Математика

Математика (қадимги юнонча: μみゅーᾰθημᾰτικά; μάθημα — „билим“, „фан“) — аниқ мантиқий мушоҳадаларга асосланган билимлар ҳақидаги фан. Дастлабки обекти саноқ бўлгани учун кўпинча унга „ҳисоб-китоб ҳақидаги фан“ деб қаралган (бугунги математикада ҳисоблашлар, ҳатто формулалар устидаги амаллар жуда кичик ўрин эгаллайди). Математика энг қадимий фанлардан бири бўлиб, узоқ ривожланиш тарихини босиб ўтган ва бунинг баробарида „математика нима?“ деган саволга жавоб ҳам ўзгариб, чуқурлашиб борган. Юнонистонда математика деганда геометрия тушунилган. ИХ—ХИИИ асрларда математика тушунчасини алгебра ва тригонометрия кенгайтирган. 17—18-асрларда математикада аналитик геометрия, дифференсиал ва интеграл ҳисоб асосий ўринни эгаллаганидан сўнг, то ХХ аср бошларигача у „миқдорий муносабатлар ва фазовий шакллар ҳақидаги фан“ мазмунида таърифланган. ХИХ аср охири ва ХХ аср бошларида турли геометриялар (Лобачевский геометрияси, проектив геометрия, Риман геометрияси каби), алгебралар (Бул алгебраси, кватернионлар алгебраси, Кели алгебраси каби), чексиз ўлчовли фазолар каби мазмунан жуда хилма-хил, кўпинча сунъий табиатли обектлар ўрганила бошланиши билан математиканинг юқоридаги таърифи ўта тор бўлиб қолган. Бу даврда математик мантиқ ва тўпламлар назарияси асосида ўзига хос мушоҳада услуби ҳамда тили шаклланиши натижасида математикада энг асосий хусусият — қатъий мантиқий мушоҳада, деган ғоя вужудга келди (Ж. Пеано, Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Хилберт). ХХ аср ўрталарида Бурбаки тахаллуси остида математика таърифини қайта кўриб чиққан бир гуруҳ франсуз математиклари бу ғояни ривожлантириб, „Математика — математик структуралар ҳақидаги фан“ деган таъриф киритди. Бу ёндашув аввалги таърифларга кўра кенгроқ ва аниқроқ бўлсада, барибир чекланган эди — структуралар ўртасидаги муносабатлар (масалан, математика, туркумлар назарияси, алгебраик топология), амалий ҳамда татбиқий назариялар, хусусан, физика, техника ва ижтимоий фанларда математик моделлар бу таъриф доирасига сиғавермас эди. Сўнгги асрда хилма-хил математик обектлар орасида жуда чуқур муносабатлар мавжудлиги ва айнан шунга асосланган натижалар Математиканинг бундан кейинги тараққиётида асосий ўринни эгаллашини кўрсатмоқда. Электрон ҳисоблаш воситалари билан бирга Математика татбиқларининг кенгайиши (биометрия, социометрия, эконометрика, психометрия ва бошқалар), математик усуллар ҳаётининг турли соҳаларига жадал суръатлар билан кириб бораётгани ҳам Математика предметини ихчам таъриф билан қамраб бўлмайдиган даражада кенгайтириб юборди. Демак, Математика аксиоматик назариялар ва математик моделларни, улар орасидаги муносабатларни ўрганадиган, хулосалари қатъий мантиқий мушоҳадалар орқали асосланадиган фандир. Дастлаб оддий саноқ сонлар ва улар устидаги арифметик амаллардан бошланган тематик билимлар умуминсоний тараққиёт билан бирга кенгайиб ва чуқурлашиб борган. Энг қадимги ёзма манбалардаёқ (масалан, математик папируслар) каерлар устида амаллар ва чизиқли тенгламаларни ечишга доир мисоллар учрайди. Суғорма деҳқончилик, меъморликнинг ривожланиши, астрономик кузатувларнинг аҳамияти ортиши геометрияга оид далиллар жамғарилишига олиб келган. Масалан, Қадимги Мисрда томонлари 3, 4 ва 5 бирлик бўлган учбурчак тўғри бурчакли булишидан фойдаланилган. Бу давр Математикасининг олий ютуқларини мунтазам тўртбурчакли кесик пирамида ҳажмини ҳисоблаш қоидаси (ҳозирги ёзувда В— (а2 + аб + б2) Л/3 формулага мос келади) ва л= (16/9)2 тақрибий қийматини мисолларида кўриш мумкин.

