漸近 ぜんきん 展開 てんかい (ぜんきんてんかい、英 えい : Asymptotic expansion )とは、与 あた えられた関数 かんすう を、より簡単 かんたん な形 かたち をした関数 かんすう 列 れつ の級数 きゅうすう として近似 きんじ することをいう。テイラー展開 てんかい は漸近 ぜんきん 展開 てんかい の特別 とくべつ な場合 ばあい であるが、漸近 ぜんきん 展開 てんかい で得 え られた級数 きゅうすう の値 ね は、必 かなら ずしも元 もと の関数 かんすう の値 ね に収束 しゅうそく するとは言 い えない。しかし、関数 かんすう の性質 せいしつ を調 しら べる際 さい 、元 もと の関数 かんすう の形 かたち では扱 あつか いが難 むずか しい場合 ばあい 、漸近 ぜんきん 展開 てんかい によって元 もと の関数 かんすう を級数 きゅうすう の形 かたち で近似 きんじ することにより、関数 かんすう の性質 せいしつ が得 え られることがある。漸近 ぜんきん 展開 てんかい は解析 かいせき 学 がく (例 たと えば複素 ふくそ 解析 かいせき [ 1] や特殊 とくしゅ 関数 かんすう に対 たい する数値 すうち 解析 かいせき [ 2] など) では重要 じゅうよう な手法 しゅほう の一 ひと つであり、確率 かくりつ 論 ろん の基礎 きそ として用 もち いることがある[ 3] 。
任意 にんい の関数 かんすう
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
に対 たい して、
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
に対 たい する漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう は存在 そんざい しても唯一 ゆいいつ とは限 かぎ らない。例 たと えば
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
x
−
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
(
x
2
+
x
+
1
)
x
−
3
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
しかし、与 あた えられた漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ に対 たい する漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう は存在 そんざい しても唯 ただ 1 ひと つしか存在 そんざい しない。従 したが って、ある点 てん でテイラー展開 てんかい された冪 べき 級数 きゅうすう は、その点 てん での唯一 ゆいいつ の漸近 ぜんきん 冪 べき 級数 きゅうすう である。
さらに、漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう の各 かく 係数 けいすう は
a
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
a
n
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
φ ふぁい
n
(
x
)
(
n
≥
1
)
{\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}
で与 あた えられる。
点 てん
x
0
{\displaystyle x_{0}}
の近傍 きんぼう で定義 ていぎ された関数 かんすう
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)}
は、漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
に対 たい する漸近 ぜんきん 展開 てんかい
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
b
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
を持 も つとする。このとき、任意 にんい の α あるふぁ 、β べーた に対 たい して
α あるふぁ
f
(
x
)
+
β べーた
g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
a
k
+
β べーた
b
k
)
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ する。
さらに、漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ が
{
φ ふぁい
(
x
)
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}}
(
φ ふぁい
(
x
)
→
∞
(
x
→
x
0
)
)
{\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))}
である場合 ばあい 、
f
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
c
n
φ ふぁい
(
x
)
n
(
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ する。
一般 いっぱん に、関数 かんすう を無限 むげん 級数 きゅうすう で表 あらわ したとき、項 こう 別 べつ 微分 びぶん した関数 かんすう が元 もと の関数 かんすう を微分 びぶん したものと一致 いっち しない様 よう に、漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう も項 こう 別 べつ 微分 びぶん した級数 きゅうすう は、元 もと の関数 かんすう を微分 びぶん した関数 かんすう の漸近 ぜんきん 展開 てんかい になるとは限 かぎ らない。
項 こう 別 べつ 微分 びぶん した関数 かんすう が漸近 ぜんきん 展開 てんかい したものにあるかは、元 もと の関数 かんすう や漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ によって決 き まる。
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
は各 かく n に対 たい して、
x
0
{\displaystyle x_{0}}
の近傍 きんぼう で微分 びぶん 可能 かのう であり、関数 かんすう 列 れつ
{
φ ふぁい
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
が漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ である場合 ばあい 、以下 いか のことが成立 せいりつ する。
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
は、
x
0
{\displaystyle x_{0}}
の近傍 きんぼう で微分 びぶん 可能 かのう であり、
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
となる漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も ち、
f
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!}
が漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
を用 もち いて漸近 ぜんきん 展開 てんかい することができるのであれば
f
′
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
′
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ する。
|
x
0
|
<
∞
{\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty }
とし、
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
の漸近 ぜんきん 展開 てんかい を
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
とする。定 じょう 積分 せきぶん
Φ ふぁい
n
(
x
)
=
∫
x
0
x
φ ふぁい
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}
が各 かく n に対 たい して存在 そんざい するならば、
F
(
x
)
=
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}
が存在 そんざい して、
F
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
Φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ する。
x
0
=
∞
{\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty }
のときは、漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ によっては上 うえ 式 しき のままではうまくいかない。
例 たと えば、漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう が漸近 ぜんきん 冪 べき 級数 きゅうすう
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}
を持 も つ場合 ばあい 、
∫
x
∞
(
f
(
t
)
−
a
0
−
a
1
t
)
d
t
∼
∑
k
=
2
∞
a
k
(
k
−
1
)
x
k
−
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}
とする必要 ひつよう がある。
ガンマ関数 かんすう は
Γ がんま
(
x
+
1
)
∼
2
π ぱい
x
(
x
e
)
x
(
1
+
1
12
x
+
1
288
x
2
−
139
51840
x
3
−
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ。特 とく に、x が正 せい 整数 せいすう のときは階 かい 乗 じょう の漸近 ぜんきん 展開 てんかい を与 あた え、スターリングの公式 こうしき よりも精密 せいみつ な近似 きんじ 級数 きゅうすう になっている[ 5] 。
合流 ごうりゅう 型 がた 超 ちょう 幾何 きか 関数 かんすう (en:confluent hypergeometric function ):
1
F
1
(
α あるふぁ
;
γ がんま
;
z
)
:=
∑
n
=
0
∞
(
α あるふぁ
)
n
(
γ がんま
)
n
n
!
