標本ひょうほん化か定理ていり

標本ひょうほん化か定理ていり（ひょうほんかていり、英えい: sampling theorem）またはサンプリング定理ていりは、連続れんぞく的てきな信号しんごう（アナログ信号しんごう）を離散りさん的てきな信号しんごう（デジタル信号しんごう）へと変換へんかんする際さいに元もとの信号しんごうに忠実ちゅうじつであるにはどの程度ていどの間隔かんかくで標本ひょうほん化か（サンプリング）すればよいかを示しめす、情報じょうほう理論りろんの定理ていりである。

概要がいよう

標本ひょうほん化か定理ていりは、元もとの信号しんごうをその最大さいだい周波数しゅうはすうの2倍ばいを超こえた周波数しゅうはすうで標本ひょうほん化かすれば完全かんぜんに元もとの波形はけいに再さい構成こうせいされることを示しめす。

標本ひょうほん化かとは、数学すうがく的てきには連続れんぞく関数かんすうの値ねからある点てんの値ねだけを標本ひょうほんとして取とり出だして離散りさん関数かんすうに変換へんかんする操作そうさであり、与あたえられた連続れんぞく関数かんすう $g$ と標本ひょうほん化か関数かんすう $δ でるた$ の積せきを求もとめることと等ひとしい。標本ひょうほん化か関数かんすう $δ でるた$ とは、ある離散りさん値ち（連続れんぞくでない、飛とび飛とびの値ね） $x$ に対たいしてのみ $δ でるた (x) = 1$ となり、その他たの $x$ に対たいしては $δ でるた (x) = 0$ となるような関数かんすうである。対象たいしょうとなる原げん関数かんすう $g (x)$ と標本ひょうほん化か関数かんすう $δ でるた (x)$ の積せきを取とると、関数かんすう $G(x)=\delta (x)g(x)$ が得えられる。 $δ でるた (x) = 1$ となる $x$ に対たいしてのみ $G(x)=g(x)$ となり、それ以外いがいの領域りょういきでは $G (x) = 0$ となる。

標本ひょうほん化か定理ていりとは、ある関数かんすう $g (x)$ をフーリエ変換へんかんした関数かんすう $F (f)$ の成分せいぶん（スペクトル）が、 $|f|\geq W$ の範囲はんいで $F (f) = 0$ であるような関数かんすう $g (x)$ に対たいして、 ${\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{2W}}$ より小ちいさい周期しゅうきを持もつ標本ひょうほん化か関数かんすうで標本ひょうほん化かしたときに得えられる関数かんすうは、そのスペクトルのうち $|f|<W$ が原げん関数かんすうのスペクトルに一致いっちするというものである。

工学こうがく的てきには、原信はらしん号ごうの成分せいぶんの最大さいだい周波数しゅうはすう $f max$ の2倍ばい（ $2 f max$ ）よりも高たかい周波数しゅうはすう $f_{\mathrm {sampling} }$ で標本ひょうほん化かした信号しんごうは、ローパスフィルタ（ハイカットフィルタ）で高こう域いき成分せいぶんを除去じょきょすることで原信はらしん号ごうを完全かんぜんに復元ふくげんできることを示しめしている。例たとえば原げん信号しんごうに含ふくまれる周波数しゅうはすうが最高さいこうで $f max = 22.05 kHz$ だった場合ばあい、 $2 f max = 44.1 kHz$ よりも高たかい（ $2f_{\mathrm {max} }$ を含ふくまない）周波数しゅうはすうで標本ひょうほん化かすれば、原はら信号しんごうを完全かんぜんに復元ふくげんすることができる。原信はらしん号ごうが復元ふくげん可能かのうな周波数しゅうはすうの上限じょうげん ${\tfrac {f_{\mathrm {sampling} }}{2}}$ をナイキスト周波数しゅうはすう、またナイキスト周波数しゅうはすうの逆数ぎゃくすうをナイキスト周期しゅうきと言いう。

標本ひょうほん化か周波数しゅうはすうが $2 f max$ 以下いかであった場合ばあい、原信はらしん号ごうにはない偽にせの周波数しゅうはすう $f_{\mathrm {sampling} }-f_{\mathrm {max} }$ がエイリアス信号しんごうとして復元ふくげん信号しんごうに現あらわれる。よって連続れんぞく信号しんごうの標本ひょうほん化かにおいては、ナイキスト周波数しゅうはすう $2 f max$ よりも高たかい周波数しゅうはすうで標本ひょうほん化かしなければならない。

ナイキスト周波数しゅうはすうと同おなじ周波数しゅうはすうを持もつ信号しんごうの標本ひょうほん化か。青あお線せんの信号しんごうを標本ひょうほん化かする（青あお丸まる）と0の信号しんごう（橙だいだい線せん・橙だいだい丸まる）と見分みわけがつかなくなり原げん信号しんごうを完全かんぜん復元ふくげんできない。