Юнонистонда геометрик хоссалар фақат кузатув ва тажриба йўли билангина топилмай, аввалдан маълум хоссалардан келтириб чиқарилиши мумкинлиги ҳам пайқалган ҳамда дедуктив исбот ғояси ривожлантирилган (Фалес, Пифагор ва бошқалар). Бу ғоянинг чўққиси Евклиднинг „Негизлар“ асарида геометриянинг аксиоматик қурилиши бўлди. Бу китоб Математиканинг кейинги ривожига катта таъсир қилди ва ХИХ аср бошларигача мантиқий баённинг мукаммаллиги бўйича намуна бўлиб келди. Юнонлар Математикани геометрия билан тенглаштириб, санъат даражасига кўтарганлар. Бунинг натижасида планиметрия ва стереометрия анча мукаммал даражага етган. Фақат 5 хил қавариқ мунтазам купёқликнинг мавжудлиги (Платон), квадратнинг томони билан диагонали умумий ўлчовга эга эмаслиги (Пифагор), нисбатлар назариясига асосланган сон тушунчаси (Эвдокс), қамраш усули билан эгри чизиқли шакллар юзи ва ер узунлигини, жисмлар ҳажмини ҳисоблаш, Герон формуласи, конус кесимлари (Аполлоний, Пергаёс), стерографик проексия (Птолемей), геометрик ясашлар ва шу муносабат билан турли эгри чизиқларнинг ўрганилиши юнон геометриясининг тараққиёт даражаси ҳақида тасаввур беради. Юнон олимлари қўйган бурчак трисексияси, кубни иккилаш, доира квадратураси, мунтазам кўпбурчак ясаш масалалари ХИХ асрга келиб ўз ечимини топди, мукаммал ва „дўст“ сонлар ҳақидаги муаммолар эса ҳамон очиқлигича қолмоқда. Айниқса, Архимед тадқиқотларида юнон Математикаси ўз давридан жуда илгарилаб кетган — у интеграл ҳисоб, оғирлик маркази ғояларини қўллаган. Юнон олимлари тригонометрияга оид дастлабки маълумотларга ҳам эга бўлганлар (Гиппарх, Птолемей), Диофантнинг „Арифметика“ асарида сонлар назариясига оид масалалар қаралган.

Айни пайтда Математика Қадимги Хитой ва Ҳиндистонда ҳам тараққий топди. „Тўққиз китобли математика“ номли хитой манбасида (милоддан аввалги ИИ-И асрлар) натурал сонлардан квадрат ва куб илдиз чиқариш қоидалари берилган. Кейинроқ хитой олимлари чизиқли тенгламалар системаси ва чегирмалар назарияси билан шу-ғулланиб, хусусан, „қолдиқлар ҳақидаги хитой теоремаси“ни топганлар. В асрда Сзу Чун-чжи πぱい сони 3,1415926 билан 3,1415927 оралиғида бўлишини кўрсатган.

Ҳиндистонда Математика Ариабҳата (В аср), Браҳмагупта (ВИИ аср), Бхаскара (ХИИ аср) ишларида ривожлантирилган. Ҳинд Математикасининг оламшумул ютуғи ўнли саноқ системаси ва 0 рақамининг ихтиро қилинишидир. Шунингдек, ҳинд олимлари манфий сонлар ва иррационал ифодалар билан таниш бўлганлар, геометрияда муҳим натижаларни қўлга киритганлар.

Юнон, хитой ва ҳинд Математикаси бир-биридан деярли мустақил ҳолда мавжуд бўлган. ИИИ-ИВ асрларга келиб Юнонистонда фан инқирозга учрайди, мавжуд асарлар ҳам унутила бошлайди. Европа сивилизациясининг бундан кейин то Уйғониш давригача бўлган даври „зулмат асрлари“ деб аталган (А. Мец). ВИИ асрда ислом дини тарқалиши ва Араб халифалиги вужудга келиши билан фан ҳамда маданият юксалиши учун янги шароит туғилди. Ҳорун ар Рашид даврида халифалик пойтахти Бағдод йирик шаҳарга айланиб, бу ерга турли минтақалардан олимлар кела бошлайди. Улар дастлаб юнон, сурёний ва ҳинд тилидаги асарларни арабчага ўгириш билан шуғулланган. Хуросон ва Мовароуннаҳр волийси этиб тайинланган Ҳорун ар Рашиднинг ўғли Маъмуннинг илмпарварлиги туфайли Марвга ўрта Осиёлик олимлар йиғила бошлайди. 813-йилда халифаликка ўтирган Маъмун Марвдаги олимлар тўгарагини Бағдодга олиб кетади ва машҳур „Байт ул-ҳикма“ (Маъмун академияси)га асос солади. Бу илмий муассасага Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий раҳбарлик қилгани ҳақида маълумотлар сақланган. „Байт ул-ҳикма“да, шунингдек, Аҳмад ал-Фарғоний, Ибн Турк ал-Хутталий, Ҳабаш Ҳосиб ал-Марвазий, Мусо ибн Шокир ўғиллари каби кўплаб ўрта Осиёлик олимлар фаолият кўрсатгани бу ўлкада араблар истилосига қадар ҳам фан ривожланганлиги, хусусан, ёш иқтидорли олимлар чиқиши учун қулай муҳит мавжуд бўлганлигидан далолат беради.

