Medida espectral
Na matemática, particularmente em análise funcional a Medida espectral é uma função definida em certos subconjuntos de um conjunto fixo no qual todos os valores possíveis são operadores autoadjuntos no espaço de Hilbert.
Definição[editar | editar código-fonte]
Uma medida espectral num espaço mensurável (X, M), onde M é uma
e para todo
é uma medida complexa em M (que é, uma função de adição sigma de um valor complexo). Nós denotamos tal medida por .
Se
Então
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Suponha que (X, M,
Extensões da medição espectral[editar | editar código-fonte]
Se
estende de um mapeamento linear num espaço vectorial de funções escalonadas em X. De facto, é facilmente verificável que este mapeamento é um homomorfismo de anéis. E este mapeamento estende de uma forma canônica para todos valores complexos em X.
Teorema[editar | editar código-fonte]
Para qualquer M funções limitadas medíveis f em X, existe um único operador linear limitado tal que
para qualquer
é um homomorfismo de anéis.
Estrutura da medição espectral[editar | editar código-fonte]
Primeiro nós daremos um exemplo geral da medida espectral baseada na integral direta.
Suponha que (X, M,
Então
Suponha que
para todo A ∈ M.
Generalizações[editar | editar código-fonte]
A ideia por trás da medição espectral é generalizada pela medição espectral positiva, onde a necessidade da ortogonalidade implícita pelos operadores de projeção é trocada pela ideia de um conjunto de operadores que é uma partição da unidade não ortogonal. Esta generalização foi motivada pelas aplicações da teoria de informação quântica.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]
- Mackey, G. W (1976). The Theory of Unitary Group Representations. [S.l.]: The University of Chicago Press
- Varadarajan, V. S (1970). Geometry of Quantum Theory V2. [S.l.]: Springer Verlag