Рівняння Прока — рівняння , що описують кінематику вільної масивної частинки маси
m
{\displaystyle \ m}
та спіну
s
=
1
{\displaystyle \ s=1}
(у одиницях
c
=
ℏ
=
1
{\displaystyle \ c=\hbar =1}
).
Вони мають вигляд
(
∂
μ みゅー
∂
μ みゅー
+
m
2
)
A
μ みゅー
=
0
,
∂
μ みゅー
A
μ みゅー
=
0
(
0
)
{\displaystyle \ \left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)A_{\mu }=0,\quad \partial ^{\mu }A_{\mu }=0\qquad (0)}
,
де
∂
μ みゅー
≡
(
∂
∂
t
,
∇
)
{\displaystyle \ \partial _{\mu }\equiv \left({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}
- коваріантна похідна,
A
μ みゅー
{\displaystyle \ A_{\mu }}
— лоренців 4-вектор , або, у еквівалентному вигляді,
∂
μ みゅー
∂
μ みゅー
A
ν にゅー
−
∂
ν にゅー
∂
μ みゅー
A
μ みゅー
+
m
2
A
ν にゅー
=
0
{\displaystyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }+m^{2}A_{\nu }=0}
.
Рівняння
(
0
)
{\displaystyle \ (0)}
може бути отримано варіацією дії
S
=
∫
d
4
x
(
−
1
4
F
μ みゅー
ν にゅー
F
μ みゅー
ν にゅー
+
m
2
A
μ みゅー
A
μ みゅー
)
=
∫
d
4
x
L
(
x
)
(
1
)
{\displaystyle \ S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+m^{2}A_{\mu }A^{\mu }\right)=\int d^{4}xL(x)\qquad (1)}
,
де
F
μ みゅー
ν にゅー
≡
∂
μ みゅー
A
ν にゅー
−
∂
ν にゅー
A
μ みゅー
{\displaystyle \ F_{\mu \nu }\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
.
Варіація дії дає рівняння Ейлера-Лагранжа,
∂
μ みゅー
(
∂
L
∂
(
∂
μ みゅー
A
ν にゅー
)
)
=
∂
L
∂
A
ν にゅー
,
{\displaystyle \ \partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)={\frac {\partial L}{\partial A_{\nu }}},}
які для дії
(
1
)
{\displaystyle \ (1)}
приймають вигляд
−
∂
μ みゅー
∂
ν にゅー
A
μ みゅー
+
∂
2
A
ν にゅー
+
m
2
A
ν にゅー
=
0
(
2
)
{\displaystyle \ -\partial _{\mu }\partial _{\nu }A^{\mu }+\partial ^{2}A_{\nu }+m^{2}A_{\nu }=0\qquad (2)}
.
Діючи на це рівняння оператором
∂
ν にゅー
{\displaystyle \ \partial ^{\nu }}
, можна отримати
m
2
∂
μ みゅー
A
μ みゅー
=
0
{\displaystyle \ m^{2}\partial _{\mu }A^{\mu }=0}
,
і тоді при
m
2
≠
0
{\displaystyle \ m^{2}\neq 0}
рівняння
(
2
)
{\displaystyle \ (2)}
набуває вигляду
(
∂
2
+
m
2
)
A
ν にゅー
=
0
{\displaystyle \ (\partial ^{2}+m^{2})A_{\nu }=0}
Як видно із рівнянь
(
0
)
{\displaystyle \ (0)}
, векторне поле
A
μ みゅー
{\displaystyle \ A_{\mu }}
має три ступені вільності (умова
∂
μ みゅー
A
μ みゅー
=
0
{\displaystyle \ \partial _{\mu }A^{\mu }=0}
зменшує число незалежних ступенів вільності на одну).