ИХ асрдан фан тарихи „Мусулмон ренессанси“ деб номланган янги юксалиш даврига киради. „Байт ул-хикма“да Юнонистон, Ҳиндистон, Хоразм ва Хитойда жамғарилган билимлар синтез қилиниб, Математика изчил ривожлантирила бошланди. Хоразмий тарқоқ билимларни тартибга келтириб, алгебрага асос солади. Унинг ўнли саноқ системаси баён қилинган асари туфайли бу қулай ҳисоблаш воситаси дунёга ёйилди. Асарлари ўқимишли бўлиши учун Хоразмий аниқ ва лўнда баён услубини қўллаган. Шу туфайли унинг асарлари кенг тарқалган. Хоразмий услуби европалик таржимонлар томонидан муаллиф номи билан алгоритм деб аталган.

Мусулмон Шарқи олимлари геометрияни ҳам ривожлантирган (Собит ибн Қурра, Абулвафо, Умар Хайём), тригонометрияга фан сифатида асос солганлар (Ибн ал-Ҳайсам, Беруний, Тусий), хусусан, Аҳмад ал-Фарғоний томонидан Птолемейнинг стереографик проексия ҳақидаги теоремасининг исботланиши Бағдод академиясида геометрия чуқур ўрганилганини кўрсатди. Араб тилида ижод қилган математикларнинг учинчи ва тўртинчи даражали тенгламаларни геометрик усулда ечиш йўллари кейинчалик аналитик геометрия яратилишига туртки бўлган.

Математика ривожланишида Хоразм Маъмун академияси (Ибн Ироқ, Беруний) ҳам муҳим рол ўйнаган. Шарқ Математикаси ривожининг чўққиси эса Самарқанд илмий мактаби даврига тўғри келади. Улуғбек ва унинг раҳбарлигидаги олимлар (Қозизода Румий, Ғиёсиддин Коший, Али Қушчи, Мирам Чалабий, Ҳусайн Биржаний ва бошқалар) улкан расадхона қуриш, юлдузлар координаталари ва сайёралар ҳаракатини катта аниқликда кузатиш ишлари билан бирга кузатув натижалари бўйича ёритқичларнинг сферик координаталарини ҳисоблаш усулларини, интерполясия формулалари, кейинчалик Горнер схемаси деб аталган усулни ҳамда кетма-кет яқинлашишлар усулини ишлаб чиқадилар. Улуғбекнинг „Зижи жадиди Кўрагоний“ асаридан ўта аниқликдаги тригонометрик функсиялар жадваллари ҳам ўрин олган.

Улкан ҳажмдаги ҳисоблаш ишларини бажариш учун Улуғбек расадхонаси қошида махсус гуруҳ — ўзига хос ҳисоблаш маркази тузилган. Бунда масалан, х = син Г ни аниқлаш учун аввал геометрик усул билан син 3° ҳисобланган, сўнгра син3а = 3синаcос2а — син3а формула асосида х3-45хф0,785039343364006=0 тенглама тузилиб, синГ=0,0174524066437283571 қиймати топилган. Коший айланага мунтазам 3-228 бурчак чизиш йўли билан ж сонини вергулдан сўнг 17 хона аниқликда ҳисоблаган.

ХВИ асрдан Шарқда фан инқироз сари юз тутди. Ислом дунёси олимларининг асарлари Х-ХИИ асрлардан Европага тарқалиб, таржима қилина бошланган ва Математиканинг ХВИ асрдан жадал ривожланиш йўлига кириши учун замин ҳозирлаган. Жумладан, ал-Хоразмий, ал-Фарғоний асарлари Испания ва Италия орқали, Улуғбекнинг „Зижи жадиди Кўрагоний“ асари Истанбул орқали Европага кириб борган. Бу асарлар таъсирида Италияда Математикага қизиқиш кучайди (Л. Фибоначчи, Л. Пачоли, Н. Тарталя). Арифметик амаллар қаторидан даража, илдиз ва логарифм ўрин эгаллайди. Учинчи ва тўртинчи даражали тенгламаларнинг илдизлари ҳақиқий бўлсада, манфий сондан квадрат илдиз воситасидагина ечиш мумкинлиги комплекс сонларга эҳтиёж туғдиради.

ХВИИ асрдан Математика тарихининг Ж. Валлис, И. Кеплер, Р. Декарт, Б. Кавалери, П. Ферма, Ф. Виет ва бошқа Паскал номлари билан боғлиқ янги даври бошланади. Математик белгилашлар кенг жорий этилади. Бу, ўз навбатида, Математика ривожига ижобий таъсир этади, аналитик геометрия, проектив геометрия, эҳтимоллар назарияси ва сонлар назариясига асос солади. Бирин-кетин очила бошлаган университетларда Математика асосий предметга айланади.

