はばひろい分野ぶんやに応用おうようされている。

思考しこう力りょくの養成ようせい

数学すうがく教育きょういくにより抽象ちゅうしょう的てきな考かんがえを養やしなうことができるとされ、他た分野ぶんやへの恩恵おんけいがあるという。ドイツの学生がくせいは台湾たいわんの学生がくせいと比較ひかくして、モデリングにおける熟考じゅっこう能力のうりょくが強つよみとされている。

学会がっかい・会議かいぎ

詳細しょうさいは「国際こくさい数学すうがく連合れんごう」、「ヨーロッパ数すう学会がっかい」、「アメリカ数すう学会がっかい」、および「日本にっぽん数すう学会がっかい」を参照さんしょう

「国際こくさい数すう学者がくしゃ会議かいぎ」、「:en:European Congress of Mathematics」、「アジア数学すうがく会議かいぎ」、および「EASIAM」も参照さんしょう

数学すうがく教育きょういく

詳細しょうさいは「算数さんすう・数学すうがく教育きょういく」および「数学すうがく (教科きょうか)」を参照さんしょう

日本にっぽん

初等しょとう教育きょういくでは「算数さんすう」、中等ちゅうとう教育きょういくでは「数学すうがく」と表記ひょうきされている。

学習がくしゅうする分野ぶんやは、10年ねんごとに文部もんぶ科学かがく省しょうから学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうが告示こくじされ、その基準きじゅんに基もとづいて決定けっていされる。

数学すうがくに関かんする賞しょう

• フィールズ賞しょう（国際こくさい数学すうがく連合れんごう）
• ネヴァンリンナ賞しょう（国際こくさい数学すうがく連合れんごう）
• ガウス賞しょう（国際こくさい数学すうがく連合れんごう）
• チャーン賞しょう（国際こくさい数学すうがく連合れんごう）
• アーベル賞しょう（アーベル記念きねん基金ききん）
• 春季しゅんき賞しょう（日本にっぽん数すう学会がっかい）
• ヴェブレン賞しょう（アメリカ数すう学会がっかい）
• コール賞しょう（アメリカ数すう学会がっかい）
• ヨーロッパ数すう学会がっかい賞しょう（ヨーロッパ数すう学会がっかい）
• ウルフ賞しょう数学すうがく部門ぶもん（ウルフ財団ざいだん）

※「ノーベル数学すうがく賞しょう」というものは存在そんざいしない。数学すうがくに関かんする賞しょうとしては（一般いっぱんに）フィールズ賞しょうが最高峰さいこうほうとされている。

競技きょうぎ

詳細しょうさいは「数学すうがくの競技きょうぎ」を参照さんしょう

脚注きゃくちゅう

参考さんこう文献ぶんけん

• 佐藤さとう, 泰夫やすお、佐藤さとう, 純じゅん『数学すうがくとは何なにだろう—文化ぶんかとしての数学すうがく』森北もりきた出版しゅっぱん、1998年ねん。 
• 川崎かわさき, 薩男『数学すうがくの序説じょせつ』共立きょうりつ出版しゅっぱん、1980年ねん。ISBN 978-4-320-01293-6。 
• 本木もとぎ, 正栄しょうえい、楢なら林りん, 高美たかみ、吉雄よしお, 永えい保たもつ『諳厄利とぎ亜あ語ご林はやし大成たいせい』 巻まき之の一いち、1814年ねん、76頁ぺーじ。 
• 本木もとぎ, 正栄しょうえい、楢なら林りん, 高美たかみ、吉雄よしお, 永えい保たもつ『諳厄利とぎ亜あ語ご林はやし大成たいせい』 巻まき之の七なな、1814年ねん、80頁ぺーじ。 
• 東京とうきょう數學すうがく會社かいしゃ「東京とうきょう數學すうがく會社かいしゃ雑誌ざっし」第だい51号ごう、東京とうきょう数学すうがく会社かいしゃ、1882年ねん、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1882.51_3。 
• "Definition of mathematics". lexico.com. Oxford University Press. 21 June 2022. 2022年ねん6月がつ21日にち閲覧えつらん。

関連かんれん項目こうもく

• 理学りがく - 工学こうがく - 形式けいしき科学かがく
• 数学すうがく科か
• 数学すうがく (教科きょうか)
• 数学すうがく史し
• 数学すうがく者しゃ
• 数学すうがく者しゃの一覧いちらん
• 数学すうがく上じょうの未み解決かいけつ問題もんだい
• 国際こくさい数学すうがくオリンピック
• Portal:数学すうがく
• プロジェクト:数学すうがく/数学すうがくに関かんする記事きじ
• 数かず秘術ひじゅつ

外部がいぶリンク

• Encyclopedia of Mathematics（英語えいご） - 数学すうがくに関かんする約やく8,000項目こうもくの解説かいせつが掲載けいさいされている。Springer社しゃとヨーロッパ数すう学会がっかいが提供ていきょうするデータベース
• zbMATH Open（英語えいご） - 文献ぶんけん名めい、著者ちょしゃ名めい、掲載けいさい誌し名めい、数式すうしきなどから検索けんさくできる、ヨーロッパ数すう学会がっかい、カールスルーエ学術情報がくじゅつじょうほうセンター、ハイデルベルク学士がくし院いんが提供ていきょうするデータベース
• 『数学すうがく』 - コトバンク