レンズの公式こうしき

レンズの公式こうしき（レンズのこうしき）は幾何きか光学こうがくにおける公式こうしきであり、

• 物もの面めんから主点しゅてんまでの距離きょり A
• 主点しゅてんから像ぞう面めんまでの距離きょり B
• 焦点しょうてん距離きょり F （主点しゅてんと焦点しょうてんの距離きょり）

の関係かんけいが理想りそう的てきには${1 \over A}+{1 \over B}={1 \over F}$と表あらわされるというものである。ただし、焦点しょうてん距離きょり F は凹おうレンズなどの発散はっさん系けいでは負まけとし、像ぞう面めんまでの距離きょり B は虚像きょぞうでは負まけとする。物ものが無限むげん遠とおにある場合ばあいは左辺さへん第だい1項こうを0、像ぞうが無限むげん遠方えんぽうの虚像きょぞうである場合ばあいは左辺さへん第だい2項こうを0として成立せいりつする。

この公式こうしきは単たんレンズだけでなく凹面鏡おうめんきょう・凸面鏡とつめんきょうや、複数ふくすうのレンズ・鏡かがみを組くみ合あわせた光学こうがく系けいにも（主点しゅてん・焦点しょうてんが定義ていぎできるならば）適用てきようできる。

レンズメーカーの公式こうしき

空気くうき中ちゅうにある単たんレンズの焦点しょうてん距離きょりは以下いかの式しきから計算けいさんできる。

${\frac {1}{F}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],$

$n$ はレンズの屈折くっせつ率りつ。

$R_{1}$ はレンズ第だい1面めんの曲きょく率りつ半径はんけい。

$R_{2}$ はレンズ第だい2面めんの曲きょく率りつ半径はんけい。

$d$ はレンズの厚あつさ。

この式しきはレンズメーカーの公式こうしきと呼よばれる。曲きょく率りつ半径はんけいは、曲きょく率りつ中心ちゅうしんが光源こうげんから遠とおい方ほうにある場合ばあいを正せいとする。

証明しょうめい

以下いかの説明せつめい図ずではレンズの中なかで光ひかりが曲まがっているが、実際じっさいにはレンズに光ひかりが入はいるときと出でるときの2回かい、屈折くっせつする。 また、式しき中ちゅうの記号きごうはすべて図ず中ちゅうの点てんまたは長ながさをさす。

凸とつレンズに関かんする証明しょうめい

焦点しょうてんの外側そとがわに物体ぶったいがある場合ばあい

凸とつレンズの焦点しょうてんより外側そとがわに物体ぶったいを置おくと、物体ぶったいに対たいして反対はんたい側がわに倒立とうりつの実像じつぞうができる。

（証明しょうめい）

$\triangle abo$ と $\triangle a'b'o$ が相似そうじであることより

${\begin{aligned}ab:a'b'&=bo:b'o\\&=A:B\\\end{aligned}}$

と言いえ、また $\triangle pof$ と $\triangle a'b'f$ が相似そうじであることより

${\begin{aligned}po:a'b'&=of:b'f\\&=F:(B-F)\\\end{aligned}}$

と言いえる。 $ab=po$ であるから

${\begin{array}{lcl}A:B&=&F:(B-F)\\A(B-F)&=&BF\\AB-AF&=&BF\\BF+AF&=&AB\end{array}}$

となり、これを $(ABF)$ で割わると

${\begin{array}{lcl}{\frac {BF}{ABF}}+{\frac {AF}{ABF}}&=&{\frac {AB}{ABF}}\\\therefore {\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}&=&{\frac {1}{F}}\end{array}}$

(証明しょうめい終おわり)

焦点しょうてんの内側うちがわに物体ぶったいがある場合ばあい

凸とつレンズの焦点しょうてんより内側うちがわに物体ぶったいを置おくと、物体ぶったいと同おなじ側がわに正せい立だての虚像きょぞうができる。

（証明しょうめい）

$\triangle a'bo$ と $\triangle ab'o$ が相似そうじであることより、

${\begin{aligned}a'b:ab'&=bo:b'o\\&=B:A\\\end{aligned}}$

と言いえ、また $\triangle a'bf$ と$\triangle pof$ （注ちゅうを参照さんしょうのこと） が相似そうじであることより、

${\begin{aligned}a'b:po&=bf:of\\&=(B+F):F\\\end{aligned}}$

と言いえる。 $ab'=po$ であるから、

${\begin{array}{lcl}B:A&=&(B+F):F\\A(B+F)&=&BF\\AB+AF&=&BF\\BF-AF&=&AB\end{array}}$

