初はつ定本ていほん
質しつ數すう分布ぶんぷ定理ていり，所以ゆえん究きわむ質しつ數すう之これ分ぶん佈。
質しつ數すう之の以無窮きゅう
假設かせつ質しつ數すう有ゆう窮きゅう，則のり有ゆう
p 1 , p 2 , ⋯ ⋯ , p n , {\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots \cdots ,p_{n},} p即そく質しつ數すう(prime number)
令れい諸しょ質しつ數すう相乘そうじょう，復ふく加か壹いち，得とくr
[ ∏ k = 1 n p k ] + 1 = r {\displaystyle \left[\textstyle \prod _{k=1}^{n}\displaystyle p_{k}\right]+1=r}
令れいr除じょ以質數すう，得とく
r ÷ p j = ηいーた + 1 p j , ηいーた ∈ Z , 1 p j ∈ ( 0 , 1 2 ] {\displaystyle r\div p_{j}=\eta +{\frac {1}{p_{j}}},\eta \in \mathrm {Z} ,{\frac {1}{p_{j}}}\in (0,{\frac {1}{2}}]}
故こ r p j ∉ Z {\displaystyle {\frac {r}{p_{j}}}\not \in \mathrm {Z} } ，故こr屬ぞく質しつ數すう，有ゆう悖もと於假設かせつ，故こ題だい得とく證しょう。
質しつ數すう皆みな相しょう隣となり於 6 n , n ∈ N ∗ {\displaystyle 6n,n\in \mathrm {N^{*}} } ，且 2 , 3 {\displaystyle 2,3} 除外じょがい。
2 n ′ ÷ 2 = n ′ , n ′ ∈ N ∗ {\displaystyle 2n'\div 2=n',n'\in \mathrm {N^{*}} }
故こ
6 n , 6 n + 2 , 6 n + 4 ∈ 2 n {\displaystyle 6n,6n+2,6n+4\in 2n}
同どう理り
3 n ′ ÷ 3 = n ′ , n ′ ∈ N ∗ {\displaystyle 3n'\div 3=n',n'\in \mathrm {N^{*}} }
6 n + 3 ∈ N ∗ {\displaystyle 6n+3\in \mathrm {N^{*}} }
故こ命題めいだい得とく證しょう
十じゅう進しん制せい
2,3,5,7,11,13,17,19,etc
六ろく進しん制せい
2,3,5,11,15,21,25,31,etc
質しつ數すう漸やや稀まれ
由よし定理ていり二に可知かち
p 3 = 6 − 1 , p 4 = 6 + 1 , p 5 = 2 × 6 − 1 , p 6 = 2 × 6 + 1 , e t c {\displaystyle p_{3}=6-1,p_{4}=6+1,p_{5}=2\times 6-1,p_{6}=2\times 6+1,\mathrm {etc} }
又また
p 3 ⋅ p 3 = ( 6 − 1 ) 2 = 6 2 − 2 ⋅ 6 + 1 , p 3 ⋅ p 4 = 6 2 − 1 , e t c {\displaystyle p_{3}\cdot p_{3}=(6-1)^{2}=6^{2}-2\cdot 6+1,p_{3}\cdot p_{4}=6^{2}-1,\mathrm {etc} }
且謂之の質しつ數すう分布ぶんぷ缺陷けっかん，且缺陷けっかん可か無限むげん耦合疊たたみ加か，故こ命題めいだい得とく證しょう。
p即質數(prime number)
![{\displaystyle \left[\textstyle \prod _{k=1}^{n}\displaystyle p_{k}\right]+1=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f439710962ef9e5846531f21a14648801d688ea0)
![{\displaystyle r\div p_{j}=\eta +{\frac {1}{p_{j}}},\eta \in \mathrm {Z} ,{\frac {1}{p_{j}}}\in (0,{\frac {1}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7f203de960e32106882e9203c3dde1976dbaf)
，故r屬質數，有悖於假設，故題得證。
，且
除外。
