平方へいほう因子いんしをもたない整数せいすう

数学すうがくにおいて、無む平方へいほう数すう（むへいほうすう、英えい: square-free integer）または平方へいほう因子いんしを持もたない整数せいすう (integer without square factors) とは、平方へいほう因子いんしを持もたない数かず、すなわち 1 より大おおきい完全かんぜん平方へいほうで割わり切きれないような整数せいすう（通例つうれいとして正せいの整数せいすう）をいう。与あたえられた整数せいすうが無む平方へいほう数すうであるとき、その整数せいすうは無む平方へいほう (square-free, quadratfrei) であるともいう。例たとえば、10 は無む平方へいほうだが、18 は 9 = 3² で割わり切きれるので無む平方へいほう数すうでない。無む平方へいほうな正せい整数せいすうは小ちいさい順じゅんに

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A005117）

性質せいしつ

任意にんいの正せい整数せいすう n は、互たがいに素もとである多た冪べき数すう a と無む平方へいほう数すう b の積せきで一意的いちいてきに表あらわすことができる。実際じっさい

$n=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}$

と素因数そいんすう分解ぶんかいしたとき、b は $e_{i}=1$ となるような素数そすう $p_{i}$ すべての積せきである。

任意にんいの正せい整数せいすう n は、また正せい整数せいすう m と無む平方へいほう数すう k によって

$n=m^{2}k$

の形かたちに一意的いちいてきに表あらわせる。実際じっさい上記じょうきの素因数そいんすう分解ぶんかいに対たいして、$e_{i}=2f_{i}+r_{i}(r_{i}=0,1)$ とおくと

$m=\prod _{i}p_{i}^{f_{i}},k=\prod _{i}p_{i}^{r_{i}}$

である。つまり k は $e_{i}$ が奇数きすうとなるような素数そすう $p_{i}$ すべての積せき（下記かきの$\mathrm {core} _{2}$）である。

同値どうちな特徴とくちょうづけ

正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと、n の素因数そいんすう分解ぶんかいにおいてどの素数そすうも 1 回かいよりも多おおく現あらわれることがないことは同値どうちである。別べつのい方いかたをすれば、n の各かく素因数そいんすう p に対たいして、素数そすう p は  n / p を割わらない。また別べつのい方いかたをすれば、n が無む平方へいほうであることと、すべての分解ぶんかい n = ab に対たいして因数いんすう a と b が互たがいに素もとであることは同値どうちである。この定義ていぎから直ただちに、任意にんいの素数そすうは無む平方へいほうである。

正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと、μみゅー(n) ≠ 0 は同値どうちである。ただし μみゅー はメビウス関数かんすうを表あらわす。

正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと、 n を正せい整数せいすう m と無む平方へいほう数すう k によって

$n=m^{2}k$

の形かたちに表あらわしたとき $m=1$ となることは同値どうちである。このこととメビウス関数かんすうの性質せいしつから、正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと

$\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=1\cdots (*)$

は同値どうちである。この和わは $\sum _{d\mid m}\mu (d)$ に一致いっちするからである。

正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと、位い数すう n のすべてのアーベル群ぐんが同型どうけいであることは同値どうちであり、それらがすべて巡回じゅんかい群ぐんであることとも同値どうちである。このことは有限ゆうげん生成せいせいアーベル群ぐんの分類ぶんるいから従したがう。

正せい整数せいすう n が無む平方へいほうであることと、剰余じょうよ環たまき Z/nZ （合同ごうどう算術さんじゅつを参照さんしょう）が体からだの積せきであることは同値どうちである。このことは中国ちゅうごくの剰余じょうよ定理ていりと Z/kZ の形かたちの環たまきが体からだであることと k が素数そすうであることが同値どうちであることから従したがう。

すべての正せい整数せいすう n に対たいして、n のすべての正せいの約数やくすうからなる集合しゅうごうは、整除せいじょ性せいで順序じゅんじょを入いれることによって半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうになる。この半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうはつねに分配ぶんぱい束たばである。それがブール代数だいすうであることと n が無む平方へいほうであることは同値どうちである。

