Moment (matematik)
Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan f(x)in c değeri etrafında ninci momenti şöyle ifade edilir:
Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır.
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları için momentlerin ilgili olduğu fonksiyonlar bir rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgilidir. Bir olasılık yoğunluk fonksiyonun sıfır etrafındaki ninci momenti Xnin matematiksel beklentidir. Ortalama
Eğer f bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise, o halde yukarıda verilmiş olan entegralin değeri olasılık dağılımınin ninci moment Riemann-Stieltjes entegrali tarafından şöyle verilir:
Burada X bu dağılımı gösteren bir rassal değişken ve E bir beklenti operatörüdür.
Eğer
ise momentin mevcut olmadığı kabul edilir. Eğer herhangi bir nokta etrafında ninci moment belirlenebilirse, o halde (n - 1)inci moment de bulunur ve her bir nokta etrafında daha-alt derecelerdeki momentler de bulunur.
Momentlerin önemi
[değiştir | kaynağı değiştir]Sıfır etrafindaki birinci moment, eğer anlamlı ise, Xin matematiksel beklentisi yani
Bir rassal değişken olan Xin olasılık dağılımının ninci merkezsel momenti şudur:
Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.
Varyans
[değiştir | kaynağı değiştir]İkinci merkezsel moment varyans
Normalize edilmiş momentler
[değiştir | kaynağı değiştir]Normalize edilmiş ninci merkezsel moment veya standardize edilmis moment ninci merkezsel moment bolu
Çarpıklık
[değiştir | kaynağı değiştir]Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment
Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar için medyan
Basıklık
[değiştir | kaynağı değiştir]Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3
Basıklık ölçüsü olarak kullanılan basıklık fazlalığı katsayısı
Basıklık ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve
Bu eşitsizlik terimin ispat etmek için önce şu terimi ele alalım:
Bunda T = (X -
Kümülantlar
[değiştir | kaynağı değiştir]Birinci moment ve ikinci ve üçüncü normalize edilmemiş merkezsel momentler doğrusaldırlar; yani eğer X ve Y istatistiksel olarak bağımsız rassal değişkenlerse, o halde
ve
ve
eşitlikleri gerçektir. (Bu şartlar yalnız bağımsızlık şartına değil daha zayıf şartlar altında bulunan değişkenler için de gerçek olabilir.) Birinci şart her zaman doğru olup ikinci şart da doğru olursa bu değişkenler arasında korelasyon yoktur.
Bunun doğruluğunu anlamak için bu momentlerin ilk üç kümülant olduklarını ve dördüncü kümülantin ise basıklık katsayısı
Bütün kümülantlar momentlerin polinomlarıdır yani faktoriyel momentlerdir. Merkezsel momentler sıfır etrafındaki momentlerin polinomlarıdır ve bunun aksi de doğrudur.
Örneklem momentleri
[değiştir | kaynağı değiştir]Bir anakütle için momentler bir örneklem k-inci momenti kullanılarak kestirimi yapılabilirler. Örneklem k-inci momenti şöyle ifade edilir:
ve bu anakütleden rassal örneklem ile seçilmiş X1,X2,..., Xn örneklem değerlerine uygulanır.
Bu bir yansız kestirimdir. Çünkü herhangi bir n büyüklükte bir örneklem için örneklem momentinin matematiksel beklenen değerinin anakütle k-inci momentine eşit olduğu hemen gösterilebilir.
Ayrıca bakınız
[değiştir | kaynağı değiştir]- Binom dağılım
- Kümülant
- Momentler yöntemi
- Ortalama etrafinda moment
- Moment üreten fonksiyon
- Normal dağılım
- Standardize edilmiş moment
Dış bağlantılar
[değiştir | kaynağı değiştir]- [1]15 Mart 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Mathworld websitesi.