角 かく 的 てき 頂點 ちょうてん 是 ぜ 兩 りょう 條 じょう 射 しゃ 線 せん 或 ある 線 せん 段 だん 的 てき 公共 こうきょう 端點 たんてん
角 かく 是 ぜ 由 ゆかり 兩 りょう 條 じょう 有 ゆう 公共 こうきょう 端點 たんてん 的 てき 射 い 线組成 そせい 的 てき 幾何 きか 物件 ぶっけん 。這兩條 じょう 射 い 線 せん 叫 さけべ 做角的 てき 邊 あたり ,它們的 てき 公共 こうきょう 端點 たんてん 叫 さけべ 做角的 てき 頂點 ちょうてん [3] 。角 かく 的 てき 頂點 ちょうてん 也可以是下 か 列 れつ 定義 ていぎ 的 てき 其中之 の 一 いち :
2條 じょう 射 い 線 せん 的 てき 起 おこり 始點 してん 或 ある 交點 こうてん
2條 じょう 線 せん 段 だん 的 てき 連接 れんせつ 或 ある 交點 こうてん
2條 じょう 直線 ちょくせん 的 てき 交點 こうてん
簡而言 ごと 之 の 任 にん 何 なん 直線 ちょくせん 、線 せん 段 だん 或 ある 射 い 線 せん 的 てき 組合 くみあい ,其結果 けっか 中 ちゅう 包含 ほうがん 兩 りょう 條 じょう 直 じき 的 てき 二元 にげん 邊 べ 交於一 いち 點 てん 者 しゃ ,該點稱 しょう 為 ため 頂點 ちょうてん [4]
頂點 ちょうてん 是 ぜ 多邊形 たへんけい 、多面體 ためんたい 或 ある 其他高 だか 維多胞體的 てき 角 かく 之 の 端點 たんてん 。為 ため 幾何 きか 結構 けっこう 的 てき 邊 あたり 、面 めん 或 ある 維面 相 あい 交形成 けいせい 的 てき 交點 こうてん 。[4] 而包含該頂點 ちょうてん 的 てき 組成 そせい 之 の 數學 すうがく 物件 ぶっけん 整體 せいたい 稱 しょう 為 ため 一 いち 個 こ 頂 いただき 角 かく ,其在英語 えいご 中 ちゅう 皆 みな 稱 しょう 為 ため Vertex,而頂點 ちょうてん 圖 ず (Vertex figure)探 さがせ 討的則 そく 為 ため 頂 いただき 角 かく 的 てき 特性 とくせい ,而非只 ただ 探 さがせ 討頂點 てん 本身 ほんみ 。[5]
在 ざい 多邊形 たへんけい 中 なか ,若 わか 一個頂點對應到的頂角,其內角 かく 小 しょう 於180度 ど 則 そく 稱 しょう 該頂點 てん 為 ため 凸 とつ 頂點 ちょうてん ,否 いや 則 のり 為 ため 凹頂點 てん 。[6] 更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,如果一 いち 個 こ n維幾何 なん 體 たい 的 てき 其中一 いち 個 こ 頂點 ちょうてん 可 か 以使這個幾 いく 何 なん 體 たい 與 あずか 位 くらい 於這個 こ 頂點 ちょうてん 上 じょう 之 の 充分 じゅうぶん 地 ち 小 しょう 的 てき n維球體 きゅうたい 相 しょう 交的話 ばなし ,則 のり 這個頂點 ちょうてん 為 ため 凸 とつ 頂點 ちょうてん [7] 。
多 た 胞形的 てき 頂點 ちょうてん 可 か 以對應 おう 到 いた 圖 ず 論 ろん 中 ちゅう 的 てき 頂點 ちょうてん ,因 いん 為 ため 任 にん 何 なん 多 た 胞形皆 みな 可 か 以找到一 いち 個 こ 對應 たいおう 的 てき 邊 あたり 與 あずか 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず [8] ,而這個 こ 幾何 きか 物件 ぶっけん 正 せい 是 ぜ 圖 ず 論 ろん 中 ちゅう 的 てき 一 いち 種 しゅ 數學 すうがく 物件 ぶっけん ,其頂點 てん 可 か 以對應 おう 於原始 げんし 多 た 胞形中 ちゅう 的 てき 頂點 ちょうてん [9] ,而這個 こ 圖 ず 可 か 以被視 し 為 ため 一 いち 維单纯复形 ,其頂點 てん 正 せい 是 ぜ 一 いち 個 こ 圖 ず 頂點 ちょうてん 。