В силу цього та лінійності рівнянь прока його розв'язок може бути знайдений Фур'є-перетворенням
A
μ みゅー
(
x
)
=
∑
σ しぐま
=
−
1
,
0
,
1
∫
d
3
p
(
2
π ぱい
)
3
2
E
p
(
ϵ
μ みゅー
σ しぐま
(
p
)
e
−
i
p
x
a
σ しぐま
(
p
)
+
ϵ
μ みゅー
,
σ しぐま
∗
(
p
)
a
σ しぐま
∗
e
i
p
x
)
{\displaystyle \ A_{\mu }(x)=\sum _{\sigma =-1,0,1}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}}\left(\epsilon _{\mu }^{\sigma }(\mathbf {p} )e^{-ipx}a_{\sigma }(\mathbf {p} )+\epsilon _{\mu ,\sigma }^{*}(\mathbf {p} )a_{\sigma }^{*}e^{ipx}\right)}
,
де вектори поляризації
ϵ
μ みゅー
,
σ しぐま
(
p
)
{\displaystyle \ \epsilon _{\mu ,\sigma }(\mathbf {p} )}
задовольняють умовам
p
μ みゅー
ϵ
σ しぐま
μ みゅー
=
0
,
ϵ
σ しぐま
μ みゅー
ϵ
μ みゅー
,
σ しぐま
′
=
δ でるた
σ しぐま
σ しぐま
′
{\displaystyle \ p_{\mu }\epsilon _{\sigma }^{\mu }=0,\quad \epsilon _{\sigma }^{\mu }\epsilon _{\mu ,\sigma {'}}=\delta _{\sigma \sigma {'}}}
Із вказаних умов слідує важливе правило суми за поляризаціями
σ しぐま
{\displaystyle \ \sigma }
:
∑
σ しぐま
ϵ
μ みゅー
,
σ しぐま
ϵ
ν にゅー
,
σ しぐま
∗
=
−
(
g
μ みゅー
ν にゅー
−
p
μ みゅー
p
ν にゅー
m
2
)
{\displaystyle \ \sum _{\sigma }\epsilon _{\mu ,\sigma }\epsilon _{\nu ,\sigma }^{*}=-\left(g_{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right)}
У природі рівняння Прока описують вільне розповсюдження векторних бозонів електрослабкої взаємодії —
W
−
,
Z
−
{\displaystyle \ W-,Z-}
бозонів — в унітарному калібуванні. Векторні бозони отримують масу внаслідок механізму Хіггса . Також рівняння Прока описують векторні мезони (зокрема,
ρ ろー
−
{\displaystyle \ \rho -}
та
ω おめが
−
{\displaystyle \ \omega -}
мезони), що виникають у квантовій хромодинаміці нижче шкали сильного зв'язку .
Приклад. Рівняння Прока та механізм Штюкельберга[ ред. | ред. код ]
Нехай є теорія з локальною симетрією
U
(
1
)
{\displaystyle \ U(1)}
, що описує безмасове векторне поле
A
μ みゅー
{\displaystyle \ A_{\mu }}
у приєднаному представленні
U
(
1
)
{\displaystyle \ U(1)}
локальної групи симетрії, яке взаємодіє з комплексним скалярним полем
φ ふぁい
{\displaystyle \ \varphi }
; і нехай симетрія
U
(
1
)
{\displaystyle \ U(1)}
є порушеною. Така теорія дається лагранжіаном
L
=
−
1
4
F
μ みゅー
ν にゅー
F
μ みゅー
ν にゅー
+
|
D
μ みゅー
φ ふぁい
|
2
+
μ みゅー
2
|
φ ふぁい
|
2
−
λ らむだ
|
φ ふぁい
|
4
,
D
μ みゅー
≡
∂
μ みゅー
−
e
i
A
μ みゅー
{\displaystyle \ L=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+|D_{\mu }\varphi |^{2}+\mu ^{2}|\varphi |^{2}-\lambda |\varphi |^{4},\quad D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }-eiA_{\mu }}
,
що є інваріантним відносно перетворення
φ ふぁい
→
e
i
α あるふぁ
(
x
)
φ ふぁい
,
A
μ みゅー
→
A
μ みゅー
−
1
e
∂
μ みゅー
α あるふぁ
{\displaystyle \ \varphi \to e^{i\alpha (x)}\varphi ,\quad A_{\mu }\to A_{\mu }-{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha }
.
Обираючи параметризацію для двох ступенів вільності
φ ふぁい
{\displaystyle \ \varphi }
у вигляді
φ ふぁい
=
1
2
ρ ろー
e
i
κ かっぱ
{\displaystyle \ \varphi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\rho e^{i\kappa }}
, де
ρ ろー
=
μ みゅー
2
λ らむだ
+
ψ ぷさい
(
x
)
≡
v
+
ψ ぷさい
(
x
)
{\displaystyle \ \rho ={\sqrt {\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}}+\psi (x)\equiv v+\psi (x)}
,
можна перетворити лагранжіан до вигляду
L
=
−
1
4
F
2
+
e
2
v
2
2
A
2
+
e
2
2
ψ ぷさい
2
A
2
+
1
2
(
∂
μ みゅー
ψ ぷさい
)
2
−
μ みゅー
2
2
ψ ぷさい
2
−
λ らむだ
v
ψ ぷさい
3
−
λ らむだ
4
ψ ぷさい
4
{\displaystyle \ L=-{\frac {1}{4}}F^{2}+{\frac {e^{2}v^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {e^{2}}{2}}\psi ^{2}A^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\psi )^{2}-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\psi ^{2}-\lambda v\psi ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\psi ^{4}}
.
