総そう乗じょう

総そう乗じょう（そうじょう）とは、積せきの定義ていぎされる集合しゅうごうにおける多項たこう演算えんざんの一ひとつで、元もとの列れつの全すべての積せきのことである。

定義ていぎ

結合けつごう律りつを満みたす積せき × の定義ていぎされる集合しゅうごう M の元もとの列れつ a₁, a₂, …, a_n の総そう乗じょうを

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}$

などと表あらわす。記号きごう ∏ はギリシャ文字もじのパイ (Pi) であり、これは積せき (Product、ギリシャ語ごでΠροϊόν) の頭文字かしらもじ P に相当そうとうする文字もじである。

有限ゆうげん集合しゅうごう E に対たいし、E の濃度のうどを n とする。このとき、E の元もとを I = {1, 2, …, n} で添そえ字じ付つけて、E の元もとの全体ぜんたいを「I を添そえ字じ集合しゅうごうとする元もとの列れつ (x_i)_i∈I 」とすることができる。この列れつの総そう乗じょうを

$\prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}$

などのように表あらわす。ここで、E の濃度のうどが 0、すなわち、添そえ字じ集合しゅうごう I が空そら集合しゅうごうであってもよい。特とくに、集合しゅうごう M が積せき × に関かんする単位たんい元もと 1_M を持もつとき、空そら集合しゅうごうを添そえ字じ集合しゅうごうとする列れつ（空そらな列れつ）の総そう乗じょうは 1_M であるとする。（空そら積せきも参照さんしょう）

$\prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}$

積せきが非ひ結合けつごう的てきな場合ばあい

積せきが結合けつごう的てきでないならば、積せきをとる順番じゅんばんが問題もんだいになるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号きごう自体じたいが意味いみを持もたないが、たとえば、部分ぶぶん列れつを用もちいて以下いかのように帰納的きのうてきに定義ていぎすることは可能かのうである。

• $p_{1}=a_{1},$
• $p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}$

このとき、$p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ と書かくことにすると、

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})$

の意味いみになる。このようなものはあまり応用おうようがない。

無限むげん乗じょう積せき

総和そうわと同様どうように、可算かさん無限むげん列れつ $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ の総そう乗じょう

$\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$

を定義ていぎすることができ、無限むげん積せきとか無限むげん乗じょう積せき (infinite product) と呼よばれる。これらは極限きょくげん操作そうさであり、総和そうわより微妙びみょうな意味いみで収束しゅうそく性せいを吟味ぎんみしなければならない。

定義ていぎ

実数じっすうや複素数ふくそすうからなる可算かさん列れつ $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ の無限むげん乗じょう積せきを定義ていぎする。無限むげん乗じょう積せき $\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が収束しゅうそくするとは2条件じょうけん

• ある番号ばんごう m から先さきでは常つねに x_n ≠ 0 (n > m)
• 部分ぶぶん積せき p_n := x_m+1 … x_n (n > m) がゼロでない値ね P_m に n → ∞ の極限きょくげんで収束しゅうそくする

が成なり立たつことをいう。無限むげん乗じょう積せき $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が収束しゅうそくするとき、その値ねを

$\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}$

と定さだめる。この値ねは番号ばんごう m の取とり方かたに依存いぞんしない。無限むげん乗じょう積せきが収束しゅうそくするならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成なり立たつ。

また数列すうれつ $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ に対たいして無限むげん乗じょう積せき $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )$ が収束しゅうそくするとき、無限むげん乗じょう積せき $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})$ は絶対ぜったい収束しゅうそくするという。無限むげん乗じょう積せき $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})$ が絶対ぜったい収束しゅうそくするのは無限むげん級数きゅうすう $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が絶対ぜったい収束しゅうそくするとき、かつそのときに限かぎる。

例れい

三角さんかく関数かんすうの無限むげん乗じょう積せき展開てんかい

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}$

$\sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}$

ウォリス積せき

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}$

オイラー乗じょう積せき

$\zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

ガンマ関数かんすう

${\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)$

($\gamma$はオイラーの定数ていすうである)。

qポッホハマー記号きごう 。

${\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}$

qガンマ関数かんすう

$\Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.$

行列ぎょうれつを使つかってqガンマ関数かんすうを定義ていぎすることもできる。

参考さんこう文献ぶんけん

• Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ 

関連かんれん項目こうもく

• 総和そうわ
• 因数いんすう定理ていり
• 階かい乗じょう
• 超ちょう階かい乗じょう