整数せいすうの根基こんきは常つねに無む平方へいほうである。整数せいすうが自身じしんの根基こんきに等ひとしければ無む平方へいほうである。

ディリクレ母はは関数かんすう

無む平方へいほう数すうのディリクレ母はは関数かんすうは

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}$

（ここで ζぜーた(s) はリーマンゼータ関数かんすう）で与あたえられる。このことはオイラー積つもる

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s})$

から容易よういに確たしかめられる。

分布ぶんぷ

Q(x) を x を超こえない無む平方へいほう数すうの個数こすうとする。大おおきい n に対たいして、n より小ちいさい正せいの整数せいすうの 3/4 は 4 で割わり切きれない、8/9 は 9 で割わり切きれない、など。これらの事象じしょうは独立どくりつであるから、次つぎの近似きんじを得える。

$Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}$

$Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}$

この議論ぎろんは厳密げんみつに行おこなうことができる。非常ひじょうに初等しょとう的てきな評価ひょうかによって

$Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)$

（円周えんしゅう率りつとランダウの記号きごうを参照さんしょう）が得えられる。というのは上記じょうきの特徴とくちょうづけ (*) から

$Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor$

となるが、最後さいごに現あらわれる和わの中なかの項こうは $d>{\sqrt {x}}$ のとき 0 になるから

$Q(x)=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor =\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {x\mu (d)}{d^{2}}}+O(\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}1)=x\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O({\sqrt {x}})=x\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>{\sqrt {x}}}{\frac {1}{d^{2}}}+{\sqrt {x}}\right)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O({\sqrt {x}}).$

となるからである。 Ivan Matveyevich Vinogradov、M.N. Korobov、Hans-Egon Richert によるリーマンゼータ関数かんすうの最大さいだいの知しられている零れい点てんのない領域りょういきを利用りようすることによって、誤差ごさ項こうの最大さいだいサイズは Arnold Walfiszによって減へらされていて、ある正せいの定数ていすう c に対たいして

$Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).$

である。リーマン予想よそうを仮定かていすれば誤差ごさ項こうはさらに減へらせて、

$Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54\,+\,\varepsilon }\right).$

n 以下いかの無む平方へいほう数すうの個数こすうと round(n/ζぜーた(2)) のレースを A158819 で参照さんしょう。

したがって無む平方へいほう数すうの漸近ぜんきん密度みつどあるいは自然しぜん密度みつどは

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}$

ただし ζぜーた はリーマンゼータ関数かんすうであり 1/ζぜーた(2) は約やく 0.6079 である（整数せいすうの 3/5 以上いじょうは無む平方へいほうである）。

同様どうように、Q(x,n) で 1 から x までの n-free な整数せいすう（例たとえば 3-free な整数せいすうとは無む立方りっぽう (cube-free) な整数せいすうのこと）の個数こすうを表あらわせば、以下いかを示しめすことができる。

$Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).$

4 の倍数ばいすうは平方へいほう因子いんし 4 = 2² をもつから、4 つ連続れんぞくする整数せいすうがすべて無む平方へいほうであることはありえない。一方いっぽう、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無む平方へいほうとなる n は無数むすうに存在そんざいする。というのは十分じゅうぶん大おおきな n に対たいして4n +1, 4n +2, 4n +3 の少すくなくとも 1 つが平方へいほう因子いんしをもつなら、4 の倍数ばいすうと合あわせて、平方へいほう因子いんしをもつ整数せいすうは整数せいすう全体ぜんたいの少すくなくともほぼ半数はんすうを占しめることになり、

$Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C$ （ C は定数ていすう）

となるが、これは上記じょうきの漸近ぜんきん密度みつどと矛盾むじゅんするからである。

また、平方へいほう因子いんしをもつ、任意にんいの長ながさの連続れんぞくした整数せいすうが存在そんざいする。というのは $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{l}$ を相あい異ことなる素数そすうとし n を連立れんりつ合同ごうどう式しき

