漸近 ぜんきん 展開 てんかい 英 えい Asymptotic expansion ）とは、与 あた 関数 かんすう 簡単 かんたん 形 かたち 関数 かんすう 列 れつ 級数 きゅうすう 近似 きんじ テイラー展開 てんかい は漸近 ぜんきん 展開 てんかい 特別 とくべつ 場合 ばあい 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 得 え 級数 きゅうすう 値 ね 必 かなら 元 もと 関数 かんすう 値 ね 収束 しゅうそく 言 い 関数 かんすう 性質 せいしつ 調 しら 際 さい 元 もと 関数 かんすう 形 かたち 扱 あつか 難 むずか 場合 ばあい 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 元 もと 関数 かんすう 級数 きゅうすう 形 かたち 近似 きんじ 関数 かんすう 性質 せいしつ 得 え 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 解析 かいせき 学 がく 例 たと 複素 ふくそ 解析 かいせき [ 1] 特殊 とくしゅ 関数 かんすう 対 たい 数値 すうち 解析 かいせき [ 2] 重要 じゅうよう 手法 しゅほう 一 ひと 確率 かくりつ 論 ろん 基礎 きそ 用 もち [ 3]
任意 にんい 関数 かんすう
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
対 たい
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
対 たい 漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 存在 そんざい 唯一 ゆいいつ 限 かぎ 例 たと
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
x
−
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
1
/
(
x
−
1
)
∼
∑
k
=
1
∞
(
x
2
+
x
+
1
)
x
−
3
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
しかし、与 あた 漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ 対 たい 漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 存在 そんざい 唯 ただ １ ひと 存在 そんざい 従 したが 点 てん 展開 てんかい 冪 べき 級数 きゅうすう 点 てん 唯一 ゆいいつ 漸近 ぜんきん 冪 べき 級数 きゅうすう
さらに、漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 各 かく 係数 けいすう
a
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
a
n
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
φ ふぁい
n
(
x
)
(
n
≥
1
)
{\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}
で与 あた
点 てん
x
0
{\displaystyle x_{0}}
近傍 きんぼう 定義 ていぎ 関数 かんすう
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)}
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
対 たい 漸近 ぜんきん 展開 てんかい
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
b
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
を持 も 任意 にんい α あるふぁ β べーた 対 たい
α あるふぁ f
(
x
)
+
β べーた g
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
a
k
+
β べーた
b
k
)
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ
さらに、漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい (
x
)
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}}
(
φ ふぁい (
x
)
→
∞
(
x
→
x
0
)
)
{\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))}
場合 ばあい
f
(
x
)
g
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
c
n
φ ふぁい (
x
)
n
(
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ
一般 いっぱん 関数 かんすう 無限 むげん 級数 きゅうすう 表 あらわ 項 こう 別 べつ 微分 びぶん 関数 かんすう 元 もと 関数 かんすう 微分 びぶん 一致 いっち 様 よう 漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 項 こう 別 べつ 微分 びぶん 級数 きゅうすう 元 もと 関数 かんすう 微分 びぶん 関数 かんすう 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 限 かぎ 項 こう 別 べつ 微分 びぶん 関数 かんすう 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 元 もと 関数 かんすう 漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ 決 き
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
各 かく n に対 たい
x
0
{\displaystyle x_{0}}
近傍 きんぼう 微分 びぶん 可能 かのう 関数 かんすう 列 れつ
{
φ ふぁい
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ 場合 ばあい 以下 いか 成立 せいりつ
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
近傍 きんぼう 微分 びぶん 可能 かのう
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
となる漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も
f
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!}
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ
{
φ ふぁい
n
′
(
x
)
}
n
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
用 もち 漸近 ぜんきん 展開 てんかい
f
′
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
′
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ
|
x
0
|
<
∞
{\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty }
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
漸近 ぜんきん 展開 てんかい
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
とする。定 じょう 積分 せきぶん
Φ ふぁい
n
(
x
)
=
∫
x
0
x
φ ふぁい
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}
が各 かく n に対 たい 存在 そんざい
F
(
x
)
=
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}
が存在 そんざい
F
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
Φ ふぁい
k
(
x
)
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立 せいりつ
x
0
=
∞
{\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty }
漸近 ぜんきん 関 せき 数列 すうれつ 上 うえ 式 しき 例 たと 漸近 ぜんきん 級数 きゅうすう 漸近 ぜんきん 冪 べき 級数 きゅうすう
f
(
x
)
∼
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
(
x
→
∞
)
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}
を持 も 場合 ばあい
∫
x
∞
(
f
(
t
)
−
a
0
−
a
1
t
)
d
t
∼
∑
k
=
2
∞
a
k
(
k
−
1
)
x
k
−
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}
とする必要 ひつよう
ガンマ関数 かんすう は
Γ がんま (
x
+
1
)
∼
2
π ぱい x
(
x
e
)
x
(
1
+
1
12
x
+
1
288
x
2
−
139
51840
x
3
−
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も 特 とく x が正 せい 整数 せいすう 階 かい 乗 じょう 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 与 あた スターリングの公式 こうしき よりも精密 せいみつ 近似 きんじ 級数 きゅうすう [ 5]
合流 ごうりゅう 型 がた 超 ちょう 幾何 きか 関数 かんすう en:confluent hypergeometric function ):
1
F
1
(
α あるふぁ ;
γ がんま ;
z
)
:=
∑
n
=
0
∞
(
α あるふぁ
)
n
(
γ がんま
)
n
n
!
