半はん素もと環たまき

数学すうがくの一いち分野ぶんやである環たまき論ろんにおいて、半はん素もとイデアルと半はん素もと環たまきは素すイデアルと素す環たまきの一般いっぱん化かである。可か換かわ環たまき論ろんにおいては、半はん素もとイデアルは根基こんきイデアルとも呼よばれる。

例たとえば、有理ゆうり整数せいすう環たまきにおいて、半はん素もとイデアルは、零れいイデアルと、n を square-free な整数せいすうとして $n\mathbb {Z}$ の形かたちのイデアルである。したがって、 $30\mathbb {Z}$ は有理ゆうり整数せいすう環たまきの半はん素もとイデアルだが $12\mathbb {Z} \,$ は半はん素もとイデアルでない。

半はん素もと環たまきのクラスは半はん原始げんし環たまき、素す環たまき、被ひ約やく環たまきを含ふくむ。

この記事きじにおける多おおくの定義ていぎや主張しゅちょうは(Lam 1999)と(Lam 2001)にある。

定義ていぎ

可か換かわ環たまき R において、真しんのイデアル A が半はん素もとイデアルであるとは A が次つぎの同値どうちな条件じょうけんの一方いっぽうを満みたすことである。

ある正せい整数せいすう k と R のある元もと x に対たいして x^k が A の元もとであれば x は A の元もとである。
y が R の元もとだが A の元もとでないならば、y のすべての正せいの整数せいすう乗じょうは A の元もとでない。

補ほ集合しゅうごうが「ベキについて閉とじている」という後者こうしゃの条件じょうけんは素もとイデアルの補ほ集合しゅうごうが積せきについて閉とじているという事実じじつの類似るいじである。

素すイデアルと同様どうよう、これは非ひ可か換かわ環たまきに"ideal-wise"に延長えんちょうされる。次つぎの条件じょうけんは環たまき R のイデアル A が半はん素もとであるための同値どうちな定義ていぎである。

R の任意にんいのイデアル J について、ある正せいの整数せいすう k で J^k⊆A であれば、J⊆A である。
R の任意にんいの右みぎイデアル J について、ある正せいの整数せいすう k で J^k⊆A であれば、J⊆A である。
R の任意にんいの左ひだりイデアル J について、ある正せいの整数せいすう k で J^k⊆A であれば、J⊆A である。
R の任意にんいの元もと x について、xRx⊆A であれば、x は A の元もとである。

ここで再ふたたび、m-systemsの補ほ集合しゅうごうとしての素すイデアルの非ひ可か換かわの類似るいじ物ぶつがある。環たまき R の空そらでない部分ぶぶん集合しゅうごう S は任意にんいの s ∈ S に対たいしてある r ∈ R が存在そんざいして srs ∈ S となるとき、n-system と呼よばれる。この概念がいねんにより、上記じょうきのリストに同値どうちな点てんを追加ついかできる。

$R\setminus A$ は n-system である。

環たまき R は零れいイデアルが半はん素もとイデアルのとき半はん素もと環たまきと呼よばれる。可か換かわな場合ばあいには、これは R が被ひ約やく環たまきであると言いっても同おなじである。なぜならば、R は0でないベキ零れい元げんをもたないからである。非ひ可か換かわな場合ばあいには、環たまきは0でないベキ零れい右みぎイデアルをもたないというだけである。したがって被ひ約やく環たまきが常つねに半はん素もと環たまきである一方いっぽう、逆ぎゃくは成なりたない^[1]。

半はん素もとイデアルの一般いっぱん的てきな性質せいしつ

まずはじめに、素すイデアルが半はん素もとイデアルであることと、可か換かわ環たまきでは半はん素もと準じゅん素もとイデアルが素すイデアルであることは明あきらかである。

素すイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんは必かならずしも素もとイデアルでないが、それは半はん素もとイデアルである。まもなく逆ぎゃくも正ただしいこと、任意にんいの半はん素もとイデアルは素もとイデアルの族ぞくの共通きょうつう部分ぶぶんであることが示しめされるだろう。

環たまき R の任意にんいのイデアル B に対たいして、次つぎの集合しゅうごうを作つくることができる。

{\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,

集合しゅうごう ${\sqrt {B}}$ は B の根基こんきの定義ていぎであり、明あきらかに B を含ふくむ半はん素もとイデアルである。実じつは B を含ふくむ最小さいしょうの半はん素もとイデアルである。上うえの包含ほうがん関係かんけいは一般いっぱんには真しんのものになるかもしれないが、可か換かわ環たまきにおいては等号とうごうが成なり立たつ。

この定義ていぎにより、イデアル A が半はん素もとであることと ${\sqrt {A}}=A$ であることは同値どうちである。この時点じてんで、任意にんいの半はん素もとイデアルが実じつは素すイデアルの族ぞくの共通きょうつう部分ぶぶんであることも明あきらかである。さらに、このことは任意にんいの2つの半はん素もとイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんがまた半はん素もとであることを示しめしている。

定義ていぎによって R が半はん素もとであることと ${\sqrt {\{0\}}}=\{0\}$ であること、つまり、すべての素すイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんが0であることは同値どうちである。このイデアル ${\sqrt {\{0\}}}$ は $Nil_{*}(R)\,$ とも書かかれ、R の Baer's lower nilradical または Baer-Mccoy radical または prime radical とも呼よばれる。

半はん素もとゴールディー環たまき

詳細しょうさいは「ゴールディー環たまき（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

脚注きゃくちゅう

^ 体からだ上じょうの2次じ全ぜん行列ぎょうれつ環たまきは0でないベキ零れい元げんをもつ半はん素もと環たまきである。

参考さんこう文献ぶんけん

Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR1653294

Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR1838439

外部がいぶリンク

PlanetMath article on semiprime ideals

[1] 体からだ上じょうの2次じ全ぜん行列ぎょうれつ環たまきは0でないベキ零れい元げんをもつ半はん素もと環たまきである。

[1]