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面めん (幾何きか学がく)

出典しゅってん: フリー百科ひゃっか事典じてん『ウィキペディア（Wikipedia）』

初等しょとう幾何きか学がくにおける面めん（めん、英えい: face）は、立体りったい図形ずけいの境界きょうかいを成なす二に次元じげんの図形ずけいを言いう[1]。平坦へいたんな面めんによって完全かんぜんに囲かこまれた三さん次元じげん図形ずけいを多面体ためんたいと呼よぶ。

より一般いっぱんに、多面体ためんたいやより高こう次元じげんの超ちょう多面体ためんたいに関かんして、任意にんいの次元じげんの一般いっぱんの超ちょう多面体ためんたいの任意にんいの次元じげんの要素ようそを機械きかい的てきに表あらわす用語ようごとしても「面めん」が用もちいられる[2]

多角たかく形がた面めん

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初等しょとう幾何きか学がくにおける面めんは多面体ためんたいの境界きょうかいを成なす（中身なかみの詰つまった）多角たかく形がたを言いう[2][3]。別名べつめいとして、多面体ためんたい（またはそれ以外いがいの立体りったい）の側面そくめん (side) や平面へいめん充填じゅうてん（平面へいめん分割ぶんかつ）の充填じゅうてん多角たかく形がた (tile) などが挙あげられる。

例たとえば、立方体りっぽうたいを囲かこむ六むっつの正方形せいほうけいのどの一ひとつも、この立方体りっぽうたいの面めんである。場合ばあいによってはより広ひろく多た胞体（四次元よじげん超ちょう多面体ためんたい）の二に次元じげん要素ようそを表あらわすのに「面めん」が用もちいられる。この意味いみでは、例たとえば正せい八はち胞体は24個この正方形せいほうけい面めんを持もち、それは何いずれも八はち個この立方体りっぽうたい胞の何いずれか二ふたつの交面になっている。

シュレーフリ記号きごうに応おうじた正せい図形ずけいの例れいとその面めんの数かず
正せい多面体ためんたい 正ただし星ほし型がた多面体ためんたい 正多角形せいたかっけい充填じゅうてん（英語えいご版ばん） 正せい双そう曲きょく型がた充填じゅうてん 凸とつ正ただし多た胞体（英語えいご版ばん）
{4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3}

立方体りっぽうたいは各かく頂点ちょうてんに三みっつの正方形せいほうけい面めんが接続せつぞくする
小星こぼし型がた十じゅう二に面体めんていは各かく頂点ちょうてんに五いつつの五ご芒すすき星ぼし面めんが接続せつぞくする
ユークリッド平面へいめんの正方形せいほうけい充填じゅうてん（英語えいご版ばん）は各かく頂点ちょうてんに四よっつの正方形せいほうけい面めんが接続せつぞくする
五ご位い正方形せいほうけい充填じゅうてん（英語えいご版ばん）は各かく頂点ちょうてんに五いつつの正方形せいほうけい面めんが接続せつぞくする
正せい八はち胞体は各かく辺あたりに三みっつの正方形せいほうけい面めんが接続せつぞくする

何なんらかの図形ずけいの面めんとはなっていないほかの多角たかく形がたにも、多面体ためんたいや平面へいめん充填じゅうてんに対たいして重要じゅうようなものが存在そんざいする。そのようなものとして、ペトリー多角たかく形がた、頂点ちょうてん形状けいじょう（英語えいご版ばん）や琢みがく刻こく多角たかく形がた（英語えいご版ばん） (多面体ためんたいの同どう一いち面めん上じょうにない共とも面めん頂点ちょうてんによって形作かたちづくられる平面へいめん多角たかく形がた) などがある。

任意にんいの凸とつ多面体ためんたいの境界きょうかい面めんはオイラー標しるべ数すう を持もつ。ここに V は頂点ちょうてん数すう、E は辺あたり数すう、F は面めん数すうである。この等式とうしきはオイラーの多面体ためんたい公式こうしきと呼よばれる。したがって、面めんの数かずは頂点ちょうてん数すうから辺あたり数すうを引ひいたものより 2 だけ多おおい。例たとえば、立方体りっぽうたいは 8 頂点ちょうてん、12 辺へんを持もつから面めん数すうは 6 である。

その他たの面めん

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円柱えんちゅう、円錐えんすいなど多面体ためんたい以外いがいの立体りったい図形ずけいは平坦へいたんでない面めんや多角たかく形がたでない面めん (surface) を持もち得える。そのようなものとして、底面ていめんまたは上面うわつら (base or top)、側面そくめん（英語えいご版ばん） (lateral surface) などが挙あげられる。