z
n
,
z
∈
C
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }
は次 つぎ の漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ[ 6] [ 7] [ 8] 。
1
F
1
(
α あるふぁ
;
γ がんま
;
z
)
∼
Γ がんま
(
γ がんま
)
Γ がんま
(
γ がんま
−
α あるふぁ
)
(
exp
(
−
i
π ぱい
)
z
)
−
α あるふぁ
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
(
α あるふぁ
)
k
(
α あるふぁ
−
γ がんま
+
1
)
k
k
!
1
z
k
]
+
Γ がんま
(
γ がんま
)
Γ がんま
(
α あるふぁ
)
exp
(
z
)
z
α あるふぁ
−
γ がんま
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
γ がんま
−
α あるふぁ
)
k
(
1
−
α あるふぁ
)
k
k
!
1
z
k
]
,
−
π ぱい
2
<
arg
(
z
)
<
3
π ぱい
2
,
|
z
|
→
∞
.
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}
arg
{\displaystyle \arg }
は複素数 ふくそすう の偏 へん 角 かく であり、
(
α あるふぁ
)
k
{\displaystyle (\alpha )_{k}}
はポッホハマー記号 きごう [ 9] である。
誤差 ごさ 関数 かんすう
erfc
(
x
)
=
2
π ぱい
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}
は、以下 いか の様 よう な漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ[ 10] 。
erfc
(
x
)
∼
e
−
x
2
π ぱい
x
(
1
−
1
2
x
2
+
1
⋅
3
2
2
x
4
−
1
⋅
3
⋅
5
2
3
x
6
+
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
指数 しすう 積分 せきぶん
Ei
(
x
)
=
∫
x
∞
e
x
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}
の漸近 ぜんきん 展開 てんかい は、
Ei
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与 あた えられる。
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
を何 なん 回 かい でも微分 びぶん 可能 かのう な関数 かんすう としたとき、
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
のラプラス変換 へんかん
F
(
x
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
x
t
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}
の漸近 ぜんきん 展開 てんかい は、
F
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
1
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与 あた えられる。
微分 びぶん 方程式 ほうていしき
x
2
y
″
+
(
3
x
+
1
)
y
′
+
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}
の解 かい は
y
(
x
)
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
x
t
d
t
{\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}
で与 あた えられ、
y
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
(
x
→
0
)
{\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)}
。
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ。しかし、上 うえ 式 しき の右辺 うへん は任意 にんい の
x
≠
0
{\displaystyle \scriptstyle x\neq 0}
で収束 しゅうそく しないが[ 注釈 ちゅうしゃく 2] 、右辺 うへん の級数 きゅうすう は上記 じょうき の微分 びぶん 方程式 ほうていしき を満 み たす。
求 もとめ 積 せき 法 ほう 等 とう で厳密 げんみつ 解 かい を求 もと めることが出来 でき ない微分 びぶん 方程式 ほうていしき に関 かん しても、漸近 ぜんきん 展開 てんかい によって近似 きんじ 解 かい を得 え られる場合 ばあい があり、これにより解 かい の挙動 きょどう を調 しら べることができる。
調和 ちょうわ 級数 きゅうすう は
H
n
∼
ln
n
+
γ がんま
+
1
2
n
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
n
2
k
=
ln
n
+
γ がんま
+
1
2
n
−
1
12
n
2
+
1
120
n
4
−
⋯
,
{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい を持 も つ[ 11] 。ここで、
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
はオイラー・マスケローニ定数 ていすう 、
B
k
{\displaystyle B_{k}}
はベルヌーイ数 すう である。
^ 漸近 ぜんきん 展開 てんかい は複素数 ふくそすう の領域 りょういき にも拡張 かくちょう することができるが、ここでは定義 ていぎ や結果 けっか 等 とう を簡単 かんたん にするため、実数 じっすう の領域 りょういき に限定 げんてい する。
^ 各 かく x に対 たい して、最初 さいしょ の数 すう 項 こう (項 こう 数 すう は x に依存 いぞん する)までの和 わ を取 と れば、積分 せきぶん 表示 ひょうじ された解 かい のいい近似 きんじ を与 あた える。
^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press .
^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics .
^ 伏見 ふしみ p. 22
^ 伏見 ふしみ p. 27
^ 伏見 ふしみ p. 24
^ 犬井 いぬい 鉄郎 てつお . 特殊 とくしゅ 関数 かんすう . 岩波書店 いわなみしょてん .
^ 時弘 ときひろ 哲治 てつじ . 工学 こうがく における特殊 とくしゅ 関数 かんすう . 共立 きょうりつ 出版 しゅっぱん .
^ functions.wolfram.com
^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media .
Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press .
Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics .
Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press .