プロカ方程式ほうていしき

場ばの量子りょうし論ろん
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史れきし
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場ばの量子りょうし論ろんにおいて、プロカ方程式ほうていしき（プロカほうていしき、Proca equation）は、スピン1を持もち、0でない質量しつりょうを持もつ相対そうたい論ろん的てきなボース粒子りゅうし、及およびそれと対応たいおうするベクトル場じょうを記述きじゅつする運動うんどう方程式ほうていしきである。質量しつりょうが0のプロカ方程式ほうていしきはマクスウェル方程式ほうていしきである。名称めいしょうはルーマニア出身しゅっしんの物理ぶつり学者がくしゃアレクサンドル・プロカに由来ゆらいする。

プロカ方程式ほうていしきは以下いかのように表記ひょうきされる。

$\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)A^{\nu }=0$

ここで、A^νにゅーは実みベクトル場じょう、mはベクトル場じょうの質量しつりょうであり、ミンコフスキー空間くうかんの計量けいりょうテンソルはdiag(+1, -1, -1, -1)を採用さいようしている。この形式けいしきを見みれば分わかるように、プロカ方程式ほうていしきはクライン＝ゴルドン方程式ほうていしきで記述きじゅつされるスカラー場じょうを、時空じくうについて4成分せいぶんのベクトル場じょうと入いれ換かえた式しきである。

ラグランジアン密度みつど

この項こうで解説かいせつするのは、プロカ方程式ほうていしきを導出どうしゅつする最もっとも単純たんじゅんなラグランジアン密度みつどであるプロカ形式けいしきである。質量しつりょうを持もつベクトル場じょうを記述きじゅつする形式けいしきとして、他たにシュテュッケルベルク形式けいしきがある。プロカ形式けいしきは、シュテュッケルベルク形式けいしきにおける補助ほじょスカラー場じょうを0とした場合ばあいと等ひとしい形式けいしきである。

プロカ形式けいしきのラグランジアン密度みつどは以下いかのように表記ひょうきされる。

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\nu }A^{\nu }$

ここで、A_νにゅーは実みベクトル場じょうで、$F_{\mu \nu }\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$（A_νにゅーが電磁場でんじばの場合ばあいは電磁場でんじばテンソル）である。このラグランジアン密度みつどはベクトル場じょうの質量しつりょう項こうが存在そんざいするためにゲージ不変ふへん性せいを破やぶっている。

上記じょうきのラグランジアン密度みつどをオイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0$

に代入だいにゅうして得えられる運動うんどう方程式ほうていしきがプロカ方程式ほうていしきである。

$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+m^{2}A^{\nu }=0$

ここで、両辺りょうへんに $\partial _{\nu }$ をかけて、$\partial _{\mu }\partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0$ を用もちいると、m≠0 のとき、ローレンツゲージ条件じょうけん

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0$

が自動的じどうてきに導みちびける。これより、結局けっきょく、プロカ方程式ほうていしきは

$\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)A^{\nu }=0$

となる。

なお、四元よつもとベクトルポテンシャルは本来ほんらい４成分せいぶんであるが、ローレンツゲージ条件じょうけんが課かされていることにより、独立どくりつな成分せいぶんは３成分せいぶんになる。これはプロカ方程式ほうていしきによって記述きじゅつされる粒子りゅうしがスピン1の粒子りゅうしであることに対応たいおうしている。