階かい乗じょう進すすむ法ほう

組合くみあわせ数学すうがくにおいて、階かい乗じょう進すすむ法ほうとは順列じゅんれつを数かぞえ上あげるのに適てきする、複数ふくすうの底そこが混在こんざいした位取くらいどり記数きすう法ほうである。

定義ていぎ

階かい乗じょう進すすむ法ほうは複数ふくすうの底そこが混在こんざいした位取くらいどり記数きすう法ほうであり、下したからi桁けた目めの仮数かすうが0からi-1、底そこがiとなる。

桁けた	8	7	6	5	4	3	2	1
桁けたの重おもみ	7!	6!	5!	4!	3!	2!	1!	0!
桁けたの重おもみ(十進法じっしんほう)	5040	720	120	24	6	2	1	1
桁けたの仮数かすう	7	6	5	4	3	2	1	0

ただし、最下位さいかいは常つねに0となるため、省略しょうりゃくされることもある。また、下したから11桁けた目め以降いこうの桁けたには10以上いじょうの数かずが入はいるため、アルファベットが用もちいられる場合ばあいが多おおい。

以下いか、この記事きじ中ちゅうでは階かい乗じょう進すすむ法ほうで表記ひょうきされていることを表あらわすための添字そえじとして、"!"を用もちいることにする。

例たとえば、323100_!は、

323100_!

= 3×5! + 2×4! + 3×3! + 1×2! + 0×1! + 0×0! 

= ((((3×5 + 2)×4 + 3)×3 + 1)×2 + 0)×1 + 0

=  428₁₀

と変換へんかんすることができる。

異ことなる記数きすう法ほうへの変換へんかん方法ほうほうは階かい乗じょう進すすむ法ほうにおいても同様どうように適用てきようできる。例たとえば、428₁₀を階かい乗じょう進すすむ法ほうに変換へんかんするためには、以下いかのような操作そうさを行おこなえば良よい。

428 ÷ 1 = 428 あまり 0 428 ÷ 2 = 214 あまり 0 214 ÷ 3 = 71 あまり 1 71 ÷ 4 = 17 あまり 3 17 ÷ 5 = 3 あまり 2 3 ÷ 6 = 0 あまり 3

この計算けいさんによって出でたあまりを下したからたどって、428₁₀=323100_!

また、階かい乗じょう進すすむ法ほうによって任意にんいの整数せいすうを一意いちいの小数しょうすうとして表あらわせることは、以下いかの式しきから導みちびかれる。

$\sum _{i=0}^{n}{i\cdot i!}={(n+1)!}-1$

この恒等こうとう式しきは、数学すうがく的てき帰納きのう法ほうによって容易よういに証明しょうめいすることができる。

順列じゅんれつ

整数せいすうが階かい乗じょう進すすむ法ほうで表現ひょうげんされている場合ばあい、整数せいすう0,...,n!−1(または階かい乗じょう進すすむ法ほうでn桁けたの数かず)と辞書じしょ式しき順序じゅんじょでのn個この要素ようその順列じゅんれつの間あいだには自然しぜんな写像しゃぞうがあり、この写像しゃぞうはレーマー符号ふごうと呼よばれている。たとえば n=3 の場合ばあい、写像しゃぞうは以下いかの表ひょうの通とおりとなる

10進しん法ほう	階かい乗じょう進すすむ法ほう	順列じゅんれつ
010	0:0:0!	(0,1,2)
110	0:1:0!	(0,2,1)
210	1:0:0!	(1,0,2)
310	1:1:0!	(1,2,0)
410	2:0:0!	(2,0,1)
510	2:1:0!	(2,1,0)

小数しょうすう

この記数きすう法ほうの拡張かくちょうとして、小数しょうすうを表あらわすために小数しょうすう第だいn位くらいの重おもみを1/n!とする方法ほうほうがあり、これによって任意にんいの有理数ゆうりすうを有限ゆうげん小数しょうすうで表現ひょうげんできるという特徴とくちょうがある。この方法ほうほうで拡張かくちょうした場合ばあい、小数しょうすう第だい1位いは常つねに0となる。 以下いかに一部いちぶの変換へんかん表ひょうを示しめす。ただし、全すべて左辺さへんは十進法じっしんほうである。

