三重みえ項こう状態じょうたい

量子力学りょうしりきがくにおいて、三重みえ項こう（さんじゅうこう、英えい: triplet）とはスピン1の系けいの量子りょうし状態じょうたいをいい、スピンの特定とくてい方向ほうこう成分せいぶんの値ねは −1, 0 及および +1 のいずれかとなる。

物理ぶつり学がくにおいて、スピンとは物体ぶったいに内在ないざいする角かく運動うんどう量りょう を言いい、ある点てんの回まわりを回まわる重心じゅうしん運動うんどうに起因きいんする軌道きどう角かく運動うんどう量りょうとは区別くべつされる。量子力学りょうしりきがくにおいて、スピンは原子げんし、陽子ようし、電子でんしなどの原子げんしスケールの系けいにおいて特とくに重要じゅうようである。 このような粒子りゅうしおよび量子りょうし系けいのスピン（粒子りゅうしスピン）は、非ひ古典こてん的てきな性質せいしつを持もっており、スピン角かく運動うんどう量りょうは幾何きか学がく的てきな意味いみでの回転かいてん運動うんどうとは独立どくりつだが、抽象ちゅうしょう的てきな意味いみでの「内在ないざい的てき」角すみ運動うんどう量りょうとみなせる。

日常にちじょうで触ふれるほとんど全すべての分子ぶんしは一いち重じゅう項こう状態じょうたいにあるが、酸素さんそ分子ぶんしは例外れいがいである。室温しつおんにおいて、 O₂ は三重みえ項こう状態じょうたいで存在そんざいし、化学かがく反応はんのうが開始かいしできるよう一いち重じゅう項こう状態じょうたいへ遷移せんいするには禁制きんせい遷移せんいを経へる必要ひつようがあり、平衡へいこう論ろん的てきには強力きょうりょくな酸化さんか剤ざいであるにもかかわらず速度そくど論ろん的てきには不ふ活性かっせいとなっている。酸素さんそ分子ぶんしを一いち重じゅう項こう状態じょうたいにして速度そくど論ろん的てきにも酸化さんか剤ざいとするためには、光化学こうかがく的てき・熱ねつ的てきに活性かっせい化かする必要ひつようがある。

二ふたつのスピン 1/2 粒子りゅうし

二ふたつのスピン 1/2 粒子りゅうしからなる系けい（例れい：陽子ようしと電子でんしからなる水素すいそ原子げんし）は、それぞれの粒子りゅうしのスピンをある軸じくに沿そって測はかれば、アップスピンもしくはダウンスピンのどちらかであり、系けい全体ぜんたいとしては単たん粒子りゅうしスピンの二に種類しゅるいの向むきを二ふたつ用もちいて、次つぎの四よん通とおりの基底きてい状態じょうたいを考かんがえることができる。

$\uparrow \uparrow ,\uparrow \downarrow ,\downarrow \uparrow ,\downarrow \downarrow$

より厳密げんみつには、基底きてい状態じょうたいを次つぎのように書かき下くだせる。

$|s_{1},m_{1}\rangle |s_{2},m_{2}\rangle =|s_{1},m_{1}\rangle \otimes |s_{2},m_{2}\rangle$

ここで $s_{1}$ および $s_{2}$ は二ふたつの粒子りゅうしのスピン、 $m_{1}$ および $m_{2}$ はそれぞれの z-軸じくへの投影とうえいである。スピン 1/2 粒子りゅうしの場合ばあいを考かんがえれば、基底きてい状態じょうたい $|1/2,m\rangle$ は二に次元じげん空間くうかんを張はるので、基底きてい状態じょうたい $|1/2,m_{1}\rangle |1/2,m_{2}\rangle$ は4次元じげん空間くうかんを張はる。

ここで、クレブシュ-ゴルダン係数けいすうを用もちいた量子力学りょうしりきがく的まと角かく運動うんどう量りょう合成ごうせい則そくにより全ぜんスピンおよびその z-軸じくへの投影とうえいを計算けいさんすることができる。一般いっぱん的てきには以下いかのように書かき下くだせる。

$|s,m\rangle =\sum _{m_{1}+m_{2}=m}C_{m_{1}m_{2}m}^{s_{1}s_{2}s}|s_{1}m_{1}\rangle |s_{2}m_{2}\rangle$

四よっつの基底きてい状態じょうたいは次つぎのように対応たいおうする。

$|1/2,+1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\uparrow \uparrow )$

$|1/2,+1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\uparrow \downarrow )$

$|1/2,-1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\downarrow \uparrow )$

$|1/2,-1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\downarrow \downarrow )$

これらの基底きてい状態じょうたい $|1/2,\ m_{1}\rangle |1/2,\ m_{2}\rangle$ に対応たいおうする全ぜんスピンを計算けいさんすることができる。全ぜんスピン角かく運動うんどう量りょう 1 の状態じょうたいは以下いかの三さん通とおりがありうる。

$\left.{\begin{array}{ll}|1,1\rangle &=\;\uparrow \uparrow \\|1,0\rangle &=\;(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\\|1,-1\rangle &=\;\downarrow \downarrow \end{array}}\right\}\quad s=1\quad \mathrm {(triplet)}$

そして、残のこる一ひとつは全ぜんスピン角かく運動うんどう量りょう 0 に対応たいおうする。

$\left.|0,0\rangle =(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\;\right\}\quad s=0\quad \mathrm {(singlet)}$

このように、二ふたつのスピン 1/2 粒子りゅうしは全ぜんスピン 1 または 0、すなわち三重みえ項こう状態じょうたいおよび一いち重じゅう項こう状態じょうたいを取とり得える。

数学すうがく的てき観点かんてん

表現ひょうげん論ろん的まとには、二ふたつの共役きょうやくなSU(2)=Spin(3)スピン群ぐんの二に次元じげんスピン表現ひょうげん（3次元じげんクリフォード代数だいすうの中なかに埋うめ込こまれた場合ばあい）がテンソル積せきをとられて4次元じげん表現ひょうげんを生成せいせいしたとみることができる。4次元じげん表現ひょうげんは通常つうじょうの直交ちょっこう群ぐん SO(3) に帰着きちゃくし、その対称たいしょうはテンソルとなるから、スピンは整数せいすうとなる。4次元じげん表現ひょうげんは1次元じげんの自明じめいな表現ひょうげん（一いち重じゅう項こう、スカラ、スピン 0）と、 SO(3) の $R^{3}$ 上うえの標準ひょうじゅん的てきな表現ひょうげんにすぎない3次元じげん表現ひょうげん（三重みえ項こう、スピン 1)との和わに分解ぶんかいすることができる。したがって、三重みえ項こうの「三さん」 は物理ぶつり的てき空間くうかんの三みっつの回転かいてん軸じくとみることができる。

関連かんれん項目こうもく

• 一いち重じゅう項こう状態じょうたい
• 二に重じゅう項こう状態じょうたい
• ジラジカル
• 角かく運動うんどう量りょう
• パウリ行列ぎょうれつ
• スピン角かく運動うんどう量りょう
• スピン 1/2
• スピンテンソル
• スピノール

参考さんこう文献ぶんけん

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 
• Shankar, R. (1994). “chapter 14-Spin”. Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Springer. ISBN 0-306-44790-8