素数そすう階かい乗じょう

階かい乗じょう（黄色おうしょく）と素数そすう階かい乗じょう（赤あか）の値ねの推移すいい

素数そすう階かい乗じょう（そすうかいじょう、英えい: Primorial）とは、2 以上いじょうの自然しぜん数すうに対たいしてそれ以下いかの素数そすう全すべての総そう乗じょうのことである。自然しぜん数すう n の素数そすう階かい乗じょうは、記号きごうでは n# で表あらわす。

2# = 2

3# = 3 × 2 = 6

4# = 3# = 6

5# = 5 × 3# = 30

6# = 5# = 30

これらから分わかるように n# は、 n 以下いかの最大さいだいの素数そすうを p として、p# に等ひとしい。p に素数そすうの値ねを小ちいさい順じゅんに代入だいにゅうしていくことより、素数そすう階かい乗じょうの値ねは小ちいさい順じゅんに

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …

数学すうがく的てき性質せいしつ

• 5# 以上いじょうの素数そすう階かい乗数じょうすうは全すべて一いちの位くらいが 0 であり、十じゅうの位くらいは 1,3,7,9 のいずれかに限かぎられる。
• 素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめいに用もちいられることがある。

証明しょうめい：最大さいだいの素数そすうの存在そんざいを仮定かていし、それを p_max とおくと、p_max# + 1 は p_max 以下いかの素数そすうで割わり切きれない。仮定かていより p_max# + 1 未み満まんの素数そすうは以上いじょうで全すべてなので p_max# + 1 は 1 と自分じぶん自身じしん以外いがいの因数いんすうを持もたないことが言いえる。したがって p_max# + 1 は素数そすうでなければならないことになるが、これは p_max を最大さいだいの素数そすうとした仮定かていに反はんする。したがって最大さいだいの素数そすうは存在そんざいしない。（証明しょうめい終おわり）

実際じっさいには、素数そすう p に対たいする p# + 1 は素数そすうであることもあれば、合成ごうせい数すうであることもある。素数そすうである例れいとしては 11# + 1 = 2311 などが、合成ごうせい数すうである例れいとしては 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素す因子いんしは全すべて p よりも大おおきい。

• 全すべての高度こうど合成ごうせい数すうは素数そすう階かい乗数じょうすうの累乗るいじょう数すうの積せきで表あらわされる。

720 = 2² × 6¹ × 30¹

素数そすう階かい乗数じょうすうの一覧いちらん

素数そすう階かい乗数じょうすうの最初さいしょの1個いっこ〜10個こを下記かきする。

p₀₁# = 02# = 0000000000002

p₀₂# = 03# = 0000000000006

p₀₃# = 05# = 0000000000030

p₀₄# = 07# = 0000000000210

p₀₅# = 11# = 000000002 310

p₀₆# = 13# = 000000030 030

p₀₇# = 17# = 000000510 510

p₀₈# = 19# = 00009 699 690

p₀₉# = 23# = 00223 092 870

p₁₀# = 29# = 6 469 693 230

次つぎに11個いっこ〜20個こを下記かきする。

p₁₁# = 31# = 00000000000000000000200 560 490 130

p₁₂# = 37# = 0000000000000000007 420 738 134 810

p₁₃# = 41# = 0000000000000000304 250 263 527 210

p₁₄# = 43# = 000000000000013 082 761 331 670 030

p₁₅# = 47# = 000000000000614 889 782 588 491 410

p₁₆# = 53# = 00000000032 589 158 477 190 044 730

p₁₇# = 59# = 0000001 922 760 350 154 212 639 070

p₁₈# = 61# = 0000117 288 381 359 406 970 983 270

p₁₉# = 67# = 007 858 321 551 080 267 055 879 090

p₂₀# = 71# = 557 940 830 126 698 960 967 415 390

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