z
n
,
z
∈
C
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }
は次 つぎ 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も [ 6] [ 7] [ 8]
1
F
1
(
α あるふぁ ;
γ がんま ;
z
)
∼
Γ がんま (
γ がんま )
Γ がんま (
γ がんま −
α あるふぁ )
(
exp
(
−
i
π ぱい )
z
)
−
α あるふぁ
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
(
α あるふぁ
)
k
(
α あるふぁ −
γ がんま +
1
)
k
k
!
1
z
k
]
+
Γ がんま (
γ がんま )
Γ がんま (
α あるふぁ )
exp
(
z
)
z
α あるふぁ −
γ がんま
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
γ がんま −
α あるふぁ
)
k
(
1
−
α あるふぁ
)
k
k
!
1
z
k
]
,
−
π ぱい 2
<
arg
(
z
)
<
3
π ぱい
2
,
|
z
|
→
∞
.
{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}
arg
{\displaystyle \arg }
複素数 ふくそすう 偏 へん 角 かく
(
α あるふぁ
)
k
{\displaystyle (\alpha )_{k}}
ポッホハマー記号 きごう [ 9]
誤差 ごさ 関数 かんすう
erfc
(
x
)
=
2
π ぱい
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}
は、以下 いか 様 よう 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も [ 10]
erfc
(
x
)
∼
e
−
x
2
π ぱい
x
(
1
−
1
2
x
2
+
1
⋅
3
2
2
x
4
−
1
⋅
3
⋅
5
2
3
x
6
+
⋯
)
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
指数 しすう 積分 せきぶん
Ei
(
x
)
=
∫
x
∞
e
x
−
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}
の漸近 ぜんきん 展開 てんかい
Ei
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与 あた
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
何 なん 回 かい 微分 びぶん 可能 かのう 関数 かんすう
f
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
ラプラス変換 へんかん
F
(
x
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
x
t
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}
の漸近 ぜんきん 展開 てんかい
F
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
1
x
n
+
1
(
x
→
∞
)
{\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与 あた
微分 びぶん 方程式 ほうていしき
x
2
y
″
+
(
3
x
+
1
)
y
′
+
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}
の解 かい
y
(
x
)
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
x
t
d
t
{\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}
で与 あた
y
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
(
x
→
0
)
{\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)}
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も 上 うえ 式 しき 右辺 うへん 任意 にんい
x
≠
0
{\displaystyle \scriptstyle x\neq 0}
収束 しゅうそく [ 注釈 ちゅうしゃく ] 右辺 うへん 級数 きゅうすう 上記 じょうき 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 満 み
求 もとめ 積 せき 法 ほう 等 とう 厳密 げんみつ 解 かい 求 もと 出来 でき 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 関 かん 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 近似 きんじ 解 かい 得 え 場合 ばあい 解 かい 挙動 きょどう 調 しら
調和 ちょうわ 級数 きゅうすう
H
n
∼
ln
n
+
γ がんま +
1
2
n
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
n
2
k
=
ln
n
+
γ がんま +
1
2
n
−
1
12
n
2
+
1
120
n
4
−
⋯
,
{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}
という漸近 ぜんきん 展開 てんかい 持 も [ 11]
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
オイラー・マスケローニ定数 ていすう 、
B
k
{\displaystyle B_{k}}
ベルヌーイ数 すう である。
^ 漸近 ぜんきん 展開 てんかい 複素数 ふくそすう 領域 りょういき 拡張 かくちょう 定義 ていぎ 結果 けっか 等 とう 簡単 かんたん 実数 じっすう 領域 りょういき 限定 げんてい ^ 各 かく x に対 たい 最初 さいしょ 数 すう 項 こう 項 こう 数 すう x に依存 いぞん 和 わ 取 と 積分 せきぶん 表示 ひょうじ 解 かい 近似 きんじ 与 あた
^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press .
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^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
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Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press .
![{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc728ad6dac98d2e16bd66fc235df24fbae79ba)