然 しか 而,在 ざい 圖 ず 論 ろん 中 ちゅう ,頂點 ちょうてん 有 ゆう 可能 かのう 少 しょう 於兩條 じょう 邊 あたり (如自 じ 環 たまき ),而在幾何 きか 中 ちゅう 無法 むほう 存在 そんざい 這種頂 いただき 角 かく 。幾何 きか 頂點 ちょうてん 和 わ 曲線 きょくせん 的 てき 頂點 ちょうてん 之 これ 間 あいだ 也有 やゆう 關聯 かんれん 。曲線 きょくせん 的 てき 頂點 ちょうてん 通常 つうじょう 代表 だいひょう 曲線 きょくせん 的 てき 局部 きょくぶ 極 ごく 值[10] ,在 ざい 某 ぼう 種 しゅ 意義 いぎ 上 じょう ,多邊形 たへんけい 的 てき 頂點 ちょうてん 是 ぜ 無限 むげん 曲 きょく 率 りつ 的 まと 點 てん ,並 なみ 且若用 よう 平滑 へいかつ 曲線 きょくせん 來 らい 近似 きんじ 一 いち 個 こ 多邊形 たへんけい ,則 のり 在 ざい 多邊形 たへんけい 的 てき 每 まい 個 こ 頂點 ちょうてん 附近 ふきん 將 しょう 存在 そんざい 極端 きょくたん 曲 きょく 率 りつ 的 てき 點 てん 。[11]
在 ざい 多面體 ためんたい 中 ちゅう ,頂點 ちょうてん 是 ぜ 多面體 ためんたい 中 ちゅう 3個 こ 或 ある 以上 いじょう 的 てき 面 めん 的 てき 交會點 てん 。一般 いっぱん 情況 じょうきょう 下 か ,多面體 ためんたい 頂點 ちょうてん 的 てき 數量 すうりょう 可 か 透過 とうか 歐 おう 拉 ひしげ 特徵 とくちょう 數 すう 計算 けいさん 得 とく 出 で 。任 にん 何 なん 凸 とつ 多面體 ためんたい 表面 ひょうめん 的 てき 歐 おう 拉 ひしげ 特徵 とくちょう 皆 みな 符合 ふごう 下 か 列 れつ 等式 とうしき :
V
−
E
+
F
=
2
,
{\displaystyle V-E+F=2,}
其中V是 ぜ 頂點 ちょうてん 數 すう 、E是 ぜ 邊 べ 數 すう 、F是 ぜ 面 めん 數 すう 。這個等式 とうしき 稱 たたえ 為 ため 歐 おう 拉 ひしげ 恆等 こうとう 式 しき [12] ,由 ゆかり 此可知 かち ,邊 あたり 的 てき 數量 すうりょう 恆 つね 比 ひ 頂點 ちょうてん 和 わ 面 めん 的 てき 數量 すうりょう 的 てき 總和 そうわ 小 しょう 2。例 れい 如,立方體 りっぽうたい 有 ゆう 12條 じょう 邊 あたり 和 わ 6個 こ 面 めん ,因 いん 此根據 こんきょ 歐 おう 拉 ひしげ 恆等 こうとう 式 しき 可 か 以得到 いた 有 ゆう 立方體 りっぽうたい 有 ゆう 8個 こ 頂點 ちょうてん 。
平面 へいめん 鑲嵌的 てき 頂點 ちょうてん 是 ぜ 三個過更多個鑲嵌元素(即 そく 拼出平面 へいめん 鑲嵌的 てき 單 たん 個 こ 幾何 きか 圖形 ずけい )的 てき 交會點 てん [13] 。平面 へいめん 鑲嵌通常 つうじょう 由 よし 多邊形 たへんけい 組成 そせい ,且平面 めん 鑲嵌的 てき 頂點 ちょうてん 同時 どうじ 也是多邊形 たへんけい 的 てき 頂點 ちょうてん ,然 しか 而有例外 れいがい 存在 そんざい 。
多邊形 たへんけい 的 てき 頂點 ちょうてん 同時 どうじ 也是平面 へいめん 鑲嵌的 てき 頂點 ちょうてん 之 の 例 れい 子 こ
其中一 いち 個 こ 反例 はんれい
綠色 みどりいろ 的 てき 頂點 ちょうてん 是 ぜ 一 いち 個 こ 主 ぬし 頂點 ちょうてん ,因 いん 為 ため 其相鄰頂點 てん 的 てき 對角線 たいかくせん (綠色 みどりいろ 虛 きょ 線 せん )沒 ぼつ 有 ゆう 與 あずか 多邊形 たへんけい 的 てき 邊 あたり 界 かい 相 しょう 交;然 しか 而紅色 しょく 的 てき 頂點 ちょうてん 相 しょう 鄰頂點 てん 的 てき 對角線 たいかくせん (紅色 こうしょく 虛 きょ 線 せん )與 あずか 多邊形 たへんけい 邊 べ 界 かい 相 しょう 交,因 いん 此紅色 しょく 的 てき 頂點 ちょうてん 並 なみ 非 ひ 多邊形 たへんけい 的 てき 主 しゅ 頂點 ちょうてん
