量子りょうし電磁でんじ力学りきがく

量子りょうし電磁でんじ力学りきがく（りょうしでんじりきがく、英語えいご: Quantum electrodynamics, QED）とは、電子でんしを始はじめとする荷電かでん粒子りゅうし間あいだの電磁でんじ相互そうご作用さようを量子りょうし論ろん的てきに記述きじゅつする場ばの量子りょうし論ろんである。量子りょうし電気でんき力学りきがくと訳やくされる場合ばあいもある。

概要がいよう

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくでは、荷電かでん粒子りゅうし間あいだに働はたらく電磁でんじ相互そうご作用さようを光子こうしという粒子りゅうしの受うけ渡わたしによるものと考かんがえる。荷電かでん粒子りゅうしと光子こうしは量子りょうし的てきな場ば（場ばの演算えんざん子こ）として扱あつかわれる。電子でんしの場ばは4成分せいぶんのディラック場じょう、光子こうしの場ばはベクトル場じょうである。

電子でんしは電荷でんかをもっており、この電荷でんかが時空じくうの各かく点てんで（つまり、常つねに連続れんぞく的てきに）保存ほぞんすることを理論りろんに要請ようせいすると、光子こうしを表あらわす場ばが自然しぜんに定義ていぎされる。この要請ようせいはゲージ変換へんかんと呼よばれる場じょうの量りょうの変換へんかんに対たいして理論りろんが持もつべき対称たいしょう性せい（ゲージ不変ふへん性せい） として表あらわされ、それを保証ほしょうする場ば（光子こうし場じょう）をゲージ場じょうと呼よぶ。ゲージ場じょうは厳密げんみつに質量しつりょうが0である。光子こうしの質量しつりょうが0という事実じじつ（光ひかり速度そくど不変ふへんの原理げんり）は、このように、電子でんしの電荷でんかの保存ほぞんと結むすびついている。

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくのゲージ変換へんかんにまつわる理論りろんの構造こうぞうは、まず粒子りゅうし場じょうを用意よういし、理論りろんにゲージ不変ふへん性せいを要求ようきゅうすることによって粒子りゅうし間あいだの相互そうご作用さようを導みちびくというゲージ原理げんりの考かんがえ方かたを導みちびき、電磁でんじ相互そうご作用さよう以外いがいの相互そうご作用さようにおいても、場ばの理論りろんの構築こうちくの際さいの基礎きそとされている。

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくは特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんと量子力学りょうしりきがくを結むすびつけたポール・ディラックの電子でんし論ろん（ディラック方程式ほうていしき）では説明せつめいできない水素すいそ原子げんしの 2s と 2p 準じゅん位いのずれ（ラムシフト）などを説明せつめいできるとされる。

歴史れきし

1927年ねん、ポール・ディラックは粒子りゅうしの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こという概念がいねんを導入どうにゅうすることで電磁場でんじばの量子りょうし化かに初はじめて成功せいこうし、これが量子りょうし電磁でんじ力学りきがくの創始そうしとなった。ただし、生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは別べつの人間にんげんが創つくりだしたものである。その後ご、ヴォルフガング・パウリ、ユージン・ウィグナー、パスクアル・ヨルダン、ヴェルナー・ハイゼンベルクらの尽力じんりょくにより量子りょうし電磁でんじ力学りきがくの定式ていしき化かが始はじまり、1932年ねんのエンリコ・フェルミの論文ろんぶんによりエレガントな定式ていしき化かがほぼ完成かんせいした。しかし、量子りょうし電磁でんじ力学りきがくの根幹こんかんには重大じゅうだいな問題もんだいが残のこっていた。

1. 光子こうしや荷電かでん粒子りゅうしを計算けいさんすると無限むげん大だいに発散はっさんする。この問題もんだいは1930年代ねんだい初頭しょとうにロバート・オッペンハイマーや他たの多おおくの物理ぶつり学者がくしゃによって初はじめて認識にんしきされた。フェリックス・ブロッホとアーノルド・ノルドジークの研究けんきゅう（1937年ねん）やヴィクター・ワイスコフの研究けんきゅう（1939年ねん）では、この計算けいさんが摂動せつどう展開てんかいの1次じにおいては成功せいこうするが、高次こうじの級数きゅうすうにおいて無限むげん大だいが現あらわれることが指摘してきされた。計算けいさん結果けっかに無限むげん大だいが現あらわれることは物理ぶつり法則ほうそくとして致命ちめい的てきである。
2. 時間じかんの順序じゅんじょ関係かんけいが成なりたないという因果律いんがりつの破やぶれが湯川ゆかわやディラックにより指摘してきされた。これも深刻しんこくな話はなしである。
3. 量子りょうし電磁でんじ力学りきがくは場ばの理論りろんで記述きじゅつされ相対そうたい論ろんを満みたすが、相対そうたい論ろん的てきな変換へんかんを行おこなうと形式けいしきが保持ほじされず、美うつくしくなく見通みとおしが悪わるい。これを相対そうたい論ろん的てきな共きょう変性へんせいがないという。
4. 計算けいさん形式けいしき（ハイゼンベルク、シュレディンガー）は相互そうご作用さようを含ふくみ、計算けいさんが複雑ふくざつになる。無限むげん大だいの発生はっせいを解決かいけつする上じょうで障害しょうがいとなった。