となり、これを $(ABF)$ で割わると、

${\begin{array}{lcl}{\frac {BF}{ABF}}-{\frac {AF}{ABF}}&=&{\frac {AB}{ABF}}\\\therefore {\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}&=&{\frac {1}{F}}\end{array}}$

像ぞうが虚像きょぞうであるため B を負まけの数かずで表あらわし B' = -B とおくと、上うえ式しきは

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{F}}$

となる。

(証明しょうめい終おわり) （注ちゅう）図ず中ちゅうには、ｆが2点てんあるが、右側みぎがわのｆをさす。

凹おうレンズに関かんする証明しょうめい

凹おうレンズでは物体ぶったいと同おなじ側がわに正せい立だての虚像きょぞうができる。

（証明しょうめい）

$\triangle abo$ と $\triangle a'b'o$ が相似そうじであることより、

${\begin{aligned}ab:a'b'&=bo:b'o'\\&=A:B\\\end{aligned}}$

と言いえ、また $\triangle pof$ と $\triangle a'b'f$ が相似そうじであることより、

${\begin{aligned}po:a'b'&=of:b'f\\&=F:(F-B)\\\end{aligned}}$

と言いえる。ところで、 $ab=po$ であるから、

${\begin{array}{lcl}A:B&=&F:(F-B)\\A(F-B)&=&BF\\AF-AB&=&BF\\BF-AF&=&-AB\end{array}}$

となり、これを $(ABF)$ で割わると、

${\begin{array}{lcl}{\frac {BF}{ABF}}-{\frac {AF}{ABF}}&=&-{\frac {AB}{ABF}}\\\therefore {\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}&=&-{\frac {1}{F}}\end{array}}$

凹おうレンズによる虚像きょぞうであるため B, F を負まけの数かずで表あらわし F' = -F; B' = -B とおくと、上うえ式しきは

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{F'}}$

となる。

(証明しょうめい終おわり)

レンズフレアの公式こうしき

レンズに入射にゅうしゃした光ひかりの一部いちぶはレンズ内面ないめんで一いち回かいもしくは複ふく数すう回かい反射はんしゃする。これがレンズフレアの原因げんいんのひとつである。凸とつレンズ内ないを $m$ 回かい反射はんしゃしたときの焦点しょうてん距離きょりは

$(-1)^{m}{\frac {n-1}{(m+1)n-1}}F$

$F$ はレンズの（零れい回かい反射はんしゃの）焦点しょうてん距離きょり

$n$ はレンズの屈折くっせつ率りつ

で与あたえられる。 ここで負まけの焦点しょうてん距離きょりは焦点しょうてんがレンズ前方ぜんぽうにあることを意味いみする。

典型てんけい的てきな $n=1.5$ と $m=1,2$ の場合ばあいを計算けいさんすれば、一回いっかい反射はんしゃの焦点しょうてん距離きょり公式こうしき

$-{\frac {F}{4}}$

及および二に回かい反射はんしゃの焦点しょうてん距離きょり公式こうしき

${\frac {F}{7}}$

が得えられる。

熊本くまもと県立けんりつ宇土うと高等こうとう学校がっこう科学かがく部ぶは、このレンズ内ない反射はんしゃによる結ゆい像ぞうの現象げんしょうを再さい発見はっけんし、前述ぜんじゅつの両りょう凸とつレンズ、平ひら凸とつレンズ、凸とつ平ひらレンズに対たいする一回いっかい反射はんしゃと二に回かい反射はんしゃによる結ゆい像ぞう距離きょりの公式こうしきを与あたえた。例たとえば、両りょう凸とつレンズの場合ばあいには、上記じょうきの焦点しょうてん距離きょり公式こうしきから

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}={\frac {4}{F}}$

及および

${\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}={\frac {7}{F}}$

が得えられる。同どう研究けんきゅうではレンズ内ない反射はんしゃによる実像じつぞうは「副ふく実像じつぞう」と呼よばれている。同どう研究けんきゅうは国内こくないメディアで報道ほうどうされ、高校こうこう物理ぶつりの教科書きょうかしょにも採用さいようされた。

関連かんれん項目こうもく

• レンズ
• 凸とつレンズ
• 凹おうレンズ