Бу даврда франсуз олими М. Мерсенн орқали дунё олимлари ўртасида олиб борилган ўзаро ёзишмалар туфайли дастлабки халқаро математиклар жамоаси вужудга келди, улар ўртасида илмий мусобақа муҳити кучайди, натижада янги обектлар (чизиқлар ва тенгламалар) тадқиқотга тортилди, экстремум топиш, уринма ясаш, юзларни ҳисоблаш, комбинаторикага оид янги масалалар қўйиш раем бўлди, функсиялар, яъни ўзгариши бир-бири билан боғлиқ катталиклар билан ишлашга тўғри кела бошлади. Бундай масалаларни ечишда элементар усуллар етишмагани учун чексиз марта такрорланадиган амалларга мурожаат эта бошладилар. Б. Кавалери айланма жисмлар ҳажмини ҳисоблашда „бўлинмаслар усули“ни қўллади, Ф. Виет айниятни, Ж. Валлис 12.32.52.72,. тенгликни, Н. Меркатор формулани топди. И. Барроу эгри чизиқли температурапеция юзи билан уринманинг ўзгариши орасидаги муносабатни пайқади. ХВИИ аср охирида бу йўналишдаги изланишлар дифференсиал ва интеграл ҳисоб яратилишига олиб келади. Г. Лейбниц янги ҳисобга „чексиз кичик“ катталиклар тушунчасини асос қилиб олди — бундай катталиклар ўз ҳолича аниқ маънога эга бўлмасада, уларнинг нисбатлари ва чексиз йиғиндилари тайин қийматларга тенг чиқар эди. Лейбниц бу усул билан геометриянинг аввалдан ечилмай келган кўплаб муаммоларини ҳал этиш мумкинлигини кўрсатди (1782—86 йй.).

И. Нютон дифференсиал ва интеграл ҳисоб ғоясига бошқа томондан — механика масалалари орқали ёндашди. Бу ерда ҳам аҳвол геометрияга ўхшаш эди: текис ҳаракатларни ўрганган Г. Галилей учун элементар геометрия ки-фоя қилган бўлса, мураккаброқ ҳаракатлар мураккаброқ чизиқларни текширишни талаб этар эди. И. Нютон 1669-йилда бу мавзудаги тадқиқотлари жамланган „Флюксиялар методи“ номли асарини И. Барроу ва Ж. Коллинзга тақдим этган, лекин у 1736-йилда нашр этилган.

18-асрда М. тараққиёти, асосан, дифференсиал ва интеграл ҳисобни ривожлантириш ҳамда татбиқ этиш билан боғлиқ бўлди. Бернуллилар оиласи, Эйлер, Дъаламбер, Лагранж, Лежандр ва Лаплас каби кўплаб атоқли олимлар янги соҳани атрофлича ривожлантириб, математик анализ номи билан кучли тадқиқот қуролига айлантирдилар. Унинг асосида дифференсиал тенгламалар, вариацион ҳисоб ва дифференсиал геометрия каби мустақил соҳалар вужудга келди.

Бу даврда Париж, Берлин, Петербург академиялари ва Кембриж университети йирик фан марказларига айлангани, дастлабки илмий жур.лар нашр этила бошлагани М. тараққиётини жадаллаштирди. Проектив геометрия, эҳтимоллар назарияси, чизиқли алгебра ва сонлар назарияси ривож топди, комплекс сонлар кенг қўлланиб, комплекс ўзгарувчили функсиялар ўрганила бошлади.

19-асрда ҳам М.нинг ривожи асосан 2 йўналишда: ҳам бўйига, ҳам илдизи томон ўсишда давом этди. Бу даврда М.нинг ҳозир университетлар қуйи курсларининг дастурини ташкил этадиган соҳалари: математик анализ, аналитик геометрия ва чизиқли алгебра, дифференсиал тенгламалар, ҳақиқий ҳамда комплекс ўзгарувчили функсиялар назариялари асосан шаклланиб бўлди ва улар асосида мутлақо янги ғоялар кун тартибига чиқа бошлади.

К. Ф. Гаусс л даражали кўпҳад комплекс сонлар майдонида пта чизиқли кўпайтувчига ажралишини (алгебранинг асосий теоремасини) бекаму кўст исботлади. Бир неча аср давомида 5 даражали тенгламани ечиш масаласи математикларни безовта қилиб келган эди. П. Руффини ва Н. Абел бу тенглама илдизини унинг коэффициентлари орқали тўрт арифметик амал ҳамда илдиз чиқариш орқали ифодалаш мумкин эмаслигини асосладилар. Э. Галуа эса Лагранж, Лежандр ғояларини давом эттириб, алгебраик тенглама ана шу маънода ечилишечилмаслиги масаласи иЛдизларининг симметрик функсиялари тенгламанинг коэффициентлари орқали ифодаланишига боғлиқ бўлишини кўрсатди. Бу ерда Галуа биринчи марта симметриянинг ўлчови вазифасини бажарадиган группа тушунчасини қўллади. Бундан аввалроқ шунга яқин ғоя асосида Гаусс сиркул ва чизғич ёрдамида мунтазам кўпбурчак ясаш муаммосини ҳал қилган эди. Галуа ғояларидан ҳосил бўлган майдонлар назарияси бундай ясашлар масаласини умумий ҳолда ҳал қилиш им-конини берди.

