Arithmetica Universalis

Arithmetica Universalis の標題ひょうだい紙し。1707年ねん出版しゅっぱん。

ラフソンによる英語えいご版ばん。1720年ねん出版しゅっぱん。

Arithmetica Universalis（英えい: Universal Arithmetic, 普遍ふへん算術さんじゅつ、ふへんさんじゅつ）はアイザック・ニュートンによる数学すうがく書しょ。原文げんぶんはニュートンの講義こうぎノートを基もとにラテン語らてんごで書かかれ、ニュートンのケンブリッジ大学けんぶりっじだいがくのルーカス教授きょうじゅ職しょくの後任こうにんであるウィリアム・ホイストンによって編集へんしゅう、1707年ねんに初版しょはんが出版しゅっぱんされた。

ジョゼフ・ラフソンによる英訳えいやく版ばんは1720年ねんに、Universal Arithmetick として出版しゅっぱんされた。また、ラテン語らてんご第だい二に版はんはジョン・マチンによって1722年ねんに出版しゅっぱんされている。

ニュートン自身じしんは Arithmetica の出版しゅっぱんに不満ふまんを持もっており、彼かれの名前なまえが記しるされることを頑かたくなに拒否きょひしたため、これらの版はんのいずれもニュートンの名なは著者ちょしゃとして記しるされていない。 実際じっさい、ホイストンによる初版しょはんが出版しゅっぱんされたときニュートンは非常ひじょうに狼狽ろうばいし、刊行かんこうされたものすべてを買かい占しめ、処分しょぶんすることを考かんがえたという。

Arithmetica には代数だいすうにおける記法きほう、算術さんじゅつ、幾何きか学がくと代数だいすう学がくの関係かんけい、方程式ほうていしきの解かいについてが記しるされている。ニュートンはデカルトの符号ふごう法則ほうそくを複素数ふくそすう根ねについて適用てきようし、代数だいすう方程式ほうていしきの複素数ふくそすう根ねの個数こすうが符号ふごう律りつから決きまることを、証明しょうめいなしに要請ようせいしている。150年間ねんかん、このニュートンの方法ほうほうに厳密げんみつな証明しょうめいが与あたえられることはなかった（ジェームス・ジョセフ・シルベスターによる証明しょうめいは1865年ねん。On the real and imaginary roots of algebraical equations: A Trilogy のことか）。

代数だいすう方程式ほうていしきの解かいについて

以下いかに複素数ふくそすう根ねの個数こすうについて該当がいとうする記述きじゅつを引用いんようする。

 CXIX. Where there are none of the Roots of the Equation impossible, the Number of the affirmative and negative Roots may be known from the Signs of the Terms of the Equation. For there are so many affirmative Roots, as there are Changes of the Signs in continual Series from + to −, and from − to +; the rest are negative.  As in the Equation x⁴ − x³ − 19xx + 49x − 30 = 0, where the Signs of the Terms follow one another in this Order, + − − + −, the Variations of the second $-$ from the first $+$, of the fourth $+$ from the third $-$, and of the fifth $-$ from the fourth $+$ , shew, that there are three affirmative Roots, and consequently, that the fourth is a negative one. But where some of the Roots are impossible, the Rule is of no Force; unless as far as those impossible Roots, which are neither negative nor affirmative, may be taken for ambiguous ones. Thus in the Equation x³ + pxx + 3ppx − q = 0; the Signs shew that there is one affirmative Root and two negative ones. Suppose x = 2p, or x − 2p = 0; and multiply the former Equation by this, x − 2p = 0, that one affirmative Root more may be added to former; and you will have this Equation,

$$x^{4}-px^{3}+ppxx\left.{\begin{array}{l}-6p^{3}\\-q\end{array}}\right.x+2pq=0,$$

which ought to have two affirmative and two negative Roots; yet it has, if you regard the Change of the Signs, four affirmative ones. There are therefore two impossible ones, which, for their Ambiguity, in the former Case seem to be negative ones; in the latter, affirmative ones.  But you may know almost, by this Rule, how many Roots are impossible.

— Sir Isaac Newton, Theaker Wilder、 Universal Arithmetick, Of the Nature of the Roots of Equations, 1769.

