梯はしご度ど定理ていり

梯はしご度ど定理ていり（gradient theorem），係かかり向むかい量りょう微積分びせきぶん裏面りめん嘅一いち個こ定理ていり，亦また都と係がかり微積分びせきぶん基本きほん定理ていり拓つぶせ展てん咗之後ご對たい於路みち徑みち積分せきぶん嘅一いち個こ廣義こうぎ版本はんぽん。

定理ていり

根據こんきょ梯はしご度ど定理ていり，如果有ゆう一いち個こ喺 $\mathbb {R} ^{n}$ 向むかい量りょう空間くうかん嘅連續れんぞく可か微分びぶん標しるべ量りょう函數かんすう $\phi :\mathbf {U} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$，對たい於任何なん喺 $\mathbf {U}$ 裏面りめん起點きてん係がかり ${\vec {p}}$ 同どう埋うめ終點しゅうてん係がかり ${\vec {q}}$ 嘅曲線せん $\gamma$，有ゆう：

$\int _{\gamma }\nabla \phi ({\vec {r}})\cdot d{\vec {r}}=\phi ({\vec {q}})-\phi ({\vec {p}})$

其中 $\nabla \phi ({\vec {r}})$ 就係 $\phi$ 嘅梯はしご度ど，係かかり一いち個こ向こう量りょう場じょう。

證明しょうめい

將はた $\mathbb {R} ^{n}$ 裏面りめん嘅所有しょゆう維度分別ふんべつ叫さけべ做 $x_{i}$，所有しょゆう單位たんい向むこう量りょう分別ふんべつ叫さけべ做 ${\vec {e_{i}}}$，其中 $i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n$。噉樣 $\phi$ 嘅全ぜん微分びぶん可か以寫做：

$d\phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\phi }}{\partial x_{i}}}dx_{i}$

喺 $\mathbb {R} ^{n}$ 裏面りめん梯はしご度ど嘅定義ていぎ係がかり：

$\nabla \phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\phi }}{\partial x_{i}}}{\vec {e_{i}}}$

而位置いち向こう量りょう同どう佢嘅微分びぶん嘅定義ていぎ分別ふんべつ係がかり：

${\begin{aligned}&{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e_{i}}}\\&d{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{n}dx_{i}{\vec {e_{i}}}\end{aligned}}$

所以ゆえん有ゆう：

$d\phi =\nabla \phi \cdot d{\vec {r}}$

於是有ゆう：

${\begin{aligned}&\int _{\gamma }\nabla \phi ({\vec {r}})\cdot d{\vec {r}}\\&=\int _{\phi ({\vec {p}})}^{\phi ({\vec {q}})}d\phi ({\vec {r}})\end{aligned}}$ （積分せきぶん上下じょうげ界かい轉換てんかん）

${\begin{aligned}&=[\phi ]_{\phi ({\vec {p}})}^{\phi ({\vec {q}})}\\&=\phi ({\vec {q}})-\phi ({\vec {p}})\end{aligned}}$

證あかし完かん。

應用おうよう

内うち文ぶん：保守ほしゅ向こう量りょう場じょう