Гаусс ва Галуа ғоялари таъсирида аввал мустақил ривожланган соҳаларнинг бир-бирига аралашуви бошланди: комплекс ўзгарувчили функсиялар дифференсиал тенгламалар ва сонлар назариясига, алгебра — сонлар назарияси ва кристаллографияга татбиқ этилди. Айниқса, Клейн ҳар бир алмаштиришлар гуруппасига алоҳида геометрия мос келиши асосланган, фан тарихига „Эрланген дастури“ номи билан кирган маърузасидан сўнг математик крнуниятларнинг тагида ётувчи туб тамойиллар очила бошлади.

Айни пайтда М.нинг „илдизлари“ ҳам ўсди. Эвклид замонидан раем бўлиб келган тасдиқларни қатъий исботлаш принсипи ортга чекинди. Дифференсиал ва интеграл ҳисобни асосламай қўллаш, айниқса, чексиз амаллар билан эркин муомала қилиш парадокслар, англашилмовчиликлар келтириб чиқарди. Масалан, И— И + 1 — 1 + 1 —… йиғиндининг қиймати амалларни бажариш тартибига қараб 0, 1 ёки С га тенгчиқар, лог (— И)2 = логл2 тенгликка лог а" = нлога формулани қўллаб бўлмас эди ва ҳ. к. Узоқ вақт „дифференсиал“, „чексиз кичик“ тушунчалари таърифеиз қўлланилиб келинди, „функсия“, „узлуксиз“ деганда нимани тушуниш лозимлиги ҳам мунозарага сабаб бўлди.

10-аср бошида О. Кошининг дифференсиал ва интеграл ҳисоб лимит ҳамда узлуксиз тушунчаси асосида баён этилган дарелиги бу вазиятга анча ойдинлик киритди. Лекин узлуксиз функ-сиянинг интеграли мавжудлигини ис-ботлашда бу тушунчалар камлик қилди. Кемтикни тўлдириш йўлидаги уринишлар К. Веерштрассни „ҳақиқий сон нима?“ — деган саволга олиб келди. Айни пайтда Эвклиднинг машҳур бешинчи постулатини исботлаш учун минг йиллик самарасиз уринишлар ноэвклид геометрия ихтиро қилиниши билан якунланди. Бу эса геометрия асосларини чуқур тафтиш қилишни талаб эта бошлади.

19-аср охирига келиб математика асосларини мустаҳкамлаш бўйича катта қадамлар қўйилди: ҳақиқий сонлар назарияси тугалланди (Веерштрасс, Дедекинд), математик мантиқ шаклланди (Пеано, Фреге), функсиялар назарияси яратилди (Риман, Лебег, Фубини, Стилтес), геометриянинг аксиомалар системаси такомилга етказилди (Ҳилберт), тўплам тушунчасининг аҳамияти англанди, бу тушунча асосида геометрия каби бутун математикани ҳам қатъий аксиомалар асосига қуришга ишонч пайдо бўлди.

19-аср охири — 20-аср бошлари М. тарихида мисли кўрилмаган юксалиш йиллари бўлди. 1893-йилда Чикагода Америка қитъаси очилишининг 400 йиллиги муносабати билан кенг халқаро миқёсда М. конгресси ўтказилди. Конгрессда дунё математиклари мунтазам учрашиб, энг янги натижалар ҳақида маърузалар қилиб туришлари зарурати эътироф этилди. Дастлабки расмий халқаро М. конгресслари 1897-йилда Сюрихда ва 1900-йилда Парижда ўтказилди. Сюрих конгрессида А. Пуанкаренинг ғоялари етакчи мавзуни ташкил этган бўлса, Париж конгрессида эса Д. Ҳил-берт ўзининг машҳур 23 муаммосини баён этди. Пуанкаре ғоялари ва Ҳил-берт консепсияси М.нинг 20-аср давомидаги тараққиётига жуда унумдор таъсир кўрсатди.

Аммо М. асосларига чуқурроқ киришилгани сайин муаммолар ҳам ўткирлашиб борди — 20-асрнинг бошлари М. тарихидаги энг чуқур инқирозга тўқнаш келди — М.нинг асосларида чуқур зиддиятлар очила бошлади (Бурали — Форти, Рассел, Ришар, Греллинг парадокслари). Уларни енгиб ўтиш йўлидаги уринишлар натижасида тўпламлар назариясининг аксиоматик назарияси яратилди (Сермело, Френкел, Бернайс, Ж. Фон Нейман) ва „М. биноси яхлит мукаммал лойиҳа асосига қурилгани“ ҳақидаги Ҳилберт тасаввури қайта тикланди.

