不定ふてい積分せきぶん

関数かんすうの不定ふてい積分せきぶん（ふていせきぶん）という用語ようごには次つぎに挙あげる四よん種類しゅるいの意味いみで用もちいられる場合ばあいがある。

(逆ぎゃく微分びぶん) 0): 微分びぶんの逆ぎゃく操作そうさを意味いみする：すなわち、与あたえられた関数かんすうが連続れんぞくであるとき、微分びぶんするとその関数かんすうに一致いっちするような新あらたな関数かんすう（原始げんし関数かんすう）を求もとめる操作そうさのこと、およびその原始げんし関数かんすうの全体ぜんたい(集合しゅうごう)^{[注ちゅう 1]}を 逆ぎゃく微分びぶん（antiderivative）と言いう（積分せきぶん定数ていすうは無視むしする）。

(積分せきぶん論ろん) 1): 一変いっぺん数すう関数かんすう $f (x)$ に対たいして、定義ていぎ域内いきないの任意にんいの閉区間あいだ $[a, b]$ 上うえの定てい積分せきぶんが $F (b) - F (a)$ に一致いっちする関数かんすう $F (x)$ を関数かんすう $f (x)$ の 不定ふてい積分せきぶん (indefinite integral) と言いう。

(積分せきぶん論ろん) 2): 一変いっぺん数すう関数かんすうの定義ていぎ域内いきないの定数ていすう $a$ から変数へんすう $x$ までの（端点たんてんが定数ていすうでない）積分せきぶんで与あたえられる関数かんすうを関数かんすう $f (x)$ の $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん (indefinite integral with base point $a$ ) と言いう。

(積分せきぶん論ろん) 3): ルベーグ積分せきぶん論ろんにおいて定義ていぎ域内いきないの可か測はか集合しゅうごうを変数へんすうとし、変数へんすうとしての集合しゅうごう上じょうでの積分せきぶんを値ねとする集合しゅうごう関数かんすうを関数かんすう $f$ の 集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶん (indefinite integral as a set-function) と言いう。

文献ぶんけんによって、逆ぎゃく微分びぶんの意味いみで「不定ふてい積分せきぶん」を扱あつかっている場合ばあいと、上述じょうじゅつの積分せきぶん論ろん1〜3の意味いみで扱あつかっている場合ばあいがあり、注意ちゅういを要ようする。例たとえば岩波いわなみ数学すうがく辞典じてんでは後者こうしゃの積分せきぶん論ろんにおける不定ふてい積分せきぶんが記述きじゅつされている。ただしこれらはそれぞれ無関係むかんけいではなく、後述こうじゅつするように、例たとえば (積分せきぶん論ろん) 1) は (積分せきぶん論ろん) 3) を数すう直線ちょくせん上じょうで考かんがえたものであって (逆ぎゃく微分びぶん) 0) と同等どうとうとなるべきものであり、(積分せきぶん論ろん) 2) は本質ほんしつ的てきには (積分せきぶん論ろん) 1) や (積分せきぶん論ろん) 3) の一部分いちぶぶんと見みなすことができる。また (積分せきぶん論ろん) 2) から (逆ぎゃく微分びぶん) 0) を得えることもできるが、この対応たいおうは一般いっぱんには全ぜん射しゃでも単たん射しゃでもない。これ以後いご、この項目こうもくで考かんがえる積分せきぶんは、特とくに指定していがない限かぎり、リーマン積分せきぶんであるものとする。

また後述こうじゅつするように、(積分せきぶん論ろん) の意味いみの不定ふてい積分せきぶんを連続れんぞくでない関数かんすうへ一般いっぱん化かすると、不定ふてい積分せきぶんは通常つうじょうの意味いみでの原始げんし関数かんすうとなるとは限かぎらなくなり、(初等しょとう数学すうがく) と一致いっちしなくなるのだが、連続れんぞく関数かんすうに対たいしてはほぼ一致いっちする概念がいねんであるため、しばしば混同こんどうして用もちいられる。

逆ぎゃく微分びぶんの定義ていぎ

関数かんすう $f (x)$ (積分せきぶんされる関数かんすうという意味いみで被ひ積分せきぶん関数かんすうという) が与あたえられたとき、微分びぶん方程式ほうていしき ${\tfrac {d}{dx}}F(x)=f(x)$ の解かいとなる関数かんすう $F (x)$ 各々おのおのである特殊とくしゅ解かいを $f (x)$ の原始げんし関数かんすうといい、解かいとなる関数かんすう $F (x)$ 全体ぜんたいである一般いっぱん解かいを $f (x)$ の 逆ぎゃく微分びぶんとしての不定ふてい積分せきぶん という。原始げんし関数かんすうという言葉ことばはアドリアン＝マリ・ルジャンドルによる^[1]。

