待まち行列ぎょうれつ理論りろんを応用おうようして１０分ふんカットが儲もうかる仕組しくみを解明かいめいしてみた。

2022年ねん10月がつ29日にち2024年ねん5月がつ18日にち

10分間ふんかんカット – Wikipediaによると、10分ふんカットは1990年代ねんだい後半こうはんに日本にっぽんで誕生たんじょうした業態ぎょうたいなのだそうです。

まさにデフレ日本にっぽんの象徴しょうちょうという感かんじですが、カンボジアにはその上うえをいく１ドル床屋とこやが路上ろじょうに沢山たくさんあります。

これは人件じんけん費ひの差さで成なり立たつ商売しょうばいですが、日本にっぽんの10分ふんカットで働はたらいているスタッフの人件じんけん費ひは、普通ふつうの床屋とこやで働はたらいているスタッフの人件じんけん費ひと変かわらないはずです。

従したがって、経営けいえいを成なりたせるためには、普通ふつうの床屋とこやと同おなじくらいの売上うりあげ高だかが必要ひつようです。

そこで普通ふつうの床屋とこやと10分ふんカットの売上うりあげ高だかが同等どうとうになるかを、待まち行列ぎょうれつ理論りろんを使つかって確認かくにんしてみました。

 

系けいの収容しゅうよう人数にんずうに限かぎりがある場合ばあいの待まち行列ぎょうれつ

窓口まどぐちが１ひとつしかない場合ばあいはM/M/1モデルという待まち行列ぎょうれつになりますが、これは普通ふつう、系けい内ないに入いれる人数にんずう（または個数こすう）に制限せいげんがないことを前提ぜんていにしています。

しかし現実げんじつ世界せかいでは制限せいげんがあることの方ほうが多おおいと思おもいます。

例たとえば、ATMの前まえにあまりに長ながい行列ぎょうれつができていたら、また出直でなおしてくるでしょう。

また、コールセンターに電話でんわしてくる人ひとも、あまりに待まち時間じかんが長たければ諦あきらめるか改あらためてかけ直なおすと思おもいます。

このように待まち行列ぎょうれつの長ながさが有限ゆうげんであることは、「系けい内ないの収容しゅうよう人数にんずうに限かぎりがある」と表現ひょうげんすることもできます。

 

状態じょうたい遷移せんい図ず

まず、系けいの収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんのない場合ばあいのM/M/1モデルの状態じょうたい遷移せんい図ずをおさらいしておきましょう。

系けいの状態じょうたい（人数にんずうや個数こすうのこと）が取とりうる値ねは無制限むせいげんなので、それを０からｊとし、到着とうちゃく率りつをλらむだ、離脱りだつ率りつをμみゅーとすると、次つぎのように書かけました。

 

これが系けいの収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんがある場合ばあい、その収容しゅうよう人数にんずうをＣとすると、次つぎのように書かけます。

 

状態じょうたいはＣ＋１以上いじょうにはならないため、このように短みじかくなります。

 

次つぎに、各かく状態じょうたいになる確かく率りつΠぱいiを求もとめます。

状態じょうたいは０～Ｃまでしかないので、

Πぱい0＋Πぱい1＋Πぱい2＋、、、＋ΠぱいC＝１

が成なり立たつはずですね。

また、系けいの収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんのないM/M/1モデルで成なり立たつ公式こうしき

Πぱいj＝Πぱい0ρろー^j　　・・・　式しき１

は、収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんがある場合ばあいでも同おなじく成なり立たちます。

従したがって、

Πぱい0＋ρΠ0＋ρろー²Πぱい0＋、、、＋ρろー^CΠぱい0＝１

が成なり立たつはずです。

そして、等比とうひ級数きゅうすうの公式こうしきも利用りようしながらこれを変形へんけいすると

Πぱい0＝(１－ρろー)／(１－ρろー^C+1)　　・・・　式しき２

となります。

式しき２を式しき１に代入だいにゅうすることによって、すべての状態じょうたいについて、その状態じょうたいになる確かく率りつを求もとめることができるようになりました。