20-асрнинг 1-чорагида М.да қатъий исбот ғояси батамом шаклланди. Шу асосда Н. Бурбаки бутун М.нинг асосий қисмини ягона усул — натижаларни энг умумлашган тарзда баён қилиш мақсадида „Математика элементлари“ номли кўп жилдли монографияни чоп этишга киришди. Бурбаки тарғиб қилган услуб М.нинг айрим (абстракт) соҳалари ривожига катта туртки берди. Бир катор давлатларда (жумладан, собиқ Иттифокда) М.ни ўқитиш „бурбакизм“ услубида ислоҳ қилина бошлади, лекин муваффақияциз чиққан бу тажриба М. таълимида ҳозиргача енгиб ўтилмаган муаммоларни келтириб чиқарди.

20-аср ўрталаридан М. икки йўналишда ривожлана борди: бир томондан, илмийтехник тараққиёт эҳтиёжи билан дифференсиал тенгламалар, математик физика, чекли М., эҳтимоллар назарияси, ҳисоблаш М.си классик соҳалар кенгайиб, ўта тармоқлашиб кетди, иккинчи томондан, М.нинг ичкм ривожланиш қонунларидан келиб чиққан масалалар биринчи ўринда турувчи, татбиқ доираси жуда тор, ўта абстракт соҳалар (умумий алгебра, дифференсиал ва алгебраик геометрия, топология, функсионал анализ каби) соҳалар хилма-хил йўналишларни вужудга келтирди. Ривожланган мамлакатларда шаклланган йирик илмий мактаблар тор соҳалар бўйича йўналишларга бўлина бошлади. 20-асргача М. алохида олимларнинг машғулот обекти бўлиб келган бўлса, сўнгги юз йилда жамоавий фаолият табиатини касб эта бошлади. Илмий жур.лар, рисолалар, илмий тўпламлар, мақолалар сони геометрик прогрессия бўйича ўса бошлади. Бу эса, ўз навбатида, М. тараққиётида яна бир муаммо — турли йўналишлар ўртасида алоқаларнинг сусайиши, баён услубининг оғирлашиб кетиши, исботларнинг тўғрилигини текшириб кўришни ҳамда натижаларнинг тўғрилиги ё нотўғрилигига ишонч ҳосил қилишни мураккаблаштирди, мавзуларнинг ғоят майдалашиб кетишига олиб келди. Яхлит „математик“ касби „алгебраист“, „геометр“, „тополог“, „эҳтимолчи“ ва „функсионалчи“ каби ўнлаб ихтисосларга, уларнинг ҳар бири ҳам бир-бирини деярли тушунмайдиган юзлаб тор шохобча мутахассисларига бўлиниб кета бошлади. Бу ҳодисани М. Клайн „М.нинг янги инқирози“ деб баҳолади.

Гарчи бу табиатан ташкилий инқироз ҳали тўлиқ енгиб ўтилмаган бўлсада, 20-аср ниҳоясида М.да янги кўтарилиш юз берди, хусусан, Ферманинг катта теоремаси исботланди (Э. Уайлс), М.нинг бир-биридан йироқ соҳалари ўртасида чуқур алоқалар очила бошлади. М. соҳасида таъсис этилган халқаро Фиэлдс медалига сазовор бўлган ишларнинг кўпчилиги М.нинг бир-биридан мустақил уч-тўрт соҳасига оид тушунча ва усуллар қўлланиб олинган натижалар экани „М. — яхлит фан“ деган консепсияга қайтадан жон бағишлади. АҚСҲ лик математик Д. Кнут томонидан универсал Тех матн муҳаррири ишлаб чиқилиши ва электрон алоқа вужудга келиши 21-асрда М. ривожланиши учун янги уфкларни очиб бермоқда. Бугун П. Диракнинг қуйидаги рамзий таърифи яна ҳам ўринлироқ: „М. бу — исталган табиатли абстракт ту-шунчалар билан ишлаш учун махсус мослашган қуролдир. Бу борада унинг қудратига чеку чегара йўқ“.

Ўрта асрларда ҳозирги Ўзбекистон ҳудуди ва унинг атрофидаги минтақада юксалишга эришган М. фани тараққи-ёти 16-асрдан тўхтаб қолди. 20-асрнинг 2-чорагидан бу соҳада янги юксалиш даври бошланди. 1918-йилда ташкил этилган Марказий Осиёдаги биринчи университет (ҳозирги Ўзбекистон миллий университети) да В. И. Романовский М. профессори бўлди. Шарқона миллий қадриятларни чуқур ҳурмат қилган, ўзбек тилини ўрганган профессор иқтидорли ёшлардан профессионал математиклар етиштиришга киришди ва Тошкент эҳтимоллар назарияси ва математик статистика мактабига асос солди. Бу мактабдан Т. А. Саримсоқов, С. Ҳ. Сирожиддинов, Т. Азларов, Ш. Фармонов каби юздан ортиқ мутахассислар етишиб чикди. Халқаро Бернулли жамиятининг И конгресси Тошкентда ўтказилгани (1986-йил) бу соҳада Ўзбекистонда олиб борилаётган тадқиқотларнинг халқаро миқёсда тан олиниши натижасидир.

20-аср 50-йилларидан бошлаб республика М.нинг бошқа соҳалари бўйича ҳам илмий мактаблар вужудга келди. Т. А. Саримсокрв функсионал анализ соҳасида, И. С. Аржаних, М. С. Салоҳиддинов ва Т. Ж. Жўраев — математик физика тенгламалари назарияси, И. С. Куклес — оддий дифференсиал тенгламалар назарияси, Т. Н. Қори-Ниёзий, С. Ҳ. Сирожиддинов, Г. П. Матвиевская — математика тарихи, В. Қ. Қобулов, Ф. Б. Абуталиев, Н. А. Бондаренко, Т. Бўриев, А. Ф. Лаврик ҳисоблаш М.си ва сонлар назарияси йўналишларига асос солдилар. 20-асрнинг сўнгги чорагида оптимал бошқарув назарияси (Н. Ю. Сотимов), инвариантлар назарияси (Ж. Ҳожиев), математик физиканинг функсионал усуллари (Ш. О. Алимов), оператор алгебралари ва квант физикасининг математик усуллари (Ш. А. Аюпов) куп комплекс ўзгарувчили функсиялар назарияси (А. С. Садуллаев) каби энг замонавий соҳаларида тадқиқотлар йўлга қўйилди, Ўзбекистон математиклари Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Киев, Екатеринбургдаги илмий марказлар билан анъанавий алоқаларидан ташқари янги имкониятларга эга бўлдилар. Буюк Британия, Франсия, АҚШ илмий марказларида ўзбекистонлик математиклар асарлари мунтазам чоп этила бошлади.

1999-йилда Ўзбекистон математиклари жамияти ташкил этилди (раиси — Т. Ж. Жўраев), 1991-йилдан „Ўзбек математика журнали — Ўзбекский математический журнал“, 2001-йилдан ўқувчилар учун „Математика, физика ва информатика“ журнали нашр этила бошлади. Бугунги кунда (2001-йил) республикада 70 дан ортиқ фан доктори, 300 дан ортиқ фан номзоди фаолият кўрсатмоқда.

Адабиёт

Варден В., Пробуждаюшаяся наука, М., 1959;
История математики (в 3 томах), М, 1970—72;
Матвиевская Г. П., Учение о числе на средневековом Востоке, Т., 1967;
Бурбаки Н., Очерки по истории математики, М., 1963.

Методологияси: Пуанкаре А., О науке, М., 1990; Клайн М., Математика. Утрата определённости, М., 1984; Клайн М., Математика. Поиск истини, М., 1988; Математическое моделирование, М., 1979; М. тарихи, тўпламлар, Т. 2000; Фройдентал Г., Математика как педагогическая задача, Части 1 и 2, М., 1982-83.

^[1]

Математика гўзаллиги ва кенг миқёсининг намунаси

Фрактал — Манделброт то'плами (з_н+1 = з_н² + c)

Матемáтика (юнонча „μάθημα“ — „билим“, „μαθηματικός“ — „билимни ўрганиш“) — сонлар, структуралар, фазолар ҳамда ўзгаришларни тадқиқ этувчи фан. Аввалбошда математика ҳисоблаш, ўлчаш, шунингдек физик жисмлар табиатини дедуктив ўрганиш учун қўлланилган.

Бундан ташқари математика математик билимларнинг самарали узатилиши учун расмий тил таклиф этади. Шунинг учун математика табиий фанлар, иқтисодиёт, моделлаштиришда энг муҳим воситалардан биридир.

Математика, услубларнинг абсолют аниқлиги ва натижаларнинг хатосизлиги каби ўзига хос хусусиятларга эга. Унинг шу хусусиятлари бошқа барча фанлардан яққол ажратиб туради.

Энг қадимги математикага оид қўлёзмалар милоддан аввалги ВИ-асрда Юнонистонда Евклид томонидан ёзиб қолдиралган.

Кенг жамоатчиликда доирасида элементар метеметикакадан фойдаланилади. Қайсики, унинг ёздамида сонлар устида амаллар, амалий масалалар, оддий тенгламалар ва геометрик обектлар ўрганилади. Физика, кимё, информатика, иқтисодиёт ва хок. соҳаларда одатда амалий матеметика қўлланилади. Соф матеметиканинг ўзи фақатгина мавҳум абстракт тушунчаларни ўрганиб, ҳақиқий ҳаётда амалда мавжуд эмас. Соф математиканинг баъзи бир йўналишлари фалсафа ва мантиқ чегаралари билан чамбарчас боғлиқ.

Математиканинг услуб ва мақсадлари

Бошқа фанларга нисбатан математика, абстракциянинг энг юқори ўлчамдалиги ва аниқлиги билан ажралиб туради. Унинг бу хусусияти "фанлар подшохи" дейилишига сабабдир. Математик билимларнинг ниҳоятда мантиқийлиги, инсон онгининг бошланғич ақли етмаслигини намойиш этади. Матеметик исботлаш хосса ва тасдиқларни ҳақиқийлигини белгиловчи энг ишончли услубдир.