この部分ぶぶんを日本語にほんご訳やくすると以下いかのようになる。

　百ひゃく十じゅう九きゅう. 方程式ほうていしきが不可能ふかのうな根ね (複素数ふくそすう根ね, impossible Roots) を持もたなければ、正せいの根ね (affirmative Roots) と負まけの根ねの個数こすうはその方程式ほうていしきの各項かくこうの符号ふごうから分わかるだろう。正せいの根ねは、符号ふごうの列れつが + から −、または − から + へ変化へんかする数かずだけあり、残のこりは負まけの根ねである。 方程式ほうていしき x⁴ − x³ − 19x² + 49x − 30 = 0 について、各項かくこうに対たいする符号ふごうを + − − + − というように並ならべると、符号ふごうの変化へんかは一いち番目ばんめ + から二に番目ばんめ −、三さん番目ばんめ − から四よん番目ばんめ +、四よん番目ばんめ + から五ご番目ばんめ − にあり、すなわち正せいの根ねが 3 つあり、従したがって 4 つ目めの根ねは負まけである。しかし方程式ほうていしきが不可能ふかのうな根ねを持もつ場合ばあいには、それらの不可能ふかのうな根ねが、正せいでも負まけでもなく曖昧あいまいなもの (ambiguous ones) となり得える限かぎりは、この規則きそくは力ちからを持もたない。例たとえば、方程式ほうていしき x³ + px² + 3p²x − q = 0 は、符号ふごうより 1 つの正せいの根ねと 2 つの負まけの根ねを持もつ。ここで x = 2p、あるいは x − 2p = 0、として先さきの方程式ほうていしきに掛かけると、方程式ほうていしきの正せいの根ねは 1 つ増ふえ、次つぎの方程式ほうていしきが得えられる。

$$x^{4}-px^{3}+p^{2}x^{2}-\left(6p^{3}+q\right)x+2pq=0,$$

この方程式ほうていしきは 2 つの正せいの根ねと 2 つの負まけの根ねを持もたなくてはならないが、符号ふごうの変化へんかから判断はんだんするには、4 つの正せいの根ねを持もつことになる。従したがって、符号ふごうの曖昧あいまいさから、2 つの不可能ふかのうな根ねがあって、それらは初はじめの方程式ほうていしきにおいては負まけであり、後ごの方程式ほうていしきでは正せいである。 しかし、この規則きそくから、いくつの根ねが不可能ふかのうであるかをまったく知しることができるだろう。

ニュートン算さん

ニュートン算さん (Newton's pasturage problem) と呼よばれる算術さんじゅつ問題もんだいは、Arithmetica に収録しゅうろくされている問題もんだいに由来ゆらいする。 問題もんだい文ぶんは次つぎの通とおりである。

原文げんぶん (英語えいご) :

 PROBLEM XI. If the Number of Oxen a eat up the Meadow b in the Time c; and the Number of Oxen d eat up as good a Piece of Pasture e in the Time f, and the Grass grows uniformly; to find how many Oxen will eat up the like Pasture g in the Time h.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語にほんご訳やく :

　問とい十じゅう一いち. a 頭あたまの牛うしは b の牧草ぼくそう地ちを c の時間じかんのうちに食たべ尽つくし、d 頭あたまの牛うしは e の牧草ぼくそう地ちを f の時間じかんのうちに食たべ尽つくす。また牧草ぼくそうは一様いちように育そだつものとする。牛うしが g の牧草ぼくそう地ちを h の時間じかんのうちに食たべ尽つくすには何頭なんとういればよいか求もとめよ。

この直後ちょくごには、ニュートンによる問題もんだいの解説かいせつと例題れいだいが書かかれている。内容ないようは次つぎの通とおりである。

解説かいせつ文ぶん原文げんぶん (英語えいご) :

 If the Oxen a in the Time c eat up the Pasture b; then by Proportion, the Oxen e/ba in the same Time c, or the Oxen ec/bfa in the Time f, or the Oxen ec/bha in the Time h will eat up the Pasture e; supposing the Grass did not grow [at all] after the Time c. But since, by reason of the Growth of the Grass, all the Oxen d in the Time f can eat up only the Meadow e, wherefore that Growth of the Grass in the Meadow e, in the Time f − c, will be so much as alone would be. sufficient to feed the Oxen d − eca/bf the Time f, that is as much as would suffice to feed the Oxen df/b − eca/bh in the Time h. And in the Time h − c, by Proportion, so much would be the Growth of the Grass as would be sufficient to feed the Oxen h − c/f − c into df/h − eca/bh or bdfh − ecah − bdcf + aecc/bfh − bch. Add this Increment to the Oxen aec/bh, and there will come out bdfh − ecah − bdcf + ecfa/bfh − bch, the Number of Oxen which the Pasture e will suffice to feed in the Time h. And so by [in] Proportion the Meadow g will suffice to feed the Oxen gbdfh − ecagh − bdcgf + ecfga/befh − bceh during the same Time h.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語にほんご訳やく :