なお、アナログ信号しんごうからデジタル信号しんごうへの変換へんかんについては、標本ひょうほん化かのほかに量子りょうし化かが必要ひつようである。

標本ひょうほん化か定理ていりの証明しょうめい

標本ひょうほん化か定理ていりは、フーリエ級数きゅうすうを用もちいると簡単かんたんに証明しょうめいすることができる。

理想りそう的てきな標本ひょうほん化かパルス列ぱるすれつs(t)は、Tをサンプリング周期しゅうきとし、デルタ関数かんすう $\delta (t)$ を用もちいて、

$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$

と表あらわされる。標本ひょうほん化か入力にゅうりょく信号しんごうをg(t)とすると、出力しゅつりょく信号しんごうp(t)は

$p(t)=g(t)s(t)$

であるから、

$p(t)=g(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(nT)\delta (t-nT)$

となり、明あきらかにg(nT)の系列けいれつとなる。

ここで、出力しゅつりょく信号しんごうp(t)の周波数しゅうはすう成分せいぶんを計算けいさんするためにs(t)をフーリエ級数きゅうすう展開てんかいすると、

$s(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{jn\omega _{0}t}$

となる。ただし、 $\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {2\pi }{T}}$ である。

扱あつかいを容易よういにするために入力にゅうりょく信号しんごうg(t)は振幅しんぷくA、周波数しゅうはすう $f_{a}={\frac {\omega _{a}}{2\pi }}$ の単一たんいつ正弦せいげん波はとして次つぎのように置おく。

$g(t)=A\cos(\omega _{a}t+\theta _{a})={\frac {A}{2}}e^{j(\omega _{a}t+\theta _{a})}+{\frac {A}{2}}e^{-j(\omega _{a}t+\theta _{a})}$

これに対たいする出力しゅつりょく信号しんごうp(t)は、上うえの式しきより

$p(t)={\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}+\omega _{a})t+\theta _{a}\}}+{\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}-\omega _{a})t-\theta _{a}\}}$

となる。この式しきから周波数しゅうはすうスペクトルの図ずを描えがき検討けんとうすると証明しょうめいができる。

抵抗ていこうと電圧でんあつのゆらぎについてのナイキストの定理ていり

抵抗ていこう $R$ と電圧でんあつのゆらぎとの比例ひれい関係かんけい。導体どうたいが温度おんど $T$ にあるとき、その両りょう端はしには電位差でんいさ $V(t)$ が生しょうじる。このとき

\langle V(t)V(t')\rangle =2Rkt\delta (t-t')

の関係かんけいをナイキストの定理ていりという。この関係かんけい式しきは、角かく振動しんどう数すう $\omega$ に対たいする電気でんき伝導でんどう度ど $\sigma (\omega )$ が $\omega$ によらず $\sigma (0)$ に等ひとしい領域りょういきで成立せいりつする。これは一般いっぱんの線形せんけい応答おうとう理論りろんから基礎きそづけられる。これも歴史れきし的てきには1つの揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていりの発見はっけんの例れいになっている^[1]。

歴史れきし的てき背景はいけい

標本ひょうほん化か定理ていりはハリー・ナイキストが1928年ねんに予想よそうしており、これに対たいして1949年ねんのクロード・シャノンの証明しょうめいが有名ゆうめいである。そのため、シャノンの標本ひょうほん化か定理ていりやナイキスト＝シャノンの標本ひょうほん化か定理ていりと呼よばれることが多おおい。

しかし、その後ごの研究けんきゅうで、シャノンとは独立どくりつに標本ひょうほん化か定理ていりを証明しょうめいしていた人物じんぶつが次々つぎつぎと見みつかった。ソビエト連邦れんぽうのウラジーミル・コテルニコフ（1935年ねん）、ドイツのH.P.ラーベ（1938年ねん）、日本にっぽんの染谷そめや勲いさお（1949年ねん）の論文ろんぶんが発見はっけんされ、それぞれ標本ひょうほん化か定理ていりを証明しょうめいした数学すうがく者しゃとして取とり上あげられた。このうちコテルニコフは1999年ねんにドイツのエドゥアルト・ライン財団ざいだんから「標本ひょうほん化か定理ていりを最初さいしょに証明しょうめいした」として基礎きそ研究けんきゅう賞しょうを受賞じゅしょうしている。

また、標本ひょうほん化か定理ていりの展開てんかい式しきと同おなじものを補間ほかん法ほうの公式こうしきとして、イギリスのエドマンド・テイラー・ホイッテーカーが1915年ねんに証明しょうめいしている。そのため、ホイッテーカーも標本ひょうほん化か定理ていりの証明しょうめい者しゃとしてみなされる場合ばあいがある。またホイッテーカーの証明しょうめい方法ほうほうからの日本にっぽんの小倉おぐら金之助きんのすけの論文ろんぶん（1920年ねん）が、世界せかいで最初さいしょの標本ひょうほん化か定理ていりの証明しょうめいであると、2011年ねんにブッツァーらによって発表はっぴょうされている。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

出典しゅってん

^ 『物理ぶつり学がく辞典じてん』培風館ばいふうかん、1984年ねん