 

系けいに滞留たいりゅうする人数にんずう

次つぎに、系けいに滞留たいりゅうする人数にんずうを求もとめる式しきを導みちびきます。

系けいに滞留たいりゅうする人数にんずうというい方いかたではイメージが湧わかない人ひとは、ATMの例れいでいうと、行列ぎょうれつに並ならんでいる人数にんずうとATMでお金かねを下おろしている人数にんずう（これは１人にん）の合計ごうけいのことだと考かんがえて下ください。

これは期待きたい値ちの公式こうしきより、各かく状態じょうたいの値ねとその状態じょうたいになる確かく率りつを掛かけた値ねを、すべての状態じょうたいについて足たし合あわせた値ねになります。

従したがって、系けいに滞留たいりゅうする人数にんずうの期待きたい値ちLは

となります。

 

次つぎに、このLを窓口まどぐちにいる人数にんずうと行列ぎょうれつの人数にんずうに分解ぶんかいしてみましょう。

この行列ぎょうれつはM/M/1なので、窓口まどぐちは１ひとつしかありません。

ということは、窓口まどぐちにいる人数にんずうは０か１の２通とおりしかないことになります。

従したがって、窓口まどぐちにいる人数にんずうの期待きたい値ちは、

Ls＝０×Πぱい0＋１×(Πぱい1＋Πぱい2＋、、、＋ΠぱいC)

＝０＋Πぱい1＋Πぱい2＋、、、＋ΠぱいC

＝１－Πぱい0

になります。

 

行列ぎょうれつにいる人数にんずうの期待きたい値ちは、系けい全体ぜんたいの人数にんずうから窓口まどぐちにいる人数にんずうを引ひけばよいだけなので、

Lq＝L－Ls

と簡単かんたんに計算けいさんできます。

 

系けいに入いれる人数にんずう

次つぎに系けいに入いれる人数にんずうを求もとめてみましょう。

「なんだそれは？」

と思おもわれるかもしれませんが、これが系けいの収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんのあるM/M/1モデルの肝きもになります。

なぜ肝きもになるのかというと、単位たんい時間じかん当あたりに到着とうちゃくする人数にんずう（到着とうちゃく率りつ）と系けいに入いれる人数にんずうが異ことなってくるからです。

ちなみに系けいの収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんのないM/M/1モデルでは、この２ふたつは同おなじです。

 

なぜ異ことなってくるのかというと、系けいの中なかにすでにC人じんがいる場合ばあいは、次つぎに来きた人ひとは定員ていいんオーバーで系けいに入いれないからです。

系けいの中なかにC人ひといる場合ばあい・・・単位たんい時間じかん当あたりに系けいに入いれる人数にんずう＝０

系けいの中なかにC-1人ひと以下いかがいる場合ばあい・・・単位たんい時間じかん当あたりに系けいに入いれる人数にんずう＝単位たんい時間じかん当あたりに到着とうちゃくする人数にんずう＝λらむだ

これに注意ちゅういして単位たんい時間じかん当あたりに系けいに入いれる人数にんずうの期待きたい値ちを求もとめると、

０人にん×系けいにC人ひといる確かく率りつ＋λらむだ人じん×系けいにC-1人ひと以下いかがいる確かく率りつ

＝０×ΠぱいC＋λらむだ(１－ΠぱいC)

＝λらむだ(１－ΠぱいC)　　・・・　式しき３

となります。

この式しき３はとても重要じゅうようで、次つぎの10分ふんカットのシミュレーションで使つかいます。

 

10分ぶんカットを待まち行列ぎょうれつでシミュレーション

問題もんだい設定せってい

次つぎのような普通ふつうの床屋とこやさんと、10分ふんカットの床屋とこやさんがあるとします。

【普通ふつうの床屋とこやさん】

料金りょうきん：５,０００円えん／人ひと

カット時間じかん：６０分ふん／人ひと

店みせの収容しゅうよう人数にんずう：４人にん

客きゃくの到着とうちゃく率りつ：８人にん／時とき

 

