Medida de Gibbs
Em matemática, a medida de Gibbs, em homenagem a Josiah Willard Gibbs,[1][2] é uma medida de probabilidade vista com freqüência em muitos problemas de teoria da probabilidade e mecânica estatística.[3] É uma generalização do conjunto canônico para sistemas infinitos. O conjunto canônico dá a probabilidade do sistema estar no estado (equivalentemente, da variável aleatória ter valor ) como:
- .
Aqui, E(x) é uma função a partir dos espaços de estados para os números reais; em aplicações da física, E(x) é interpretada como a energia da configuração x. O parâmetro
Uma medida é uma medida de Gibbs se as probabilidades condicionais que ela induz em cada subsistema finito satisfaçam uma condição de consistência: se todos os graus de liberdade fora do subsistema finito são congelados, o conjunto canônico para o subsistema sujeito a estas condições de contorno corresponde à probabilidades na medida de Gibbs condicional aos graus de liberdade congelados.
O teorema de Hammersley–Clifford implica que qualquer medida da probabilidade que satisfaça a propriedade de Markov é uma medida de Gibbs para uma escolha apropriada (definidas localmente) de função energética. Portanto, a medida de Gibbs aplica-se a um grande número de problemas de física, tais como redes de Hopfield, redes de Markov, lógica de redes de Markov, e jogos potenciais racionais em teoria dos jogos e economia. Uma medida de Gibbs em um sistema com interações locais (gama finito) maximiza a densidade de entropia para uma dada densidade de energia esperada; ou, equivalentemente, minimiza a densidade de energia livre.
A medida de Gibbs de um sistema finito não é necessariamente única, em contraste com o conjunto canônico de um sistema finito, que é único. A existência de mais de uma medida de Gibbs está associada a fenômenos estatísticos, tais como quebra de simetria e a coexistência de fase.
Propriedade de Markov
[editar | editar código-fonte]Um exemplo da propriedade de Markov pode ser visto na medida de Gibbs do modelo Ising. A probabilidade de um dado spin
- .
No entanto, em um modelo Ising com apenas interações de intervalo finito (por exemplo, interações com os vizinhos mais próximos), na verdade tem-se
onde Nk é uma vizinhança do sítio k. Isto é, a probabilidade no sítio k depende apenas dos spins em uma vizinhança finita. Esta última equação está na forma de uma propriedade de Markov local. Medidas com esta propriedade são chamadas às vezes campo aleatório de Markov. O inverso também é verdadeiro: qualquer distribuição de probabilidade positiva (densidade diferente de zero em todos os lugares), com a propriedade de Markov pode ser representada como uma medida de Gibbs para uma função energética adequada.[4] Esse é o teorema de Hammersley–Clifford.
Definição formal em retículos
[editar | editar código-fonte]O que se segue é uma definição formal para o caso especial de um campo aleatório em retículos, ou malha, ou rede (lattice). A ideia de uma medida de Gibbs é, no entanto, mais geral do que isso.
A definição de um campo aleatório de Gibbs em um retículo requer algumas terminologias:
- O retículo: um conjunto contável .
- O espaço de spin único: um espaço de probabilidade .
- O espaço de configuração: , onde e .
- Dada uma configuração
ω ∈Ω e um subconjunto , a restrição deω paraΛ é . Se e , então a configuração é a configuração cujas restrições aΛ 1 eΛ 2 são e , respectivamente. Essas serão usadas para definir os conjuntos cilíndricos abaixo. - O conjunto de todos os subconjuntos finitos de .
- Para cada subconjunto , é o
σ -álgebra gerado pela família de funções , onde . Esseσ -álgebra é oσ -álgebra dos conjuntos cilíndricos no retículo. - O potencial: Uma família de funções
Φ A :Ω → R tais que- Para cada é -mensurável.
- Para todo e
ω ∈Ω , a seguinte série existe:
Interpreta-se
- O Hamiltoniano em com condições de contorno , para o potencial
Φ , é definido por
- onde .
- A função de partição em com condições de contorno e o inverso da temperatura
β > 0 (para o potencialΦ eλ ) é definido por
- onde
- é a medida do produto.
- Um potencial
Φ éλ -admissível se é finito para todo eβ > 0. - Uma medida de probabilidade
μ em é uma medida de Gibbs para um potencialλ -admissívelΦ se ela satisfaz a equação de Dobrushin–Lanford–Ruelle (DLR) - para todo e .
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Para ajudar a compreender as definições acima, aqui estão as quantidades correspondentes no exemplo do modelo Ising com o interações com o vizinho mais próximo (constante de acoplamento J) e um campo magnético (h), em Zd:
- O retículo é simplesmente .
- O espaço de spin único é S = {−1, 1}.
- O potencial é dado por
Veja também
[editar | editar código-fonte]Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ A course in mathematics for students of physics, Volume 2 by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 page 802
- ↑ The concept of probability in statistical physics by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 page 149
- ↑ Introduction to (generalized) Gibbs measures[ligação inativa] por Arnaud Le Ny em "ENSAIOS MATEMÁTICOS" (2008, Volume 15, 1-126) - SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
- ↑ Ross Kindermann e J. Laurie Snell, Markov Random Fields and Their Applications (1980), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-5001-6