Нехай далі
e
→
0
,
v
→
∞
{\displaystyle \ e\to 0,\quad v\to \infty }
, причому
e
×
v
=
c
o
n
s
t
=
m
{\displaystyle \ e\times v=const=m}
. Тоді ефективно лагранжіан розбивається на дві частини: лагранжіан суто для калібрувального поля,
L
A
=
−
1
4
F
2
+
m
2
2
A
2
{\displaystyle \ L_{A}=-{\frac {1}{4}}F^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}}
,
і лагранжіан суто скалярного поля,
L
ψ ぷさい
=
1
2
(
∂
μ みゅー
ψ ぷさい
)
2
−
μ みゅー
2
2
ψ ぷさい
2
−
λ らむだ
v
ψ ぷさい
3
−
λ らむだ
4
ψ ぷさい
4
{\displaystyle \ L_{\psi }={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\psi )^{2}-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\psi ^{2}-\lambda v\psi ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\psi ^{4}}
.
Таким чином, поле
ψ ぷさい
{\displaystyle \ \psi }
є невидимим, і по ньому можна проінтегрувати, а калібрувальне поле поводить себе як масивне, описуючись рівнянням Прока.
Рівняння Прока як виділення незвідного представлення групи Пуанкаре[ ред. | ред. код ]
Оскільки група Пуанкаре є кінематичною групою симетрії у фізиці на масштабах, коли ефектами Загальної теорії відносності можна знехтувати, то елементарні частинки мають реалізовувати її незвідні представлення. Відповідно до класифікації Вігнера незвідних представлень групи Пуанкаре, незвідні представлення, що реалізовують частинку маси
m
{\displaystyle \ m}
та спіну
s
{\displaystyle \ s}
, є власними станами для двох операторів Казиміра ,
P
^
μ みゅー
P
^
μ みゅー
{\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }}
,
W
^
μ みゅー
W
^
μ みゅー
{\displaystyle \ {\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu }}
, із власними значеннями
P
^
μ みゅー
P
^
μ みゅー
=
m
2
,
W
^
μ みゅー
W
^
μ みゅー
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
(
3
)
{\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }=m^{2},\quad {\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu }=-m^{2}s(s+1)\qquad (3)}
.
Фоківський стан
|
p
,
σ しぐま
⟩
≡
a
^
σ しぐま
†
(
p
)
|
0
⟩
,
p
μ みゅー
p
μ みゅー
=
m
2
,
{\displaystyle \ |\mathbf {p} ,\sigma \rangle \equiv {\hat {a}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )|{\text{0}}\rangle ,\quad p_{\mu }p^{\mu }=m^{2},}
який реалізує одночастинковий стан із масою
m
{\displaystyle \ m}
та спіном
s
{\displaystyle \ s}
,
пов'язаний із відповідним полем народження та знищення:
Φ ふぁい
^
(
x
)
=
∑
σ しぐま
=
−
s
s
∫
d
3
p
(
2
π ぱい
)
3
2
E
p
(
b
^
σ しぐま
†
(
p
)
v
σ しぐま
(
p
)
e
i
p
x
+
a
^
σ しぐま
(
p
)
u
σ しぐま
(
p
)
e
i
p
x
)
,
{\displaystyle \ {\hat {\Phi }}(x)=\sum _{\sigma =-s}^{s}\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2E_{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {b}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{\sigma }(\mathbf {p} )e^{ipx}+{\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )u_{\sigma }(\mathbf {p} )e^{ipx}\right),}
де
b
^
σ しぐま
†
(
p
)
{\displaystyle \ {\hat {b}}_{\sigma }^{\dagger }(\mathbf {p} )}
народжує одночастинковий стан із тими же масою та спіном, але із протилежними зарядами.
Нехай тепер є простір
H
A
,
B
≡
(
Φ ふぁい
^
a
1
.
.
.
a
A
b
˙
1
.
.
.
b
˙
b
|
Φ ふぁい
^
(
a
1
.
.
.
a
A
)
(
b
˙
1
.
.
.
b
˙
B
)
=
Φ ふぁい
^
a
1
.
.
.
a
A
b
˙
1
.
.