【10分ふんカット】

料金りょうきん：１,０００円えん／人ひと

カット時間じかん：１０分ふん／人ひと

店みせの収容しゅうよう人数にんずう：４人にん

客きゃくの到着とうちゃく率りつ：８人にん／時とき

 

この時とき、１時じ間あいだ当あたりの売上うりあげ高だかの期待きたい値ちはそれぞれいくらになるでしょうか？

 

考かんがえ方かた

１時じ間あいだ当あたりの売上うりあげ高だかは、１時じ間あいだ当あたりに何人なんにんの客きゃくが店みせに入いれるかで決きまります。

定常ていじょう状態じょうたいでは入いりと出だしはバランスするはずなので、１時じ間あいだ当あたりに店みせを出でた（＝お金かねを払はらった）人数にんずうは１時じ間あいだ当あたりに店みせに入はいった人数にんずうに等ひとしくなり、それに料金りょうきんを掛かけた値ねが１時じ間あいだ当あたりの売上うりあげになるからです。

従したがって、単位たんい時間じかん当あたりに系けい（＝店みせ）に入いれる人数にんずうの期待きたい値ちを式しき３で求もとめ、それに料金りょうきんを掛かけるだけです。

 

Excelで計算けいさん

式しき１～３を使つかってExcelシートで計算けいさんすると、次つぎのようになります。

１時じ間あいだ当あたりの売上うりあげ高だかの期待きたい値ちは、普通ふつうの床屋とこやさんが４,９９９円えん、10分ふんカットが５,３７８円えんとなり、10分ふんカットに軍配ぐんばいが上あがりました。

 

最後さいごに

条件じょうけんを合あわせるために、普通ふつうの床屋とこやも10分ふんカットも収容しゅうよう人数にんずう＝４，到着とうちゃく率りつ＝８としてシミュレーションしましたが、実際じっさいには普通ふつうの床屋とこやに４人にんも客きゃくがいる（待まっている客きゃくが３人にん）ことはないでしょう。

最後さいごに来きた客きゃくは３～４時じ間あいだも待まつことになるからです。

実際じっさいには普通ふつうの床屋とこやは収容しゅうよう人数にんずう＝２、到着とうちゃく率りつ＝４くらいが現実げんじつ的てきかもしれません。

その条件じょうけんでシミュレーションすると、次つぎのようになります。

 

普通ふつうの床屋とこやの売上うりあげ高だかが少すこし減へりましたね。

これは可能かのう性せいは低ひくいものの、店みせに客きゃくが１人ひとりもいなくなってしまい、手て待まちの時間じかんができる可能かのう性せいが５％くらいあるためです。

これはΠぱい0を見みれば分わかります。

普通ふつうの床屋とこやでは０.０５になっていますね。

ちなみに10分ふんカットではこうなる確かく率りつが１０％もありますが、それでも売上うりあげ高だかの期待きたい値ちはこちらの方ほうが大おおきくなります。

 

このようにして収容しゅうよう人数にんずうに制限せいげんがある場合ばあいの待まち行列ぎょうれつは計算けいさんできますが、今回こんかいは床屋とこやを訪おとずれる人数にんずうは無限むげんであることを想定そうていしていました。

でも実際じっさいには、遠とおくの県けんからわざわざ訪おとずれてくるような床屋とこやはカリスマ理容りよう師しがいる店みせくらいなものでしょう。

つまり潜在せんざい顧客こきゃく数すうは有限ゆうげんであるのが現実げんじつ的てきです。

次回じかいはそのような待まち行列ぎょうれつを扱あつかいます。

【有限ゆうげんソースの待まち行列ぎょうれつ】フォークリフトが正常せいじょう稼働かどうする台数だいすうを求もとめる別べつ解かい