　a 頭あたまの牛うしが c の時間じかんのうちに b の牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすなら、それぞれの数かずの比ひから、牧草ぼくそうが時間じかん c の後のちには少すこしも成長せいちょうしないとして、e/ba 頭あたまの牛うしは同おなじく c の時間じかんのうちに、ec/bfa 頭あたまの牛うしは f の時間じかんのうちに、また ec/bha 頭あたまの牛うしは h の時間じかんのうちに、e の牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすだろう。しかし牧草ぼくそうが育そだつことによって、d 頭あたまの牛うしだけが f の時間じかんのうちに e の牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすことができて、e の牧草ぼくそう地ちの牧草ぼくそうが、時間じかん f − c の間あいだに育そだつことにより、d − eca/bf 頭あたまの牛うしが f の時間じかんのうちに食たべ尽つくせる分ぶんだけが育そだち、それは df/b − eca/bh 頭あたまの牛うしが h の時間じかんのうちに食たべ尽つくせるだけと同おなじ量りょうである。更さらに比ひの関係かんけいから、h − c の時間じかんに df/h − eca/bh 割わる b − c/f − c つまり bdfh − ecah − bdcf + ecfa/bfh − bch 頭あたまの牛うしが食たべ尽つくせるだけの牧草ぼくそうが育そだつ。この増加ぞうか分ぶんを aec/bh 頭あたまの牛うしに加くわえると、bdfh − ecah − bdcf + ecfa/bfh − bch が e の牧草ぼくそう地ちを h の時間じかんのうちに食たべ尽つくす牛うしの頭数とうすうである。 そして比ひから g の牧草ぼくそう地ちを同おなじ時間じかん h の間あいだに食たべ尽つくす牛うしの数かずは gbdfh − ecagh − bdcgf + ecfga/befh − bceh であることが求もとまる。

例題れいだい原文げんぶん (英語えいご版ばん) :

EXAMPLE. If 12 Oxen eat up 3+1/3 Acres of Pasture in 4 Weeks, and 21 Oxen eat up 10 Acres of like Pasture in 9 Weeks; to find how many Oxen will eat up 36 Acres in 18 Weeks? Answer 36; for that Number will be found substituting in bdfgh − ecagh − bdcgf + ecfga/befh − bceh the Numbers 12, 3+1/3, 4, 21, 10, 9, 36, and 18 for the Letters a, b, c, d, e, f, g, and h respectively; but the Solution, perhaps, will be no less expedite, if it be brought out from the first Principles, in Form of the precedent literal Solution. As if 12 Oxen in 4 Weeks eat up 3+1/3 Acres, then by Proportion 36 Oxen in 4 Weeks, or 16 Oxen in 9 Weeks, or 8 Oxen in 18 Weeks, will eat up 10 Acres, on Supposition that the Grass did not grow. But since by reason of the Growth of the Grass 21 Oxen in 9 Weeks can eat up only 10 Acres, that Growth of the Grass in 10 Acres for the last 5 Weeks will be as much as would be sufficient to feed 5 Oxen, that is the Excess of 21 above 16 for 9 Weeks, or, what is the same Thing, to feed 5/2 Oxen for 18 Weeks. And in 14 Weeks (the Excess of 18 above the first 4) the Increase of the Grass, by Analogy, will be such, as to be sufficent to feed 7 Oxen for 18 Weeks: Add these 7 Oxen, which the Growth of the Grass alone would suffice to feed, to the 8, which the Grass without Growth after 4 Weeks would feed, and the Sum will be 15 Oxen. And, lastly, if 10 Acres suffice to feed 15 Oxen for 18 Weeks, then, in Proportion, 24 Acres would suffice 36 Oxen for the same Time.

— Sir Isaac Newton, Edmond Halley、 Universal Arithmetick, How a Question may be brought to an Æquation, 1720.

日本語にほんご訳やく :