$1/2=0.0\ 1_{!}$

$1/3=0.0\ 0\ 2_{!}$

$2/3=0.0\ 1\ 1_{!}$

$1/4=0.0\ 0\ 1\ 2_{!}$

$3/4=0.0\ 1\ 1\ 2_{!}$

$1/5=0.0\ 0\ 1\ 0\ 4_{!}$

$1/6=0.0\ 0\ 1_{!}$

$5/6=0.0\ 1\ 2_{!}$

$1/7=0.0\ 0\ 0\ 3\ 2\ 0\ 6_{!}$

$1/8=0.0\ 0\ 0\ 3_{!}$

$1/9=0.0\ 0\ 0\ 2\ 3\ 2_{!}$

$1/10=0.0\ 0\ 0\ 2\ 2_{!}$

$1/11\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2\ 0\ 5\ 3\ 1\ 4\ 0\ A_{!}$

$2/11\ \ =0.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 4\ 6\ 2\ 8\ 1\ 9_{!}$

$9/11\ \ =0.0\ 1\ 1\ 3\ 3\ 1\ 0\ 5\ 0\ 8\ 2_{!}$

$10/11=0.0\ 1\ 2\ 1\ 4\ 0\ 3\ 6\ 4\ 9\ 1_{!}$

$1/12\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2_{!}$

$5/12\ \ =0.0\ 0\ 2\ 2_{!}$

$7/12\ \ =0.0\ 1\ 0\ 2_{!}$

$11/12=0.0\ 1\ 2\ 2_{!}$

$1/15=0.0\ 0\ 0\ 1\ 3_{!}$

$1/16=0.0\ 0\ 0\ 1\ 2\ 3_{!}$

$1/18=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 4_{!}$

$1/20=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1_{!}$

$1/24=0.0\ 0\ 0\ 1_{!}$

$1/30=0.0\ 0\ 0\ 0\ 4_{!}$

$1/36=0.0\ 0\ 0\ 0\ 3\ 2_{!}$

$1/60=0.0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}$

$1/72=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1\ 4_{!}$

$1/120=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}$

$1/144=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 5_{!}$

$1/240=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 3_{!}$

$1/360=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}$

$1/720=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}$

一部いちぶの無理むり数すうは、階かい乗じょう進すすむ法ほうに変換へんかんしたときに特徴とくちょう的てきな小しょう数表示すうひょうじを持もつ。例たとえば以下いかのようなものである。

$e=1\ 0.0\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\cdots _{!}$

$e^{-1}=0.0\ 0\ 2\ 0\ 4\ 0\ 6\ 0\ 8\ 0\ A\ 0\ C\ 0\ E\cdots _{!}$

$\sin(1)=0.0\ 1\ 2\ 0\ 0\ 5\ 6\ 0\ 0\ 9\ A\ 0\ 0\ D\ E\cdots _{!}$

$\cos(1)=0.0\ 1\ 0\ 0\ 4\ 5\ 0\ 0\ 8\ 9\ 0\ 0\ C\ D\ 0\cdots _{!}$

$\sinh(1)=1.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\cdots _{!}$

$\cosh(1)=1.0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\cdots _{!}$

素数そすう階かい乗じょう進すすむ法ほう

階かい乗じょう進すすむ法ほうによく似にた位取くらいどり記数きすう法ほうとして、素数そすう階かい乗じょう進すすむ法ほうが存在そんざいする。これは下したからn桁けた目めの重おもみを$p_{n-1}\#$としたものである。

桁けた	8	7	6	5	4	3	2	1
桁けたの重おもみ	(p7=17)#	(p6=13)#	(p5=11)#	(p4=7)#	(p3=5)#	(p2=3)#	(p1=2)#	(p0=1)#
桁けたの重おもみ(十進法じっしんほう)	510510	30030	2310	210	30	6	2	1
桁けたの仮数かすう	18	16	12	10	6	4	2	1

この記数きすう法ほうの一意いちい性せいは以下いかの恒等こうとう式しきによって保証ほしょうされる。

$\sum _{i=0}^{n}(p_{i+1}-1)\cdot p_{i}\#=p_{n+1}\#-1$

ただし、$n\#$は素数そすう階かい乗じょうを表あらわす。

関連かんれん項目こうもく

• 複数ふくすうの底そこの混在こんざいする記数きすう法ほう
• 広義こうぎの記数きすう法ほう
• 位取くらいどり記数きすう法ほう