関数かんすう $f (x)$ の不定ふてい積分せきぶんは、端点たんてんを指定していしないリーマン積分せきぶんの記法きほう（ライプニッツの記法きほう）を用もちいて

$\int f(x)\,dx$

のように表あらわされる。この表記ひょうきはピエール・ド・フェルマーによる^[1]。定義ていぎから、不定ふてい積分せきぶんは一ひとつの関数かんすうを表あらわすものではないことに注意ちゅういすべきである (実際じっさい、一いち階かいの微分びぶん方程式ほうていしきの一般いっぱん解かいなのであるから、少すくなくとも一ひとつの積分せきぶん定数ていすうと呼よばれる任意にんい定数ていすうを含ふくむ)。ただし、実用じつよう上じょうは任意にんい定数ていすうの値ねを決きめるごとに原始げんし関数かんすうが一ひとつ現あらわれるから、あたかも一ひとつの関数かんすうであるかのように扱あつかうことができる。

不定ふてい積分せきぶんの定義ていぎ

不定ふてい積分せきぶん

閉区間あいだ上じょうの可か積分せきぶん関数かんすう $f (x)$ と定義ていぎ域内いきないの任意にんいの閉区間あいだ $[a, b]$ に対たいして、次つぎの 微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん公式こうしき を満みたす関数かんすう $F (x)$ を $f (x)$ の 不定ふてい積分せきぶん という:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶん

閉区間あいだ上じょうの可か積分せきぶん関数かんすう $f (x)$ に対たいして、定義ていぎ域内いきないの定数ていすう $a$ から変数へんすう $x$ までの定てい積分せきぶん

$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$

を $f (x)$ の $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん という。

集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶん

ユークリッド空間くうかん $\mathbf {R} ^{n}$ の可か測はか集合しゅうごう $X$ におけるルベーグ可か測はか集合しゅうごう族ぞくとルベーグ測度そくどのなす測度そくど空間くうかん上じょうでルベーグ積分せきぶん可能かのうな関数かんすう $f$ に対たいして、可か測はか集合しゅうごう $E\subset X$ を変数へんすうとする集合しゅうごう関数かんすう

$\Phi (E):=\int _{E}f\,d\mu$

を関数かんすう $f$ の 集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶん という。このとき、 $\Phi (E)$ は絶対ぜったい連続れんぞくな完全かんぜん加法かほう的てき集合しゅうごう関数かんすうとなる。

逆ぎゃく微分びぶんと不定ふてい積分せきぶん、定てい積分せきぶんとの関係かんけい

$f (x)$ を閉区間あいだ上じょうの連続れんぞく関数かんすうとする。このとき、不定ふてい積分せきぶんと逆ぎゃく微分びぶんは次つぎの意味いみで対応たいおうする。

不定ふてい積分せきぶんから逆ぎゃく微分びぶん

連続れんぞく関数かんすう $f (x)$ に対たいして、微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていり（第だい一いち基本きほん定理ていり）から

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$

が成なり立たつから、 $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶんで与あたえられる関数かんすう $\int _{a}^{x}f(t)dt$ は $f (x)$ の原始げんし関数かんすうのひとつである。

さらに不定ふてい積分せきぶん $F (x)$ の定義ていぎから、 $G(x):=F(x)-F(a)$ は $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ に一致いっちするから、 $f (x)$ の原始げんし関数かんすうのひとつであり、従したがって $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)$ もそうである。

逆ぎゃく微分びぶんから不定ふてい積分せきぶん

逆ぎゃくに連続れんぞく関数かんすう $f (x)$ の原始げんし関数かんすう $F (x)$ が与あたえられれば、微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていり（第だい二に基本きほん定理ていり）から、定義ていぎ域内いきないの任意にんいの閉区間あいだ $[a, b]$ に対たいして 微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん公式こうしき

$\int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

が成立せいりつするから、 $F (x)$ は $f (x)$ の不定ふてい積分せきぶんである。

集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶんから基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶん

$n = 1$ で $X$ が閉区間あいだとし、基点きてん $a \in X$ を固定こていする。 $\Phi (E)$ を $X$ 上うえの連続れんぞく関数かんすう $f$ の「集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶん」とするとき、変数へんすう $x\in X$ に対たいして、 $x\geq a$ のとき $F(x):=\Phi ([a,x])$ と、また $x\leq a$ のとき $F(x):=-\Phi ([x,a])$ と置おいて得えられる関数かんすう $F (x)$ は、 $\int _{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)$ を満みたすから、 $f (x)$ の「 $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん」を与あたえる。

基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶんから逆ぎゃく微分びぶん

連続れんぞく関数かんすう $f (x)$ の「 $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん」 $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ は、基点きてん $a$ を定義ていぎ域内いきないで任意にんいに移動いどうさせることで「不定ふてい積分せきぶん」の部分ぶぶん集合しゅうごうを与あたえる。ただし、この対応たいおうは一般いっぱんには全ぜん射しゃにも単たん射しゃにもならない。例たとえば $f(x):=x$ という連続れんぞく関数かんすうを考かんがえた場合ばあい、その「不定ふてい積分せきぶん」は $\int x\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}+C$ であるが「 $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶん」 $\int _{a}^{x}\,t\,dt={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}$ からは $C\leq 0$ の場合ばあいしか得えられず、同おなじ $C<0$ を与あたえる $a$ の値ねが二ふたつ存在そんざいする。

逆ぎゃく微分びぶんと定てい積分せきぶんとの関係かんけい

定てい積分せきぶんを、定義ていぎから直接ちょくせつにリーマン和わ（微小びしょう長方形ちょうほうけいの面積めんせきの総和そうわ）の極限きょくげんとして求もとめるのは非常ひじょうに困難こんなんであるが、連続れんぞく関数かんすうの不定ふてい積分せきぶんが初等しょとう関数かんすうで表あらわせる場合ばあいは、微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん公式こうしき を用もちいると単純たんじゅんな計算けいさん問題もんだいに帰着きちゃくさせることができる。

性質せいしつ

以後いご、本ほん項こうでは特とくにことわらない限かぎり関数かんすうは連続れんぞく関数かんすうとし、「不定ふてい積分せきぶん」という用語ようごを逆ぎゃく微分びぶんという意味いみで用もちいる。

定理ていり

一ひとつの連続れんぞく関数かんすうに対たいする二ふたつの原始げんし関数かんすうは定数ていすうの違ちがいしかなく、すべての変数へんすう項こうが一致いっちすることを証明しょうめい (黒丸くろまる印しるしから開始かいし) する。実際じっさい、 $F(x)$ を閉区間あいだ上じょうの連続れんぞく関数かんすう $f (x)$ の原始げんし関数かんすうのひとつとし、同おなじ定義ていぎ域いきにおける $f (x)$ の他ほかの原始げんし関数かんすう $G(x)$ をとると、

$G(x)-F(x)=C\,$ （定数ていすう）

を満みたす適当てきとうな定数ていすう $C$ が存在そんざいする。

条件じょうけんより $(G(x)-F(x))'=f(x)-f(x)=0$ であるから、平均へいきん値ちの定理ていりより $G(x)-F(x)$ は定数ていすうである。

ゆえに $f (x)$ の逆ぎゃく微分びぶんとしての不定ふてい積分せきぶんは任意にんい定数ていすう $C$ を用もちいて

$\int f(x)\,dx=F(x)+C$

と書かくことができる。ここで任意にんい定数ていすう $C$ は通常つうじょう、積分せきぶん定数ていすう と呼よばれる。従したがって特とくに $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶんと任意にんい定数ていすう $C$ を用もちいて

$\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C$

と表あらわすことができる。

一般いっぱん公式こうしき

$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$
$\int af(x)dx=a\int f(x)dx.$
$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.$ 　（部分ぶぶん積分せきぶん法ほう）
$\int f(x)dx=\int f(g(t)){\frac {dx}{dt}}\,dt.$ 　（置換ちかん積分せきぶん法ほう）
$\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-\int f(f^{-1}(x))df^{-1}(x).$
$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log |f(x)|+C.$

有名ゆうめいな関数かんすうに対たいする公式こうしき

「原始げんし関数かんすうの一覧いちらん」も参照さんしょう

$\int dx=x+C.$
$\int x^{a}dx={\frac {1}{a+1}}x^{a+1}+C.\quad (a\neq -1)$
$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C.$
$\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C.\quad (a\neq 0)$
$\int {\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}\,dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C.\quad (a\neq 0)$
$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\quad (a>0)$
$\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)+C.\quad (a>0)$
$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+A}}}\,dx=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|+C.\quad (A\neq 0)$
$\int {\sqrt {x^{2}+A}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}+A}}+A\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|\right)+C.\quad (A\neq 0)$
$\int e^{x}dx=e^{x}+C.$
$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C.$
$\int \ln x\,dx=x\ln |x|-x+C.$
$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}|x|-{\frac {x}{\ln a}}\ +C.$
$\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$
$\int \cos x\,dx=\sin x+C.$
$\int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|+C.$
$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C.$
$\int {\frac {1}{\sin x}}\,dx=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.$
$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx=-{\frac {1}{\tan x}}+C.$
$\int {\frac {1}{\cos x}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}+C.$
$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx=\tan x+C.$
$\int {\frac {1}{\tan x}}\,dx=\ln |\sin x|+C.$
$\int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C.$