例題れいだい. 12 頭あたまの牛うしは 3 と 1/3 エーカーの牧草ぼくそう地ちを 4 週間しゅうかんで食たべ尽つくし、21 頭あたまの牛うしは 10 エーカーの牧草ぼくそう地ちを 9 週間しゅうかんで食たべ尽つくすとする。36 エーカーの牧草ぼくそう地ちを 18 週間しゅうかんで食たべ尽つくす牛うしの頭数とうすうはいくらか。 　答こたえ 36 頭あたま。求もとめる数かずは bdfgh − ecagh − bdcgf + ecfga/befh − bceh の a, b, c, d, e, f, g, h をそれぞれ 12, 3+1/3, 4, 21, 10, 9, 36, 18 に置おき換かえることで得えられるだろうが、しかし、前述ぜんじゅつの文字もじ式しきの解かいを求もとめるのとおそらくは同様どうようの手間てまで、第だい一いち原理げんりから解かいを導みちびくこともできるだろう。12 頭あたまの牛うしが 4 週間しゅうかんで 3 と 1/3 エーカーの牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすなら、牧草ぼくそうが育そだたないことを仮定かていすれば、数かずの比ひから 36 頭あたまの牛うしが 4 週間しゅうかんで、16 頭あたまの牛うしが 9 週間しゅうかんで、8 頭あたまの牛うしが 18 週間しゅうかんで、10 エーカーの牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすことになる。しかし牧草ぼくそうが育そだつことにより、21 頭あたまの牛うしだけが 9 週間しゅうかんで 10 エーカーの牧草ぼくそう地ちを食たべ尽つくすことができ、5 週間しゅうかんで 10 エーカーの牧草ぼくそう地ちに育そだつ牧草ぼくそうは 5 頭あたまの牛うしが食たべ尽つくす分ぶん、つまり 21 頭あたまの内うちの 16 頭あたまが 9 週間しゅうかんに食たべる分ぶんを除のぞいた余あまりと同おなじだけあり、また同おなじことだが、5/2 頭あたまの牛うしが 18 週間しゅうかんで食たべる分ぶんと同おなじである。更さらに 14 週間しゅうかん（18 週間しゅうかんから初はじめの 4 週間しゅうかんを除のぞいた余あまり）に増ふえる牧草ぼくそうの量りょうは、7 頭あたまの牛うしが 18 週間しゅうかんに食たべるだけと同おなじであることも推察すいさつできる。7 頭あたまの牛うしは牧草ぼくそうの育そだった分ぶんだけを食たべ、8 頭あたまの牛うしが 4 週間しゅうかん以降いこうに育そだった牧草ぼくそう以外いがいを食たべ、これらを合あわせると牛うしの頭数とうすうは 15 になる。そして最後さいごに、10 エーカーの牧草ぼくそう地ちを 15 頭あたまの牛うしが 18 週間しゅうかんで食たべ尽つくすなら、比ひによって、24 エーカーの牧草ぼくそう地ちを 36 頭あたまの牛うしは同おなじ時間じかんで食たべ尽つくすことが分わかる。

1769年ねん英語えいご版ばんの目次もくじ

[表題ひょうだい] - [節ふし番号ばんごう(Article Numb.)]

• Part I
  • Notation (記法きほう) - I.
  • Addition (加法かほう) - XVIII.
  • Subtraction (減法げんぽう) - XXV.
  • Multiplication (乗法じょうほう) - XXVIII.
  • Division (除法じょほう) - XXXIV.
  • Extraction of Roots (開ひらき法ほう) - XLI.
  • Reduction of Fractions (約分やくぶん) - XLVIII.
  • Invention of Divisors (約数やくすう) - XLIX.
  • Reduction of Fractions to a common Denominator (通分つうぶん) - LIX.
  • Reduction of Radical Quantities (冪べき根ねの簡約かんやく化か) - LX.
    • to their least Terms - LX.
    • to the same Denominator - LXI.
    • to more simple Radicals, by the Extraction of Roots - LXII.
  • Forms of Equations - LXV.
  • Reduction of Final Equations - LXVII.
    • ordering a Single or Final Equation - LXVII.
  • Reduction of Medial Equations - LXXV.
    • Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV.
    • Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI.
    • Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII.
    • Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII.
    • Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI.
  • Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII.
    • How a Question may be brought to an Equation - LXXXII.
      • 16 Problems
  • Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII.
    • How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII.
      • 61 Problems
• Part II
  • Nature of the Roots of Equations - CX.
  • Transmutations of Equations - CXXIII.
  • Limits of the Roots of Equations - CXXXII.
  • Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL.
• Appendix
  • Linear Construction of Equations
  • Roots of Numeral Equations by their Limits (by Colin Maclaurin)
  • Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations (by Colin Maclaurin)
  • Measures of Ratios (by James Maguire)

参考さんこう文献ぶんけん

• Universal arithmetick from Open Library, published 1769
• The Arithmetica Universalis from the Grace K. Babson Collection, including links to PDFs of English and Latin versions of the Arithmetica
• Centre College Library information on Newton's works
• J. J. Sylvester, On the real and imaginary roots of algebraical equations, 1865, from Goettinger Digitalisierungszentrum (GDZ)

関連かんれん項目こうもく

• アイザック・ニュートン
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