このような問題もんだいで当時とうじの物理ぶつり学がくは混乱こんらんを極きわめたが、1943年ねん、朝永あさながは相対そうたい論ろん的てきな共きょう変性へんせいを満みたす超ちょう多た時間じかん論ろんを見出みいだし、湯川ゆかわらが指摘してきした因果律いんがりつの破やぶれを無限むげん大だいの補正ほせいを加くわえて回避かいひした。 同どう論文ろんぶんで、くりこみで本質ほんしつ的てきな役割やくわりを果はたす相互そうご作用さよう表示ひょうじを提示ていじしたことも重要じゅうようである。（戦後せんご、シュウィンガーも相互そうご作用さよう表示ひょうじを朝永あさながと独立どくりつに見出みいだす）。朝永あさなが振一郎しんいちろうは、超ちょう多た時間じかん論ろんや相互そうご作用さよう表示ひょうじを基もとに、「くりこみ原理げんり」の厳密げんみつな式しきを求もとめていく。

「朝永あさなが振一郎しんいちろう」を参照さんしょう

第だい二に次じ世界せかい大戦たいせんを経へてマイクロ波は技術ぎじゅつの進歩しんぽにより水素すいそ原子げんしのエネルギー準じゅん位いの縮退しゅくたいからのずれ（ラムシフト） や電子でんしの異常いじょう磁気じきモーメントをより精密せいみつに測定そくていすることが可能かのうになると、これらの実験じっけんにより既存きそんの理論りろんでは説明せつめいすることのできない現象げんしょうの存在そんざいが明あきらかとなった。1947年ねん、ハンス・ベーテは、質量しつりょうと電荷でんかに無限むげん大だいの補正ほせいを加くわえることで、無限むげん大だいがうまく相殺そうさいし最終さいしゅう的てきに有限ゆうげんの物理ぶつり量りょうが導出みちびきだされることを示しめす論文ろんぶんを提出ていしゅつしたが 、非ひ相対そうたい論ろんでの簡易かんい計算けいさんであった。朝永あさながの超ちょう多た時間じかん論ろんや、朝永あさなが表示ひょうじ（相互そうご作用さようのない表示ひょうじ）は戦争せんそうのためアメリカには伝つたわっていず、また、ファインマンの経路けいろ積分せきぶんがない当時とうじ、この問題もんだいの解決かいけつは困難こんなんであった。

朝永あさながグループを率ひきい、繰くり込こみを完成かんせいしようとしていた朝永あさなが振一郎しんいちろうは、ラムシフト発見はっけんに驚おどろくとともに、ベーテの1947年ねんの非ひ相対そうたい論ろん的てきな計算けいさんが、朝永あさながのP-F変換へんかんの延長えんちょう上じょうにあることを見出みいだし、みずからの試こころみが正ただしいことを確信かくしんし、相対そうたい論ろん的てきなくりこみ理論りろんの完成かんせいを急いそいだ。また、ファインマン、シュウィンガー、ダイソンは、ラムシフトを契機けいきに繰くり込こみに向むかい、経路けいろ積分せきぶんや相互そうご作用さよう表示ひょうじ（1943年ねんの朝永あさながと同おなじもの）を見出みいだし、これらを元もとに繰くり込こみを目指めざした。そして、朝永あさなが振一郎しんいちろう、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマン、フリーマン・ダイソンらが摂動せつどう展開てんかいの全すべてのオーダーにおいて観測かんそくされる物理ぶつり量りょうが有限ゆうげんとなるような定式ていしき化かを完成かんせいさせた。問題もんだい発生はっせいから繰くり込こみによる解決かいけつまでの20年ねん、超ちょう多た時間じかん論ろん・相互そうご作用さよう表示ひょうじ・経路けいろ積分せきぶんを経へて、繰くり込こみは建設けんせつされた。これらの業績ぎょうせきにより朝永あさなが、シュウィンガー、ファインマンの3人にんは1965年ねんにノーベル物理ぶつり学がく賞しょうを受賞じゅしょうした。ファインマンによるファインマン・ダイアグラムを用もちいた数学すうがく的てきなテクニックは朝永あさなが、シュウィンガーの演算えんざん子こを用もちいる計算けいさん方法ほうほうとはかなり異ことなるように見みえたが、後のちにダイソンはこの二ふたつのアプローチが数学すうがく的てきに等価とうかであることを証明しょうめいした。