高こう次元じげんの「面めん」

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n-次元じげん超ちょう多面体ためんたいの面めん
次元じげん 英語えいご 日本語にほんご
−1 ∅ (空そら集合しゅうごう)
0 vertex 頂点ちょうてん
1 edge 辺あたり
2 face 面めん
3 cell 胞
⋮ ⋮ ⋮
k k-face k-次元じげん面めん
⋮ ⋮ ⋮
n − 3 peak ピーク
n − 2 ridge リッジ
n − 1 facet ファセット
n body (全体ぜんたい)

高次こうじ元もと幾何きか学がくにおいて、超ちょう多面体ためんたいの面めんとは、その任意にんいの次元じげんの要素ようそを言いう[2][4][5]。k 次元じげんの面めんを k-次元じげん面めん (k-face) と呼よぶ。通常つうじょうの多面体ためんたいの多角たかく形がた面めんは、二に次元じげん面めんである。超ちょう多面体ためんたいの面めん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうには超ちょう多面体ためんたい自身じしんと空そら集合しゅうごうが含ふくまれ、一貫いっかん性せいのため空そら集合しゅうごうの「次元じげん」は −1 が与あたえられる。任意にんいの n-次元じげん超ちょう多面体ためんたいに対たいし、その面めん集合しゅうごうは −1 ≤ k ≤ n なる任意にんいの k に対たいする k-次元じげん面めんのすべてからなる。

この意味いみで例たとえば、立方体りっぽうたいの面めん集合しゅうごうは、空そら集合しゅうごう、頂点ちょうてん (零れい次元じげん面めん)、辺あたり (一いち次元じげん面めん)、正方形せいほうけい面めん (二に次元じげん面めん) と立方体りっぽうたい自身じしん (三さん次元じげん面めん) からなる。

四よん次元じげんの多た胞体の面めんは以下いかのように分類ぶんるいできる:

多面体ためんたい的てき組合くみあわせ論ろん（英語えいご版ばん）のような一部いちぶの分野ぶんやでは、超ちょう多面体ためんたい（ポリトープ）は定義ていぎにより凸とつである。この場合ばあいは厳密げんみつに、ポリトープ P の面めんとは P と 任意にんいの閉半空間くうかん（英語えいご版ばん）でその境界きょうかいが P の内部ないぶと交まじわらないものとの交まじわりを言いう[注釈ちゅうしゃく 1]。この定義ていぎから、ポリトープの面めん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうがポリトープ自身じしんと空そら集合しゅうごうを持もつことが従したがう[4][5]。

抽象ちゅうしょう超ちょう多面体ためんたい（英語えいご版ばん）論ろんや星ほし型がた超ちょう多面体ためんたい（英語えいご版ばん）論ろんなどほかの分野ぶんやでは、超ちょう多面体ためんたいの凸とつ性せいは前提ぜんていとしない。抽象ちゅうしょう論ろんにおいてもやはり、面めん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうには超ちょう多面体ためんたい自身じしんと空そら集合しゅうごうを含ふくめる。

胞あるいは三さん次元じげん面めん

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→詳細しょうさいは「胞 (幾何きか学がく)（wikidata）」を参照さんしょう

四よん次元じげんの多た胞体、三さん次元じげんの空間くうかん充填じゅうてん（ハニカム）あるいはそれらの高こう次元じげん版ばんにおいて、その三さん次元じげん面めんとなる多面体ためんたい要素ようそを胞（ほう、英えい: cell; 胞体）と呼よぶ。特とくに多た胞体および空間くうかん充填じゅうてんのファセット（英語えいご版ばん）は胞になる。

シュレーフリ記号きごうに応おうじた正せい図形ずけいの例れいとその胞の数かず
多た胞体 ハニカム
{4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4}

正せい八はち胞体は各かく辺あたりに三みっつの立方体りっぽうたい胞が接続せつぞくする
正せい百ひゃく二に十じゅう胞体は各かく辺あたりに三みっつの十じゅう二に面体めんてい胞が接続せつぞくする
立方体りっぽうたい空間くうかん充填じゅうてん（英語えいご版ばん）（三さん次元じげんユークリッド空間くうかんを埋うめ尽つくす立方体りっぽうたい分割ぶんかつ）は各かく辺あたりに四よっつの立方体りっぽうたい胞が接続せつぞくする。
四よん位い十じゅう二に面体めんてい空間くうかん充填じゅうてん（英語えいご版ばん）（三さん次元じげん双そう曲きょく空間くうかんを埋うめ尽つくす十じゅう二に面体めんてい分割ぶんかつ）は各かく辺あたりに四よっつの正せい十じゅう二に面体めんてい胞が接続せつぞくする

