内接ないせつ球面きゅうめん

初等しょとう幾何きか学がくにおける凸とつ多面体ためんたいの内接ないせつ球面きゅうめん（ないせつきゅうめん、英えい: inscribed sphere, insphere; 内うち球面きゅうめん）は、その多面体ためんたいに含ふくまれる球面きゅうめんで、その多面体ためんたいの各面かくめんに接せっするものを言いう。これはその多面体ためんたいの内部ないぶに全まったく含ふくまれる最大さいだいの球面きゅうめんであり、またその多面体ためんたいの双対そうつい多面体ためんたいの外接がいせつ球面きゅうめんの双対そうついである。

多面体ためんたい P の内接ないせつ球面きゅうめんの半径はんけいを、P の内接ないせつ半径はんけい (inradius; 内うち半径はんけい）と呼よぶ。

注意ちゅうい

任意にんいの正せい多面体ためんたいは明あきらかに内接ないせつ球面きゅうめんを持もつが、ほとんどの非ひ正せい多面体ためんたいは全すべての面めんが接せっする一ひとつの球面きゅうめんというものを持もたない（それでもそれら図形ずけいに含ふくまれる最大さいだいの球面きゅうめんというものは定義ていぎできる）。そういった図形ずけいまでカバーするような「内接ないせつ球面きゅうめん」の概念がいねんははっきり定さだまったものが無ないように思おもわれ、以下いかに挙あげるような様々さまざまな「解釈かいしゃく」がある:

• （存在そんざいすれば）すべての面めんに接せっする球面きゅうめん
• （存在そんざいすれば）すべての面めんに（辺あたりでや頂点ちょうてんで、ではなく）面めんで接せっする球面きゅうめん
• （存在そんざいすれば）面めん集合しゅうごうの適当てきとうな部分ぶぶん集合しゅうごうに属ぞくするすべての面めんで接せっする球面きゅうめん
• その多面体ためんたいの内うちにきっちり収おさまる最大さいだいの球面きゅうめん

これらの球面きゅうめんは互たがいに一致いっちすることも多おおいが、一致いっちしないような多面体ためんたいに対たいしては内接ないせつ球面きゅうめんの定義ていぎ性質せいしつとは何なになのかを明確めいかくにしなければ混乱こんらんを招まねく。

例たとえば、正ただし小星こぼし型がた十じゅう二に面体めんていはすべての面めんに接せっする球面きゅうめんを持もち、なおかつそれより大おおきい球面きゅうめんでその多面体ためんたいの内うちにきっちり包含ほうがんされるものをも持もつが、どちらを内接ないせつ球面きゅうめんと理解りかいすべきであろうか。Coxeter (1973) や Cundy & Rollett (1961) のような重要じゅうような権威けんいは、十分じゅうぶん明確めいかくに、すべての面めんで接せっする球面きゅうめんを内接ないせつ球面きゅうめんとしており、その定義ていぎに従したがって任意にんいのアルキメデスの立体りったい（各面かくめんが正多角形せいたかっけいで頂点ちょうてんが合同ごうどう）が内接ないせつ球面きゅうめんを持もたないこと、およびその双対そうついである任意にんいのカタランの立体りったいが内接ないせつ球面きゅうめんを持もつことなどが意見いけんの一致いっちをみる。しかしそのような区別くべつに関かんして曖昧あいまいで、多面体ためんたいの「内接ないせつ球面きゅうめん」の定義ていぎとして違ちがう条件じょうけんを採用さいようする文献ぶんけんも少すくなくない。

関連かんれん項目こうもく

• 外接がいせつ球面きゅうめん
• 内うち点てん球面きゅうめん
• 内接ないせつ円えん

参考さんこう文献ぶんけん

• Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3rd ed.), Dover 
• Cundy, H.M.; Rollett, A.P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), OUP 

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Insphere". mathworld.wolfram.com (英語えいご).