Równanie ciągłości

Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.

Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać^[1]:

\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},

czyli

{\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},

tzn. dywergencja gęstości prądu ${\boldsymbol {j}}=(j_{x},j_{y},j_{z})$ danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku $\rho$ w tej substancji.

Np.

{\boldsymbol {j}}

– gęstość prądu elektrycznego,

\rho

– gęstości ładunku elektrycznego.

Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.

Poglądowe objaśnienie równania ciągłości

Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe

{\frac {\Delta j_{x}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta j_{y}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta j_{z}}{\Delta z}}=-{\frac {\Delta \rho }{\Delta t}},

to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.

\Delta j_{x}=j_{x+\Delta x}-j_{x}>0,

to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna

\Delta \rho =\rho _{t+\Delta t}-\rho _{t}<0,

co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.

Równania ciągłości relatywistyczne

Postać relatywistyczna równania ciągłości

Oznaczając współrzędne czterowektora położenia

x^{0}=ct,\,\,x^{1}=x,\,\,x^{2}=y,\,\,x^{3}=z

oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując

j^{0}=c\rho ,\;j^{1}=j_{x},\;j^{2}=j_{y},\;j^{3}=j_{z}

z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się

{\frac {\partial j^{0}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial j^{1}}{\partial x^{1}}}+{\frac {\partial j^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial j^{3}}{\partial x^{3}}}=0

lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina

{\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0,

gdzie $\mu =0,1,2,3.$

Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że:

Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to

czterodywergencja prądu ${\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}$ tej substancji zeruje się.

Znaczenie postaci relatywistycznej

Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące:

Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.

Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci