Niezmiennik

Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany itp.

Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów ${\mathfrak {M}}$ wyposażona jest w relację równoważności ρろー, a ${\mathcal {N}}$ jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρろー) nazywamy dowolną funkcję $\phi :{\mathfrak {M}}\to {\mathcal {N}}$ stałą na klasach abstrakcji relacji ρろー. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρろー. Jeśli $X\in {\mathfrak {M}},$ to często się mówi, że $\phi (X)$ jest niezmiennikiem obiektu $X$ ^[1].

Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmienników^[1].

Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851^[1].

Przykłady niezmienników

Niech ${\mathfrak {M}}$ będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρろー niech będzie relacją zdefiniowaną następująco:

krzywa

\Gamma \in {\mathfrak {M}}

jest równoważna krzywej

\Gamma '\in {\mathfrak {M}}

wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej.

Jeśli krzywa

\Gamma \in {\mathfrak {M}}

jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0,

to liczby

\sigma (\Gamma )=A+C,\;\delta (\Gamma )={\begin{vmatrix}A&B\\B&C\end{vmatrix}},\;\Delta (\Gamma )={\begin{vmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{vmatrix}}

nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie same^[1]. Każda z tych wielkości jest funkcją

{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R}

stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρろー, a więc jest niezmiennikiem określonym na

{\mathfrak {M}}.

Niech ${\mathfrak {M}}$ będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem.
Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O^[2]. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d Математический энциклопедический словарь. Ю. Прохоров (red.). Москва: Советская энциклопедия, 1988, s. 226. (ros.).
↑ Feliks Klein: Elementarmathematik vom höheren standpunkte aus zwieiter band (tłum. ros.). Moskwa: Nauka, 1987, s. 201–202.

Linki zewnętrzne

Invariant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[Prochorow-1] Математический энциклопедический словарь. Ю. Прохоров (red.). Москва: Советская энциклопедия, 1988, s. 226. (ros.).

[2] Feliks Klein: Elementarmathematik vom höheren standpunkte aus zwieiter band (tłum. ros.). Moskwa: Nauka, 1987, s. 201–202.

[1]

[2]