ホワイトノイズ

カラードノイズ (有色ゆうしょく雑音ざつおん)
ホワイト
ピンク
ブラウニアン/レッド
グレイノイズ

ホワイトノイズに近似きんじさせ生成せいせいしたノイズのパワースペクトラム

ホワイトノイズの例れい

ホワイトノイズ (White noise)とは、ノイズの分類ぶんるいで、パワースペクトルにおいて広ひろい範囲はんいで同どう程度ていどの強度きょうどとなっているノイズを指さす。「ホワイト」とは、可視かし領域りょういきの広ひろい範囲はんいをまんべんなく含ふくんだ光ひかりが白色はくしょくであることから来きている形容けいようである。派生はせい語ごのようなものにピンクノイズがあり、周波数しゅうはすう成分せいぶんが右みぎ下さがりの光ひかりがピンク色ぴんくいろであることによる。よく聞きくノイズの例れいで擬音ぎおん語ごで表現ひょうげんするなら、「ザー」という音おとに聞きこえる雑音ざつおんがピンクノイズで、「シャー」と聞きこえる音おとがホワイトノイズである。

特徴とくちょう

ホワイトノイズは全すべての周波数しゅうはすうで同おなじ強度きょうどとなるノイズである。これはWiener-Khintchineの定理ていりから、自己じこ相関そうかん関数かんすうがデルタ関数かんすうとなることと同おなじである。統計とうけい学がくの言葉ことばで言いうと、定常ていじょう独立どくりつであることを意味いみしていて、簡単かんたんにいえば非常ひじょうに不規則ふきそくなノイズということである。

なお厳密げんみつには自己じこ相関そうかん関数かんすうにデルタ関数かんすうといった無限むげんを含ふくむものは実在じつざいし得えないので、理想りそう的てきなホワイトノイズは実在じつざいしない。しかし、実用じつよう上じょうには有限ゆうげん値ねの十分じゅうぶん理想りそうホワイトノイズに近ちかいものをホワイトノイズとして扱あつかう。また、近年きんねんのオーディオ機器ききのそれなど、パルス符号ふごう変調へんちょう（PCM）が途中とちゅうに入はいっている場合ばあいは、0付近ふきん〜ナイキスト周波数しゅうはすうまで同おなじ強度きょうどとなる。

ホワイトノイズならばガウスノイズ（正規せいき分布ぶんぷのノイズ）であるとしばしば誤解ごかいされるが、白色はくしょくという概念がいねんとガウス性せいという概念がいねんは異ことなるものである。しかし、系けいのモデルで白色はくしょくとガウス性せいの2つを同時どうじに仮定かていすることは多おおい。ホワイトガウスノイズ（白色はくしょくガウス雑音ざつおん）は実じつ世界せかいのノイズとしてよい近似きんじであるからである（中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり）。これらのモデルは加法かほう性せいホワイトガウスノイズ (AWGN、additive white Gaussian noise) と呼よばれる。

定義ていぎ

以下いかの2つの条件じょうけんを満みたすようなw(t) をホワイトノイズと定義ていぎする。

• $\mu =E[w(t)]=0$
• $R(t_{1},t_{2})=E[w(t_{1})w(t_{2})]=\sigma ^{2}\delta (t_{1}-t_{2})$

ただし、σしぐま² は w の分散ぶんさんで、δでるた はディラックのデルタ関数かんすうである。1つ目めの式しきは平均へいきんゼロを表あらわしている。そして2つ目めの式しきは自己じこ相関そうかんは σしぐま² であり相互そうご相関そうかんはゼロであることを表あらわしている。

自己じこ相関そうかんをフーリエ変換へんかんするとホワイトノイズのパワースペクトルが得えられる：

• $|W(\omega )|^{2}=\sigma ^{2}$

パワースペクトルの値ねはωおめがに依存いぞんしないので、全すべての周波数しゅうはすうで一定いっていの値ね（白色はくしょくと呼よぶ）になっている。

また離散りさん化かされた列れつとしてのホワイトノイズの定義ていぎは、同様どうようにベクトルwに対たいして以下いかのように定義ていぎされる。

• $\mu =E[{\boldsymbol {w}}]=0$
• ${\boldsymbol {R}}=E[{\boldsymbol {w}}{\boldsymbol {w}}^{T}]=\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}$

ただし^Tは転置てんちを、Iは単位たんい行列ぎょうれつである。1つ目めの式しきは平均へいきんゼロを表あらわしている。2つ目めの式しきは相互そうご相関そうかん行列ぎょうれつが、対たい角かく成分せいぶんがσしぐま²でそれ以外いがいはゼロということを表あらわしている。

なお、ここではホワイトノイズを実数じっすうとして考かんがえたが、複素数ふくそすうに対たいしても定義ていぎできる。相関そうかん演算えんざんの定義ていぎに複素ふくそ共役きょうやくの演算えんざんが入はいるため、ホワイトノイズの定義ていぎもこれに応おうじてやや変化へんかする。

生成せいせい方法ほうほう

実際じっさい上じょうは正規せいき乱数らんすうをホワイトノイズとして利用りようする。なおこのときガウス性せいも満みたすので、ホワイトガウスノイズとなる。

Excelの分析ぶんせきツールを用もちいて、正規せいき乱数らんすうを作成さくせいすることができる。

関連かんれん項目こうもく

• 独立どくりつ成分せいぶん分析ぶんせき
• 有色ゆうしょく雑音ざつおん

外部がいぶリンク

• SimplyNoise.com （英語えいご）
• whitenoisemagic.com （英語えいご）