交換こうかん法則ほうそく

初等しょとう代数だいすう学がくにおける交換こうかん法則ほうそく（こうかんほうそく、英えい: commutative law; 可か換かわ則のり、交換こうかん律りつ^{[注釈ちゅうしゃく 1]}）は、与あたえられた演算えんざんの二ふたつの引数ひきすうを互たがいに入いれ替かえても結果けっかが変かわらないことを述のべる。また交換こうかん法則ほうそくを満足まんぞくする演算えんざんは可か換かわ性せい（commutative property; 交換こうかん性質せいしつ）を持もつと言いう。例たとえば自然しぜん数すうに関かんする足たし算ざんや掛かけ算ざんは交換こうかん法則ほうそくを満みたしている。

4 + 5 = 5 + 4（両辺りょうへんとも値ねは9である）
2 × 3 = 3 × 2（両辺りょうへんとも値ねは6である）

しかし引ひき算ざんや割わり算ざんはそうではない。

$4-5\neq 5-4$
$6\div 3\neq 3\div 6$

その他たに交換こうかん法則ほうそくを満みたすものとしては主おもに次つぎのようなものがある。

また、交換こうかん法則ほうそくを満みたさない主要しゅような演算えんざんとしては次つぎのようなものがある。

ただし、ベクトルの外積がいせきのように、絶対ぜったい値ちおよび絶対ぜったい値ちに相当そうとうする数かずを考かんがえたときに、交換こうかん法則ほうそくは成なり立たつものも多おおい。

歴史れきしと語源ごげん

可か換かわ性せいの語かたりの初出しょしゅつは1814年ねん発行はっこうのフランスの雑誌ざっしである。

可か換かわ性質せいしつの暗黙あんもく的てきな使用しようは古代こだいに遡さかのぼる。古代こだいエジプト人じんは積せきの計算けいさんの簡素かんそ化かに乗法じょうほうの可か換かわ性せいを用もちいている^[1]^[2]^{[要ようページ番号ばんごう]}し、エウクレイデスが著書ちょしょ『原論げんろん』において乗法じょうほうの可か換かわ性せいを仮定かていしていたことは良よく知しられている^[3]。明示めいじ的てきな形かたちで交換こうかん法則ほうそくが立たち現あらわれるのは、数学すうがく者しゃにより函数かんすう論ろんが築きずかれ始はじめる18世紀せいき後半こうはんから19世紀せいき初頭しょとうにかけてである。今日きょうでは可か換かわ性せいは数学すうがくの大だい部分ぶぶんの分野ぶんやで良よく知しられた基本きほん性質せいしつとして扱あつかわれている。

記録きろく上じょう commutative の語かたりが初はじめて現あらわれるのはセルヴォワ（英語えいご版ばん）の回顧かいこ録ろく(1814年ねん)で^[4]^[5]、現在げんざいでは可か換かわ性せいと呼よばれる性質せいしつを持もつ函数かんすうを記述きじゅつするために commutatives の語かたりが用もちいられている。語義ごぎはフランス語ふらんすごで「置おき換かえ」や「入いれ替かえ」を意味いみする commuter に「傾向けいこうがある」ことを意味いみする接尾せつび辞じ -ative が付ついたものだから、字面じめん通どおりに読よめば「入いれ替かえようとするもの」である。

定義ていぎと語法ごほう

「交換こうかん」あるいは「可か換かわ」("commutative") という語かたりは（関連かんれんはあるが厳密げんみつには異ことなる）いくつかの意味いみで用もちいられる^[6]^[7]。「交換こうかん法則ほうそく」や「可か換かわ律りつ」のように言いうとき、一般いっぱん的てきにはそれは二に項こう演算えんざん（あるいはより一般いっぱんに二に項こう関係かんけいや二に変数へんすう写像しゃぞう（英語えいご版ばん））に結むすび付つけられた性質せいしつのことを言いうものと理解りかいされる。特定とくていの演算えんざんを固定こていして考かんがえるとき、その演算えんざんの引数ひきすうとなる二ふたつの元もとで、交換こうかん法則ほうそくの言いう条件じょうけん式しきを満足まんぞくするものに対たいしては、それらの二元にげんが（与あたえられた演算えんざんのもとで）「交換こうかんする」「可か換かわである」(commute) とい表いあらわす。

以下いか、集合しゅうごう $E$ 上うえに二に項こう演算えんざん $*$ が定さだめられているものとして:

$E$ の二ふたつの元もと $x, y$ が演算えんざん $*$ のもと（互たがいに）交換こうかんするまたは可か換かわであるとは $x*y=y*x$ を満みたすときに言いう。
$E$ の任意にんいの二に元げん $x, y$ が演算えんざん $*$ のもと交換こうかんするとき、すなわち $x*y=y*x\qquad (\forall x,y\in E)$ が成なり立たつとき、演算えんざん $*$ は交換こうかん法則ほうそくを満足まんぞくする、または可か換かわであると言いう。可か換かわでない演算えんざんは非ひ可か換かわ (non-commutative) であると言いう。

より一般いっぱんに、

$E$ の二ふたつの部分ぶぶん集合しゅうごう $S, T$ が $x*y=y*x\qquad (\forall x\in S,y\in T)$ を満足まんぞくするとき、 $S, T$ は元もとごとに可か換かわ (element-wise commute) であるという。
$E$ の二ふたつの部分ぶぶん集合しゅうごう $S, T$ が $x*y=y'*x'\land y*x=x''*y''\qquad (\forall x\in S,y\in T;\;\exists x',x''\in S,y',y''\in T)$ を満足まんぞくするとき、 $S, T$ は集合しゅうごうとして可か換かわ (commute as set) であるという。^{[注釈ちゅうしゃく 2]}

あるいはまた、

二に変数へんすう写像しゃぞう（英語えいご版ばん） $f : A \times A \to X$ は、どの二に元げん $x, y$ も交換こうかんするとき、すなわち $f(x,y)=f(y,x)\qquad (\forall x,y\in A)$ が成なり立たつとき、可か換かわあるいは対称たいしょう（英語えいご版ばん）であると言いう。
二に項こう関係かんけい $R \subset A \times B$ は、どの二に元げん $x, y$ も交換こうかんするとき、すなわち $x{\mathrel {R}}y=y{\mathrel {R}}x\qquad (\forall x\in A,y\in B)$ が成なり立たつとき、交換こうかん可能かのうあるいは対称たいしょうであると言いう。