ファセット

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→詳細しょうさいは「ファセット (幾何きか学がく)（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

高こう次元じげんの超ちょう多面体ためんたいまたは超ちょう空間くうかん充填じゅうてんに対たいして、その余よ次元じげん 1 の面めんをファセット (facet) と呼よぶ。すなわち、n-次元じげん多面体ためんたいのファセットは、その (n - 1)-次元じげん面めんを言いう[6]。任意にんいの超ちょう多面体ためんたいはそのファセットによって囲かこまれる。

例たとえば:

リッジ

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→詳細しょうさいは「リッジ (幾何きか学がく)（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

超ちょう多面体ためんたいおよび超ちょう空間くうかん充填じゅうてんの余よ次元じげん 2 の面めんは、リッジ（稜りょう、ridge）または劣れつファセット (subfacet) という[7]。すなわち n-次元じげん多面体ためんたいのリッジは、その (n - 2)-次元じげん面めんを言いう。超ちょう多面体ためんたいまたは超ちょう空間くうかん充填じゅうてんのリッジは、ちょうど二ふたつのファセットに含ふくまれる面めんになる。

例たとえば:

  • 多角たかく形がたまたは直線ちょくせん充填じゅうてんのリッジは、その零れい次元じげん面めんである頂点ちょうてんを言いう。
  • 多面体ためんたいまたは一いち様よう平面へいめん充填じゅうてんのリッジは、その一いち次元じげん面めんである辺あたりを言いう。
  • 多た胞体または凸とつ一いち様よう空間くうかん充填じゅうてんのリッジは、その二に次元じげん面めんである面めんを言いう。
  • 五ご次元じげん超ちょう多面体ためんたいまたは四よん次元じげんハニカムのリッジは、その三さん次元じげん面めんである胞を言いう。

ピーク

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→詳細しょうさいは「ピーク (幾何きか学がく)（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

超ちょう多面体ためんたいおよび超ちょう空間くうかん充填じゅうてんの余よ次元じげん 3 の面めんは、ピーク（鋒ほこさき、peak）と言いう。すなわち n-次元じげん多面体ためんたいのピークは、その (n - 3)-次元じげん面めんを言いう。正せい超ちょう多面体ためんたいまたは正せい超ちょう空間くうかん充填じゅうてんにおいて、ピークはファセットおよびリッジの回転かいてん軸じくを含ふくむ。

例たとえば:

  • 多面体ためんたいまたは一いち様よう平面へいめん充填じゅうてんのピークは、その零れい次元じげん面めんである頂点ちょうてんを言いう。
  • 多た胞体または凸とつ一いち様よう空間くうかん充填じゅうてんのピークは、その一いち次元じげん面めんである辺あたりを言いう。
  • 五ご次元じげん超ちょう多面体ためんたいまたは四よん次元じげんハニカムのピークは、その二に次元じげん面めんである面めんを言いう。

注ちゅう

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注釈ちゅうしゃく

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  1. ^ Matoušek (2002) および Ziegler (1995) はやや異ことなるが同値どうちな定義ていぎを採用さいようしている。それは P の内部ないぶと交まじわらない超ちょう平面へいめんまたは全ぜん空間くうかんと P との交まじわりを考かんがえるものである

出典しゅってん

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  1. ^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (11th ed.). Springfield, MA: Merriam-Webster. (2004) 
  2. ^ a b c Matoušek 2002, p. 86, 5.3 Faces of a Convex Polytope.
  3. ^ Cromwell 1999, p. 13.
  4. ^ a b Grünbaum 2003, p. 17.
  5. ^ a b Ziegler 1995, p. 51, Definition 2.1.
  6. ^ Matoušek 2002, p. 87; Grünbaum 2003, p. 27; Ziegler 1995, p. 17.
  7. ^ Matoušek 2002, p. 87; Ziegler 1995, p. 71.

参考さんこう文献ぶんけん

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外部がいぶリンク

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  • Weisstein, Eric W. "Face". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
  • Weisstein, Eric W. "Facet". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
  • Weisstein, Eric W. "Side". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
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