凸とつ集しゅう

在ざい点てん集しゅう拓つぶせ扑学與あずか欧おう几里得とく空そら间中なか，凸とつ集しゅう（Convex set）是ぜ一いち個こ點てん集合しゅうごう，其中每ごと兩りょう點てん之の間あいだ的てき线段點てん都と落在該點集合しゅうごう中ちゅう。

凸とつ集しゅう實例じつれい

區間くかん是これ實數じっすう的てき凸とつ集しゅう。
依據いきょ定義ていぎ，中空なかぞら的てき圓形えんけい稱たたえ為ため圆（circle），它不是ぜ凸とつ集しゅう；實じつ心しん的てき圓形えんけい稱たたえ為ため圆盘（disk），它是凸とつ集しゅう。
凸とつ多邊形たへんけい是ぜ歐おう幾いく理り得とく平面へいめん上じょう的てき凸とつ集しゅう，它們的てき每まい隻せき角すみ都と小しょう於180度ど。
单纯形がた是ぜ凸とつ集しゅう，對たい於單純たんじゅん形がた的てき顶点集合しゅうごう來らい說せつ，單純たんじゅん形がた是ぜ它們的てき最小さいしょう凸とつ集しゅう，所以ゆえん單純たんじゅん形がた也是一いち個こ凸とつ包つつみ。
定てい宽曲线是ぜ凸とつ集しゅう。

凸とつ集しゅう的てき延のべ森もり不等式ふとうしき定義ていぎ

在ざい度量どりょう幾何きか中ちゅう，琴きん生せい不等式ふとうしき（Jensen's inequality）為ため凸とつ集しゅう給きゅう出で一いち個こ最さい健全けんぜん的てき解釋かいしゃく，而不必牽涉わたる到いた二に階かい導しるべ數すう：

假設かせつ

S

為ため在ざい實み或ある複ふく向むかい量りょう空間くうかん的まと集しゅう。若わか對たい於所有しょゆう

x,y\in S

和わ所有しょゆう

t\in [0,1]

，有ゆう

(1-t)x+ty\in S

，則のり稱しょう

S

為ため凸とつ集しゅう。

簡單かんたん而言，就是 $S$ 中なか的てき任にん何なん兩りょう點てん之の間あいだ的てき直線ちょくせん段だん都と屬ぞく於 $S$ 。因よし此，凸とつ集しゅう是ぜ一いち個こ連れん通どおり空間くうかん。

特殊とくしゅ凸とつ集しゅう

特殊とくしゅ凸とつ集しゅう是ぜ特別とくべつ給きゅう了りょう名稱めいしょう的てき凸とつ集しゅう，它們可能かのう是ぜ具有ぐゆう額がく外がい性質せいしつ的てき凸とつ集しゅう，或ある是ぜ在ざい某ぼう種しゅ定義ていぎ下か的てき凸とつ集しゅう（非ひ一般いっぱん定義ていぎ中ちゅう的てき凸とつ集しゅう）。

具有ぐゆう額がく外がい性質せいしつ的てき凸とつ集しゅう

絕對ぜったい凸とつ集しゅう：若わか $S$ 既すんで是ぜ凸とつ集しゅう又また是これ平衡へいこう集しゅう，則のり稱しょう $S$ 為ため絕對ぜったい凸とつ的てき。

在ざい某ぼう種しゅ定義ていぎ下か的てき凸とつ集しゅう

星ほし形がた凸とつ集しゅう：若わか集しゅう $S$ 中ちゅう存在そんざい一いち點てん $x_{0}$ ，使つかい得とく由ゆかり $x_{0}$ 到いた $S$ 中ちゅう任にん何なん一點的直線段都屬於 $S$ ，則のり稱しょう $S$ 為ため星ほし形がた域いき或ある星ほし形がた凸とつ集しゅう。星ほし形がた域いき是ぜ簡單かんたん連れん通どおり的てき。

性質せいしつ

若わか $S$ 是ぜ凸とつ集しゅう，對たい於任意にんい $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S$ ，及所有しょゆう非負ひふ數すう $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ 滿足まんぞく $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$ ，都みやこ有ゆう $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S$ 。這個向むこう量りょう稱たたえ為ため $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ 的てき凸とつ組合くみあい。