電磁場でんじばの量子りょうし化か

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくでは電磁場でんじばの量子りょうし化か（でんじばのりょうしか）により、粒子りゅうしの運動うんどう量りょうは演算えんざん子こに置おき換かわる。量子りょうし化かによって電磁場でんじばは光子こうしの集あつまりであることがわかる。つまり、光子こうしの状態じょうたいを表あらわす電磁でんじポテンシャルの時間じかん微分びぶんが電場でんじょう、空間くうかん微分びぶんが磁場じばである。

電磁場でんじばの量子りょうし化かには2通とおり考かんがえられる。1つ目めの方法ほうほうは、場ばの量子りょうし論ろんの知識ちしきによって古典こてん的てきな電磁場でんじばを量子りょうし化かして、量子りょうし化かされた電磁場でんじばを得える方法ほうほうである。

2つ目めの方法ほうほうは、古典こてん電磁気でんじき学がくと解析かいせき力学りきがくによって「古典こてん的てきな電磁場でんじばは、無限むげん個この古典こてん的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この集あつまりと等価とうかである」ことを示しめし、その調和ちょうわ振動しんどう子こを量子力学りょうしりきがくの知識ちしきによって量子りょうし化かする。すると無限むげん個この量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こを得えられるが、それを量子りょうし化かされた電磁場でんじばと考かんがえる。以下いかではこちらの方法ほうほうについて述のべる。

古典こてん的てきな電磁場でんじばと調和ちょうわ振動しんどう子こ

体積たいせきV = L³の立方体りっぽうたいに閉とじ込こめられた電磁場でんじばを考かんがえる。この電磁場でんじばは、電場でんじょうE(r,t)と磁場じばB(r,t)という２ふたつのベクトル場じょうからなり、マクスウェル方程式ほうていしきを満みたす。 真空しんくう中ちゅうでは電磁でんじポテンシャルであるベクトルポテンシャルA(r,t)とスカラーポテンシャルΦふぁい(r,t)を導入どうにゅうすることで以下いかのように表あらわせる。

${\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}$

ここで ∇×A はAの回転かいてんである。A(r,t)とΦふぁい(r,t)の取とり方かたには任意にんい性せいがあるが、今回こんかいはクーロンゲージ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=0$を採用さいようする。つまり横波よこなみのみを扱あつかう。

このような電磁でんじポテンシャルを用もちいてマクスウェル方程式ほうていしきを書かき換かえると、ベクトルポテンシャルは波動はどう方程式ほうていしきを満みたさなければならないことがわかる。よってEやBの成分せいぶんが実数じっすうであることを考慮こうりょすると、 ベクトルポテンシャルは平面へいめん波は$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$を基底きていにして次つぎのようにフーリエ展開てんかいすることができる（*は複素ふくそ共役きょうやくを示しめしている）。

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\sqrt {\frac {1}{V}}}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =-1,1}\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\,e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+a_{\mathbf {k} }^{*(\mu )}(t)\,e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)$

$a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=|a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}|e^{-i\omega t+\theta }$

ただし$|a^{(\mu )}|$と$\theta$は初期しょき条件じょうけんから決きまる任意にんい定数ていすう。よってベクトルポテンシャルの時間じかん依存いぞん性せいは、調和ちょうわ振動しんどう子こと同おなじ形がたになっている。

また波動はどう方程式ほうていしきとクーロンゲージを満みたさなければならないので

$\omega =c|\mathbf {k} |$

$\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\cdot \mathbf {k} =0$

またAは箱はこの反対はんたい側がわの壁かべと同おなじ値ちを持もつという周期しゅうき的てき境界きょうかい条件じょうけんの結果けっか、波数はすうベクトルkの成分せいぶんは離散りさん値ちを持もつ。

$\mathbf {k} ={\frac {2\pi }{L}}(n_{x},n_{y},n_{z})\qquad n_{x},\;n_{y},\;n_{z}=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots$

このkを１ひとつ決きめると、それと垂直すいちょくな２ふたつの単位たんいベクトル（偏へん光こうベクトル）$\mathbf {e} ^{(\mu )}$と、時間じかん依存いぞん性せいを表あらわす$\omega$が決きまりベクトルポテンシャルが１ひとつ定さだまる。

古典こてん的てきな電磁場でんじばのハミルトニアンは次つぎのような形かたちになる。

$H={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}\left(E(\mathbf {r} ,t)^{2}+c^{2}B(\mathbf {r} ,t)^{2}\right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

ここで$Q_{\mathbf {k} \mu }(t)\equiv a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{*(\mu )}(t)$を導入どうにゅうし、これまでの結果けっかを代入だいにゅうすると

$H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\frac {\epsilon _{0}}{2}}({\dot {Q}}_{\mathbf {k} \mu }^{2}(t)+\omega ^{2}Q_{\mathbf {k} \mu }^{2}(t))$

これは電磁場でんじばのエネルギーが無限むげん個この１次元じげん調和ちょうわ振動しんどう子この和やわであることを示しめしている。ここで一般いっぱん化か運動うんどう量りょう$P_{\mathbf {k} \mu }=\epsilon _{0}{\dot {Q}}_{\mathbf {k} \mu }$を導入どうにゅうすると

$H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }({\frac {1}{2\epsilon _{0}}}P_{\mathbf {k} \mu }^{2}(t)+{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\omega ^{2}Q_{\mathbf {k} \mu }^{2})$

電磁場でんじばの量子りょうし化か

粒子りゅうしにおける量子りょうし化かでは、運動うんどう量りょうを演算えんざん子こに置おき換かえる方法ほうほうである。

$\mathbf {p} (t)\rightarrow -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}$

プランク定数ていすうはここで導入どうにゅうされ、古典こてん的てき表現ひょうげんの時間じかん依存いぞん性せいは量子力学りょうしりきがく的てきな演算えんざん子こには引ひき継つがれない（これはシュレーディンガー描像でも言いえる）。

電磁場でんじばでも同様どうようのことを行おこなう。

$P_{\mathbf {k} \mu }(t)\rightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial Q_{\mathbf {k} \mu }}}$

さらに次つぎのような生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを導入どうにゅうする。

${\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }={\sqrt {\frac {\omega \epsilon _{0}}{2\hbar }}}({\hat {Q}}_{\mathbf {k} \mu }-{\frac {i}{\omega \epsilon _{0}}}{\hat {P}}_{\mathbf {k} \mu })$

${\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }={\sqrt {\frac {\omega \epsilon _{0}}{2\hbar }}}({\hat {Q}}_{\mathbf {k} \mu }+{\frac {i}{\omega \epsilon _{0}}}{\hat {P}}_{\mathbf {k} \mu })$

すると量子りょうし化かされたベクトルポテンシャルは以下いかのように生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを用もちいて表あらわされる。

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{\mathbf {k} }V\epsilon _{0}}}}\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)$

よって電場でんじょうと磁場じばは次つぎのようになる。

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{\mathbf {k} }}{2V\epsilon _{0}}}}\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{\mathbf {k} }V\epsilon _{0}}}}[\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )]\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)$

古典こてん的てきな電磁場でんじばのハミルトニアンで同おなじように演算えんざん子この置おき換かえをすることで、量子りょうし論ろん的てきな電磁場でんじばのハミルトニアンが得えられる。

${\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega _{\mathbf {k} }{\Big (}{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }+{\frac {1}{2}}{\Big )}$

よって量子りょうし化かされた電磁場でんじばは、量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この集合しゅうごうであることがわかる。