一般いっぱん化か

可か測はか関数かんすうの不定ふてい積分せきぶん

閉区間あいだ上じょうのルベーグ可か積分せきぶん関数かんすう $f (x)$ に対たいしても、定義ていぎ域内いきないの定数ていすう $a$ を一ひとつ固定こていするとき、任意にんいの定数ていすう $C$ を用もちいて表あらわされる

$F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C$

を $f (x)$ の $a$ を基点きてんとする不定ふてい積分せきぶんと呼よぶことができる。ただし、 $a\leq x$ の場合ばあいは $\int _{a}^{x}f(t)\,dt=\int _{[a,x]}f\,d\mu$ であり、 $x\leq a$ の場合ばあいは $\int _{a}^{x}f(t)\,dt:=-\int _{[x,a]}f\,d\mu$ である。この様ような一般いっぱん化かを考かんがえた場合ばあいは、 $C$ の値ねをとめるごとに、 $x$ の連続れんぞく関数かんすう（実じつは絶対ぜったい連続れんぞくとなる）を与あたえるが、 $F (x)$ は必かならずしも微分びぶん可能かのうではない。また、積分せきぶんの値ねは測度そくど $0$ の集合しゅうごう上じょうで $f (x)$ の値ねを取とり換かえたとしても変化へんかしないから、 $F (x)$ が微分びぶん可能かのうな点てんにおいても、導しるべ関数かんすうが $f (x)$ に一致いっちするとは限かぎらない。すなわち、この様ような一般いっぱん化かを考かんがえた場合ばあいには、一般いっぱんには原始げんし関数かんすうと不定ふてい積分せきぶんは異ことなる概念がいねんとなる。

あるいはもし、原始げんし関数かんすうの概念がいねんをもさらに一般いっぱん化かし、例たとえばほとんどいたる所ところで微分びぶん可能かのうでそこでの微分びぶん係数けいすうが $f (x)$ に一致いっちする連続れんぞく関数かんすう $G(x)$ を原始げんし関数かんすうと呼よぶと、今度こんどは二ふたつの原始げんし関数かんすうの差さが定数ていすうであることが一般いっぱんには成なりたなくなり、微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん公式こうしきが成立せいりつしないことになる。実際じっさい、カントール集合しゅうごうから作つくられる単調たんちょう増加ぞうか関数かんすうであるカントール関数かんすうは、定数ていすう関数かんすうでないのに、恒等こうとう的てきに値ね $0$ をとる定数ていすう関数かんすうのここでの意味いみの原始げんし関数かんすうとなっている。ただしカントール関数かんすうは絶対ぜったい連続れんぞくではなく、一般いっぱんに原始げんし関数かんすうにさらに絶対ぜったい連続れんぞく性せいを要求ようきゅうするのであればこの様ような例れいは排除はいじょされる。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ 不定ふてい積分せきぶんあるいは原始げんし関数かんすうを求もとめることを積分せきぶんするという

出典しゅってん

^ ^a ^b 黒木くろき哲あきら徳とく『なっとくする数学すうがく記号きごう』講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス〉、2021年ねん、79,216頁ぺーじ。ISBN 9784065225509。

外部がいぶリンク

ポータル数学すうがく
プロジェクト数学すうがく

[1] 不定ふてい積分せきぶんあるいは原始げんし関数かんすうを求もとめることを積分せきぶんするという

[kurogi-2] 黒木くろき哲あきら徳とく『なっとくする数学すうがく記号きごう』講談社こうだんしゃ〈ブルーバックス〉、2021年ねん、79,216頁ぺーじ。ISBN 9784065225509。

[注ちゅう 1]

[1]

不定ふてい積分せきぶん

目次もくじ

逆ぎゃく微分びぶんの定義ていぎ

不定ふてい積分せきぶんの定義ていぎ

不定ふてい積分せきぶん

基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶん

集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶん

逆ぎゃく微分びぶんと不定ふてい積分せきぶん、定てい積分せきぶんとの関係かんけい

不定ふてい積分せきぶんから逆ぎゃく微分びぶん

逆ぎゃく微分びぶんから不定ふてい積分せきぶん

集合しゅうごう関数かんすうとしての不定ふてい積分せきぶんから基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶん

基点きてんを持もつ不定ふてい積分せきぶんから逆ぎゃく微分びぶん

逆ぎゃく微分びぶんと定てい積分せきぶんとの関係かんけい

性質せいしつ

定理ていり

一般いっぱん公式こうしき

有名ゆうめいな関数かんすうに対たいする公式こうしき

一般いっぱん化か

可か測はか関数かんすうの不定ふてい積分せきぶん

脚注きゃくちゅう

注釈ちゅうしゃく

出典しゅってん

関連かんれん項目こうもく

外部がいぶリンク