Całka Pettisa
Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalność w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną O funkcji mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru oraz wszelkich funkcjonałów istnieje taki element przestrzeni że
Punkt we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji na zbiorze względem miary i oznaczany symbolem
Każda funkcja całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego funkcja
jest mierzalna w ciele skalarów.
W przypadku, gdy jest przestrzenią Banacha, funkcja
jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji
W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.
Niech będzie przestrzenią Hilberta oraz będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja dana wzorem
jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast
Przykład funkcji niecałkowalnej
Funkcja dana wzorem
nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech oraz niech będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni ).
Gdyby istniała całka to
gdzie przyporządkowuje elementowi przestrzeni jego -ty wyraz.
Pettis Integral Property
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie miarą skończoną na przestrzeni Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność -PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i -p.w. słabo ograniczona jest całkowalna w sensie Pettisa względem W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność -PIP dla każdej miary skończonej
Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej gdzie oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności -PIP dla pewnej miary Baire’a na
- Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP[3].
- Jeżeli jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta[4]. Oznacza to, że istnieje miara o wartościach tylko 0 lub 1 dla której nie ma własności -PIP[5].
Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni wszystkich funkcji (klas równoważności -p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa funkcjonał określony wzorem
jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli to
W przypadku, gdy jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą[6] (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ G.A. Edgar, Measurability in a Banach space I, Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), s. 663–667.
- ↑ G.A. Edgar, A long James space, Proceedings of the Conference on Measure Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 794, Springer, Berlin, New York, 1980.
- ↑ D.H. Fremlin, M. Talagrand, A decomposition theorem for additive set-functions, with applications to Pettis integrals and ergodic means, Math. Z., 168 (1979), s. 117–142.
- ↑ R. Frankiewicz, G. Plebanek, Nonaccessible filters in measure algebras and functionals on Studia Math. 108 (1994), s. 191–200.
- ↑ G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), s. 559–579.
- ↑ L. Drewnowski, M. Florencio, P.J. Paúl, The space of Pettis integrable functions is barrelled, Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), s. 687–694.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
- J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
- I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
- K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
- K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
- M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)