$n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}}(i=1,2,\ldots ,l)$

の解かいとすると $n+i(i=1,2,\ldots ,l)$ はそれぞれ p_i ² で割わり切きれるからである。しかし、

$Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)$

よりある定数ていすう c に対たいして x と $x+c{\sqrt {x}}$ の間あいだには必かならず無む平方へいほう数すうが存在そんざいすることが分わかる。さらに、初等しょとう的てきな議論ぎろんによりある定数ていすう c に対たいして x と $x+cx^{1/5}\log x$ の間あいだには必かならず無む平方へいほう数すうが存在そんざいすることが知しられている。一方いっぽう、ABC予想よそうを仮定かていすれば任意にんいの εいぷしろん > 0 に対たいし、十分じゅうぶん大おおきな x と $x+x^{\epsilon }$ の間あいだには必かならず無む平方へいほう数すうが存在そんざいする。

二に進数しんすうとしてエンコード

無む平方へいほう数すうを無限むげん積せき

$\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ and }}p_{n}{\text{ is the }}n{\text{th prime}}.$

として表現ひょうげんすれば、それらの $a_{n}$ をとってそれらを二に進数しんすうのビットとして使つかうことができる。すなわち

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}$

例たとえば、無む平方へいほう数すう 42 は分解ぶんかい 2 × 3 × 7 をもち、無限むげん積せきとして表あらわすと 2¹ · 3¹  · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ · ...。したがって数すう 42 は二に進しん列れつ ...001011 あるいは十じゅう進しんで11としてエンコードできる（二に進数しんすうの桁けたは無限むげん積せきの順番じゅんばんから逆ぎゃくになっていることに注意ちゅうい）。

すべての数かずの素因数そいんすう分解ぶんかいは一意いちいなので、無む平方へいほう数すうのすべての二に進しんエンコーディングも一意いちいである。

逆ぎゃくもまた正ただしい。すべての正せいの整数せいすうは一意的いちいてきな二に進しん表現ひょうげんをもつので、このエンコーディングを逆ぎゃくにして一意的いちいてきな無む平方へいほう数すうにデコードすることができる。

再ふたたび例たとえば数すう 42 で、今回こんかいは単たんに正せいの整数せいすうとして、始はじめれば、その二に進しん表現ひょうげんは 101010 である。これをデコードすると2⁰ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273。

したがって無む平方へいほう数すうを順番じゅんばんにエンコードするとすべての整数せいすうの集合しゅうごうの置換ちかんになる。

OEIS の A019565, A048672, A064273 を参照さんしょう。

エルデシュの無む平方へいほう予想よそう

ポール・エルデシュは、中心ちゅうしん二に項こう係数けいすう

${2n \choose n}$

が n > 4 に対たいして無む平方へいほうでないと予想よそうした。このことは1985年ねんに András Sárközy によって十分じゅうぶん大おおきいすべての整数せいすうに対たいして証明しょうめいされ、1996年ねんにオリヴィエ・ラマレと Andrew Granville によってすべての整数せいすうに対たいして証明しょうめいされた。

無む平方へいほう核かく

乗法じょうほう的てき関数かんすう $\operatorname {core} _{t}(n)$ は、素数そすうの指数しすうを t を法ほうとして見みることによって、正せい整数せいすう n を t-free な数かずに写うつすことで定義ていぎされる。

$\operatorname {core} _{t}(p^{e})=p^{e{\bmod {t}}}.$

とくに、$\operatorname {core} _{2}$ の値域ちいきの集合しゅうごうは無む平方へいほう数すう全体ぜんたいである。それらのディリクレの生成せいせい関数かんすうは

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\operatorname {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}$

である。OEIS では例たとえば A007913 (t=2), A050985 (t=3), A053165 (t=4)。

参考さんこう文献ぶんけん

• ハーディG.H.; ライトE.M. 著ちょ、示野しめの信一しんいち, 矢神やがみ毅あつし 訳やく『数かず論ろん入門にゅうもん』PHP研究所けんきゅうじょ、2001年ねん。ISBN 9784431708483。 
• Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). “Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. Mathematika 43: 73–107. doi:10.1112/S0025579300011608. MR1401709. Zbl 0868.11009. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Squarefree". mathworld.wolfram.com (英語えいご).