ХХ-ХХИ аср замонавий математикаси учун энг юқори аниқлик даражасига эришиш бу масалани тўлиқ умумийлаштиришдир. Агар кўрилаётган бошланғич масалаларга исбот талаб қилинмаса (аксиома), унда умумийлаштириш ёрдамида исботни келтириб чиқариш мумкин.

Тарихи

Ал-Хоразмийнинг *"Ал-Китаб ал-мукҳтасар фи ҳисаб ал-жабр wаъл-муқабала"* асаридан саҳифаси

Математика тарихдан илгариги даврларга бориб тақалади. Яъни биринчи абстракт математик тушунча бу — натурал сон. Матеметиканинг кенг кўламда ривож топиши антик Юнонистонда геометриядаги катта ютуғлар билан белгиланади. Математиканинг пайдо бўлишида ҳар хил савдо-сотиқ, ер тақсимлаш, қурилишлар ва вақтни ўлчаш каби амалий масалаларни ҳал қилиш, ечиш катта аҳамият касб этган.

Математиканинг ривожланишида ўрта асрлардаги ислом дунёсининг алоҳида ўз ўрни бор. У юнон математикасидан фарқ қилган ҳолда, нисбатан кўпроқ амалий характерга эга бўлган. Математика асосан савдо-сотиқ, касб-ҳунар, қурилиш, география, астрономия ва астрология, механика, оптика ва хок. йўналишларида кенг қўлланилган.

Ислом дунёсининг маданий маркази Бог'дод ҳисобланиб, Байт ал-Ҳикмага турли миллат олим ва уламолар йиғилишган.

Абу Абдуллоҳ Муҳаммад ибн Муса ал-Хоразмий (араб محمد بن موسى الخوارزمي) — (тахминан 780-850 йилларда яшаган) — машҳур О'рта Осиёлик мусулмон математиги, астрономи, астрологи, географи, ҳамда қомусий олимидир. Айрим манбаларга кўра, у форсий бўлган.

У, тахминан, 780-йилда Хоразмда (ҳозирги Хивада, Ўзбекистон) дунёга келган ва 850-йилларда вафот этган. Ал-Хоразмий ўз умрининг аксариятини Боғдоддаги Байт ал-Ҳикмада олим сифатида ишлаб ўтказди.

Унинг Алгебра асари чизиқли ва квадрат тенгламаlarning тизимли ечими тўғрисидаги биринчи китобдир. Шу сабабдан, у Диофант каби "алгебра фанининг отаси" деган унвонга сазовор бўлди. Унинг ҳинд рақамлари ҳақидаги Арифметика асарининг Лотин тилига таржимаси 12-асрда Ғарб оламига ўнлик рақамлар тизими ҳақидаги тушунчани олиб кирди. Ал-Хоразмий Батлимусning „Жўғрофия“ асарини кўриб чиқиб, янгилади ва шунингдек, унинг ўзи ҳам астрономия ва астрологияга оид бир қанча асарлар яратди.

Математиканинг гўзаллиги

Кўпчилик математиклар ўз соҳасини эстетик миқёсда етакчи деб баҳолашади. Ҳақиқатдан ҳам, кўпчилик математик исботлар "нодир" ҳисобланиб, уларнинг натижалари эса "гўзаллик" дир. Уларга мисол қилиб қўйидагиларни келтириш мумкин: Тпансцендент сони, Эйлер тенгламаси (э^иπぱい + 1 = 0) ва хок.

Математик асосий тушунчалари

Сонлар

$1,\;2,\;\ldots$	$0,\;1,\;-1,\;\ldots$
Натурал сонлар	Бутун сонлар
$1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {2}{3}},\;0{,}12,\;\ldots$	$1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots$
Рационал сонлар	Ҳақиқий сонлар
$-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots$	$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots$
Комплекс сонлар	Кватернионлар

Трансформация


Математик анализ	Вектор ҳисоблари	Дифференсиал тенгламалар	Динамик тизимлар	Хаос назарияси

Структураси


Сонлар назарияси	Алгебра	Гуруҳлаш назарияси	Тартиблаш назарияси

Фазо


Геометрия	Тригонометрия	Дифференсиал геометрия

Топология	Фракталлар

Дискрет математика

$\forall x(P(x)\Rightarrow P(x'))$
Математик мантиқ	Ечимлар назарияси	Криптография	Графлар назарияси

Математика ва фалсафа асослари

$P\Rightarrow Q\,$
Математик мантиқ	То'пламлар назарияси	Категирия назарияси

Амалий математика


Математик физика	Суюқлик механикаси	Сонлар математикаси	Оптималлаштириш	Эҳтимоллар назарияси	Статистика	Молиявий математика	Ўйинлар назарияси