.
b
˙
B
)
{\displaystyle \ H_{A,B}\equiv \left({\hat {\Phi }}_{a_{1}...a_{A}{\dot {b}}_{1}...{\dot {b}}_{b}}|{\hat {\Phi }}_{(a_{1}...a_{A})({\dot {b}}_{1}...{\dot {b}}_{B}})={\hat {\Phi }}_{a_{1}...a_{A}{\dot {b}}_{1}...{\dot {b}}_{B}}\right)}
незвідних представлень
(
A
2
,
B
2
)
{\displaystyle \ \left({\frac {A}{2}},{\frac {B}{2}}\right)}
групи Лоренца. Тут
a
,
b
˙
{\displaystyle \ a,{\dot {b}}}
— спінорні індекси. Підпростір цього простору
H
A
,
B
↑
∈
H
A
,
B
{\displaystyle \ H_{A,B}^{\uparrow }\in H_{A,B}}
реалізовує одночастинкові стани із масою
m
{\displaystyle \ m}
та спіном
s
=
A
+
B
2
{\displaystyle \ s={\frac {A+B}{2}}}
(у тому сенсі, що для них виконуються умови
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
), якщо оператори
Φ ふぁい
^
a
1
.
.
.
a
A
b
˙
1
.
.
.
b
˙
B
{\displaystyle \ {\hat {\Phi }}_{a_{1}...a_{A}{\dot {b}}_{1}...{\dot {b}}_{B}}}
задовольняють системі рівнянь
{
(
∂
2
+
m
2
)
Φ ふぁい
^
a
1
.
.
.
a
A
b
˙
1
.
.
.
b
˙
B
=
0
,
∂
a
b
˙
Φ ふぁい
^
a
a
1
.
.
.
a
A
−
1
b
˙
.
.
.
b
˙
B
−
1
=
0
,
A
,
B
>
0
(
4
)
{\displaystyle \ {\begin{cases}\left(\partial ^{2}+m^{2}\right){\hat {\Phi }}_{a_{1}...a_{A}{\dot {b}}_{1}...{\dot {b}}_{B}}=0,\\\partial _{a{\dot {b}}}{\hat {\Phi }}^{aa_{1}...a_{A-1}{\dot {b}}...{\dot {b}}_{B-1}}=0,\quad A,B>0\end{cases}}\qquad (4)}
.
Тут
∂
a
b
˙
≡
∂
μ みゅー
(
σ しぐま
a
b
˙
)
μ みゅー
,
{\displaystyle \ \partial _{a{\dot {b}}}\equiv \partial ^{\mu }(\sigma _{a{\dot {b}}})_{\mu },}
,
σ しぐま
μ みゅー
≡
(
(
1
0
0
1
)
,
(
0
1
1
0
)
,
(
0
−
i
i
0
)
,
(
1
0
0
−
1
)
)
{\displaystyle \ \sigma _{\mu }\equiv \left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right)}
.
Розглянемо випадок спіну
s
=
1
{\displaystyle \ s=1}
, взявши представлення із
A
=
B
=
1
{\displaystyle \ A=B=1}
, тобто,
H
A
,
B
≡
(
Φ ふぁい
^
a
b
˙
)
{\displaystyle \ H_{A,B}\equiv \left({\hat {\Phi }}_{a{\dot {b}}}\right)}
.
Тоді, використавши ізоморфізм
A
^
μ みゅー
≡
1
2
Tr
(
(
σ しぐま
μ みゅー
)
Φ ふぁい
^
)
{\displaystyle \ {\hat {A}}_{\mu }\equiv {\frac {1}{2}}{\text{Tr}}((\sigma _{\mu }){\hat {\Phi }})}
,
рівняння
(
4
)
{\displaystyle \ (4)}
елементарно звести до
{
(
∂
2
+
m
2
)
A
^
μ みゅー
(
x
)
=
0
,
∂
μ みゅー
A
^
μ みゅー
=
0
{\displaystyle \ {\begin{cases}(\partial ^{2}+m^{2}){\hat {A}}_{\mu }(x)=0,\\\partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }=0\end{cases}}}
Отримані рівняння називаються рівняннями Прока.
Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В. Квантовые поля. — М .: Наука, 1980. — 320 с., — C.29, 33. (рос.)
Райдер Л. , Квантовая теория поля. — М .: Мир, 1987. — 511 с., — С.86-87. (рос.)
Ициксон К., Зюбер Ж. Б. , Квантовая теория поля. пер. с англ., Том 1. — М .: Мир, 1984. — 448 с., — С.166. (рос.)
Умэдзава X. , Квантовая теория поля, пер. с англ., М ., 1958. (рос.)
Огиевецкий В. И., Полубаринов И. В. , Калибровочно-инвариантная формулировка теории нейтрального векторного поля, «ЖЭТФ», 1961, т. 41, — С.247. (рос.)