Rørslelikningane

Rørslelikningane er likningar som skildrar korleis eit system endrar seg (t.d. rørsla til ein partikkel som vert utsett for ei kraft) som funksjon av tida. Stundom omhandlar likningane differensiallikningane som systemet oppfyller (t.d. Newton sine rørslelover eller Euler-Lagrangelikningane), og stundom løysingane til desse likningane.

Likningane for ein lekam som flyttar seg lineært (altså i ein dimensjon) med jamn akselerasjon er vist under.

Lineære rørslelikningar

Ein ser på ein lekam i to tidspunkt, starttidspunktet og det aktuelle tidspunktet. Stundom kan ei problemstilling utgjere fleire tidspunkt, som krev fleire likningar.

$v_{f}=v_{i}+a\Delta t\,$ $s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{i}+v_{f})\Delta t$ $s=v_{i}\Delta t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}$ $v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2as\,$ $s=v_{f}\Delta t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}$

der $v_{i}\,$ er lekamen sin fart i starttidspunktet og den noverande tilstanden er skildra ved: $s\,$, avstanden frå startpunktet. $v_{f}\,$, den noverande farten $\Delta t\,$, tida mellom starttidspunktet og den noverande tilstanden. $a$ er den konstante akselerasjonen, eller tyngdeakselerasjonen for lekamar som fell mot bakken.

Merk at kvar av likningane inneheld fire av dei fem variablane. Altså treng ein berre vite tre av dei fem variablane for å rekne ut dei to andre.

Klassisk versjon

Likningane over vert ofte skrive på følgjande måte:

$v=u+at\,$

$s={\frac {1}{2}}(u+v)t$

$s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$

$v^{2}=u^{2}+2as\,$

$s=vt-{\frac {1}{2}}at^{2}$

der

s = er forflyttinga frå starttilstanden til sluttilstanden

u = farten i starttilstanden

v = farten i sluttilstanden

a = den konstante akselerasjonen

t = tida forflyttinga har tatt frå start- til sluttilstanden.

Døme

Mange døme i kinematikk involverer prosjektilar, til dømes ein ball som vert kasta opp i lufta.

Med ein fart i starttilstanden lik u, kan ein rekne ut kor høgt ballen vil gå før den byrjar å falle ned att.

Akselerasjonen er den normale tyngda g. Her må ein hugse at sjølv om desse storleikane ser ut til å vere skalarar, spelar retninga til forskyvinga, farten og akselerasjonen ei rolle, og ein kan sjå på desse som vektorar i ei spesifikk retning. Ein må altså velje kva retning ein skal måle storleikane i, for å kunne bruke likninga over. Ein kan velje å måle s opp frå bakken, akselerasjonen må faktisk vere −g sidan tyngdekrafta virkar nedover, og derfor òg akselerasjonen til ballen.

På det høgaste punktet vil ballen vere i ro, og derfor er v = 0. Ved å bruke den fjerde likninga har vi:

$s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}$

Ved å setje inn og oppheve minusteikna får vi:

$s={\frac {u^{2}}{2g}}$

Utviding

Meir komplekse versjonar av desse likningane kan innehalde ein storleik $\Delta$s for forskyvinga (s - s₀), s₀ for startposisjonen til lekamen, og v₀ for u for å ha konsistens.

$v=v_{0}+at\,$

$s=s_{0}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)t\,$

$s=s_{0}+v_{0}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{at^{2}}\,$

$(v)^{2}=(v_{0})^{2}+2a\Delta s\,$

$s=s_{0}+vt-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{at^{2}}\,$

Men ved at ein kan velje kor ein skal plassere den eindimensjonale aksen som lekamen flyttar seg på, vert desse meir kompliserte versjonane unødvendig.

Likningar for rotasjonsrørsle

Ein kan skrive om likningane over til å gjelde for ein rotasjon:

$\omega =\omega _{0}+\alpha t\,$

$\phi =\phi _{0}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\omega _{0}+\omega )t$

$\phi =\phi _{0}+\omega _{0}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha {t^{2}}\,$

$(\omega )^{2}=(\omega _{0})^{2}+2\alpha \Delta \phi \,$

$\phi =\phi _{0}+\omega t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha {t^{2}}\,$

der:

$\alpha$ er vinkelakselerasjon

$\omega$ er vinkelfart

$\phi$ er vinkelforskyving

$\omega _{0}$ er vinkelfarten i starttilstanden

$\phi _{0}$ er vinkelforskyvinga i starttilstanden

$\Delta \phi$ er endringa av vinkelforskyvinga ($\phi$ - $\phi _{0}$).

Utleiing

Rørslelikning 1

Ut frå definisjonen av akselerasjon:

$\ a={\frac {v-u}{t}}$

Derfor

$at=v-u\,$

$v=u+at\,$

Rørslelikning 2

Per definisjon

$midlafart={\frac {s}{t}}$

Så

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)={\frac {s}{t}}$

$s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)t$

Rørslelikning 3

Set inn Rørslelikning 1 i Rørslelikning 2

$s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+u+at)t$

$s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(2u+at)t$

$s=ut+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}at^{2}$

Rørslelikning 4

$t={\frac {v-u}{a}}$

Ved å bruke Rørslelikning 2 kan ein erstatte t i likninga over

$s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)({\frac {v-u}{a}})$

$2as=(u+v)(v-u)\,$

$2as=v^{2}-u^{2}\,$

$v^{2}=u^{2}+2as\,$

Rørslelikning 5

Ved å bruke Rørslelikning 1 til å erstatte u i Rørslelikning 3 får ein

$s=vt-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}at^{2}$

Sjå òg

• Skalar
• Vektor
• Snøggleik
• Akselerasjon
• Vinkelforskyving
• Vinkelfart
• Vinkelakselerasjon
• Trajektorie
• Newton sine rørslelover
• Torricelli si likning

Kjelde

• Fundamentals of Physics Robert Resnick, David Halliday, Jearl Walker
• en:Equation of motion