「ジュリアン・シュウィンガー」、「リチャード・P・ファインマン」、および「フリーマン・ダイソン」を参照さんしょう

繰くり込こみは場ばの量子りょうし論ろんにおける基本きほん的てきな概念がいねんの一ひとつであり、理論りろんの妥当だとう性せいを保証ほしょうするために必要ひつよう不可欠ふかけつな操作そうさである。繰くり込こみの導入どうにゅうによって物理ぶつり的てきな矛盾むじゅんは解消かいしょうできたが、ファインマン自身じしんはその数学すうがく的てきな妥当だとう性せいについては最後さいごまで満足まんぞくせずに、"shell game"（「いんちき」）、"hocus pocus"（「奇術きじゅつ」）のようだと自著じちょで述のべている。 また、超ちょう多た時間じかん論ろんで「湯川ゆかわ-ディラックの因果律いんがりつの破やぶれ」の問題もんだいは回避かいひされたが、超ちょう対称たいしょう性せいを世界せかいで最初さいしょに提起ていきした宮沢みやざわ弘ひろし成なりは、場ばの量子りょうし論ろんにおける因果律いんがりつの破やぶれは最終さいしゅう的てきな解決かいけつにいたっていないと主張しゅちょうしている。

「湯川ゆかわ秀樹ひでき」および「宮沢みやざわ弘ひろし成なり」を参照さんしょう

基本きほんモデルとして

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくはその後ごに発展はってんする場ばの量子りょうし論ろんに関かんする数々かずかずの理論りろんの基礎きそ的てきなモデルとして採用さいようされている。1964年ねんにフランソワ・アングレール、ロベール・ブルー、ゲラルド・グラルニク、カール・リチャード・ハーゲン、トム・キッブル、ピーター・ヒッグスによってヒッグス機構きこうが考案こうあんされた。さらに、1961年ねんにシェルドン・グラショウが電でん弱じゃく統一とういつ理論りろんの基礎きそを構築こうちくし、これらの理論りろんと自発じはつ的てき対称たいしょう性せいの破やぶれ、南部なんぶ＝ゴールドストーンの定理ていりなどを組くみ合あわせることで1967年ねん、スティーヴン・ワインバーグとアブドゥッサラームがそれぞれ独立どくりつの研究けんきゅうで電磁でんじ相互そうご作用さようと弱よわい相互そうご作用さようを一ひとつの相互そうご作用さようへと統一とういつすることに成功せいこうし、電でん弱じゃく統一とういつ理論りろんが初はじめて完成かんせいした。一方いっぽう、強つよい相互そうご作用さようを記述きじゅつする量子りょうし色しょく力学りきがくは、1971年ねんのヘーラルト・トホーフトによる非ひ可か換かわゲージ場じょうのくり込こみ可能かのう性せいの証明しょうめいや1973年ねんのH. デビッド・ポリツァー、デイビッド・グロス、フランク・ウィルチェック による漸近ぜんきん的てき自由じゆう性せいの研究けんきゅうによって強つよい相互そうご作用さようの基礎きそ理論りろんとしての地位ちいを固かためた。

定式ていしき化か

数学すうがく的てきには、量子りょうし電磁でんじ力学りきがく（以下いか、QEDと表記ひょうき）はU(1)対称たいしょう性せいを持もつ可か換かわゲージ理論りろんである。電荷でんかを持もつ物質ぶっしつ場じょう同士どうしの相互そうご作用さようを媒介ばいかいするゲージ場じょうは電磁場でんじばである。

電磁場でんじば A と相互そうご作用さようする物質ぶっしつ場じょう ψぷさい についてのQED作用さよう積分せきぶんは以下いかのように表あらわされる。

$S_{\mathrm {QED} }[\psi ,A]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )+\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{A}(\partial A)$

ここで、${\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$ は物質ぶっしつ場じょうのラグランジアン密度みつどであり、微分びぶんは ${\mathcal {D}}\psi$ は共きょう変へん微分びぶん

${\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}(x)=\partial _{\mu }\psi _{j}(x)-ieA_{\mu }(x)Q_{j}\psi _{j}(x)$

に置おき換かえられる。e は電磁でんじ相互そうご作用さようの結合けつごう定数ていすうで素す電荷でんかである。 Q_j は物質ぶっしつ ψぷさい_j の U(1) チャージである。 ${\mathcal {L}}_{A}(\partial A)$ は電磁場でんじばの運動うんどう項こうであり、

${\mathcal {L}}_{A}(\partial A)=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

である。$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ は電磁場でんじばテンソルである。

ディラック場じょう

物質ぶっしつ場じょうが質量しつりょう m のディラック場じょうの場合ばあいは

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}\right)\\&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}+eA_{\mu }Q_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}\right)\end{aligned}}$

となる。${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma _{0}$ はディラック場じょうの共きょう役場やくばで、$\gamma ^{\mu }$ はガンマ行列ぎょうれつである。

ディラック場じょうについてのラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしきを計算けいさんすると

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}-eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}=0$

となる。第だい3項こうを右辺うへんへ移行いこうして

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}=eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}$

とすれば、左辺さへんが通常つうじょうのディラック方程式ほうていしき、右辺うへんがディラック場じょうと電磁場でんじばとの相互そうご作用さよう項こうとなる。

また4元げん電流でんりゅう密度みつどは

$j^{\mu }(x)=-{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }[\psi ,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{j}eQ_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}$

である。

関連かんれん項目こうもく

• 繰くり込こみ理論りろん
• ファインマンダイアグラム
• ヤン＝ミルズ理論りろん
• 木下きのした東一郎とういちろう