Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики.

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины, которую можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина $X$, распределение которой $\mathbb {P}$ полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно $\mathbb {P}$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb {P}$, то есть $H:\;\{\mathbb {P} =\mathbb {P} _{0}\}$, где $\mathbb {P} _{0}$— какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb {P}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\;\{\mathbb {P} \in {\mathcal {P}}\}$, где ${\mathcal {P}}$ — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу $H_{0}$. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_{1}$, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ фиксированного объема $n\geq 1$ для распределения $\mathbb {P}$. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка $(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)$ из нормального распределения, где $\mu$ — неизвестный параметр. Тогда $H_{0}:\;\{\mu =\mu _{0}\}$, где $\mu _{0}$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_{1}:\;\{\mu >\mu _{0}\}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы $H_{0}$ и конкурирующей гипотезы $H_{1}$.
2. Задание уровня значимости $\alpha$, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
3. Расчёт статистики $\phi$ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n}):\;\phi =\phi (X_{1},\ldots ,X_{n})$;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H_{0}$;
   • статистика $\phi$, как функция случайной величины $\mathbf {X}$, также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
4. Построение критической области. Из области значений $\phi$ выделяется подмножество ${\mathcal {C}}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\phi \in {\mathcal {C}})=\alpha$. Это множество ${\mathcal {C}}$ и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $\phi$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область ${\mathcal {C}}$ выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы $H_{0}$.

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\infty ,\;x_{\alpha /2})\cup (x_{1-\alpha /2}\;+\infty )$, где $x_{\alpha /2},\;x_{1-\alpha /2}$ находят из условий $P(\phi <x_{\alpha /2})={\frac {\alpha }{2}},\quad P(\phi <x_{1-\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}$.
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\infty ,\;x_{\alpha })$, где $x_{\alpha }$ находят из условия $P(\phi <x_{\alpha })=\alpha$.
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_{1-\alpha },\;+\infty )$, где $x_{1-\alpha }$ находят из условия $P(\phi <x_{1-\alpha })=1-\alpha$.

См. также

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости
• Статистическая мощность
• Квантиль

Литература

• Статистическая гипотеза : [арх. 21 февраля 2023] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.