主 しゅ 頂點 ちょうてん B是 ぜ 一 いち 個 こ 耳 みみ 頂點 ちょうてん ,其對角線 たいかくせん CD位 い 於多邊形 たへんけい 內部;而主頂點 ちょうてん C是 ぜ 一 いち 個 こ 嘴 くちばし 頂點 ちょうてん ,其對角線 たいかくせん AB位 くらい 於多邊形 たへんけい 外部 がいぶ
在 ざい 多邊形 たへんけい 中 ちゅう ,主 しゅ 頂點 ちょうてん (Principal Vertex)是 ぜ 指 ゆび 多邊形 たへんけい 中 ちゅう 的 てき 一 いち 個 こ 頂點 ちょうてん ,該頂點 てん 相 しょう 鄰兩頂點 ちょうてん 的 てき 對角線 たいかくせん 不 ふ 與 あずか 多邊形 たへんけい 邊 べ 界 かい 相 しょう 交。更正 こうせい 式 しき 的 てき 定義 ていぎ 如下:有 ゆう 一 いち 個 こ 簡單 かんたん 多邊形 たへんけい P ,其有頂點 ちょうてん {x 1 , x 2 , ..., x p -1 , x p } ,其中x p +1 =x 1 使 つかい 多邊形 たへんけい P 為 ため 封 ふう 閉結構 けっこう 。在 ざい 多邊形 たへんけい P 中 なか ,若 わか 存在 そんざい 一 いち 個 こ 頂點 ちょうてん x i 使 つかい 得 とく 多邊形 たへんけい P 的 てき 對角線 たいかくせん [x (i − 1) , x (i + 1) ] 僅在x (i − 1) 點 てん 與 あずか x (i + 1) 點 てん 上 じょう 與 あずか P 的 てき 邊 あたり 界 かい 相 しょう 交,則 のり 稱 しょう 頂點 ちょうてん x i 為 ため 該多邊形 たへんけい 的 てき 主 しゅ 頂點 ちょうてん 。 主 しゅ 頂點 ちょうてん 可 か 以分成 なり 兩 りょう 種類 しゅるい 型 がた :耳 みみ 頂點 ちょうてん 和 わ 嘴 くちばし 頂點 ちょうてん 。[14]
若 わか 一主頂點對應的對角線位於多邊形內部,則 のり 這個頂點 ちょうてん 稱 しょう 為 ため 耳 みみ 頂點 ちょうてん 。根據 こんきょ 雙 そう 耳 みみ 定理 ていり ,任 にん 何 なん 簡單 かんたん 多邊形 たへんけい 都 と 至 いたり 少 しょう 會 かい 有 ゆう 2個 こ 耳 みみ 頂點 ちょうてん 。[15]
若 わか 一主頂點對應的對角線位於多邊形外部,則 のり 這個頂點 ちょうてん 稱 しょう 為 ため 嘴 くちばし 頂點 ちょうてん 。[16]
圖 ず 中 ちゅう 的 てき 頂點 ちょうてん 包含 ほうがん 了 りょう 顏色 かおいろ 資 し 訊,分別 ふんべつ 為 ため 紅 べに 、綠 みどり 、藍 あい ,通過 つうか 渲染流 りゅう 程 ほど 後會 こうかい 輸出 ゆしゅつ 一 いち 個 こ 漸 やや 變色 へんしょく 彩 いろどり 的 てき 三角形 さんかっけい
在 ざい 计算机 つくえ 图形学 がく 中 ちゅう ,三 さん 維幾何 なに 結構 けっこう (在 ざい 计算机 つくえ 图形学 がく 一般 いっぱん 稱 たたえ 為 ため 三 さん 维模型 がた )通常 つうじょう 會 かい 表示 ひょうじ 為 ため 以三角形 さんかっけい 構成 こうせい 的 てき 多面體 ためんたい ,其中,頂點 ちょうてん 所 しょ 包含 ほうがん 的 てき 資 し 訊不像 ぞう 幾何 きか 學 がく 中 ちゅう 只 ただ 含有 がんゆう 座標 ざひょう 資 し 訊,而會額 がく 外地 がいち 包含 ほうがん 其渲染 しみ 所 しょ 需的資 し 訊,如顏色 しょく 、反射 はんしゃ 特性 とくせい 、紋 もん 理 り 和 わ 表面 ひょうめん 法線 ほうせん 等 ひとし [17] 。這些頂點 ちょうてん 的 てき 屬性 ぞくせい 會 かい 輸入 ゆにゅう 到 いた 頂點 ちょうてん 著 ちょ 色 しょく 器 き ,進 しん 而開始 かいし 计算机 つくえ 图形学 がく 的 てき 渲染流 りゅう 程 ほど 。
在 ざい 描述分 ぶん 子中 こなか 原子 げんし 的 てき 三 さん 維排列 はいれつ 方式 ほうしき 的 てき 分子 ぶんし 構型中 なか [18] ,位 い 於對應 おう 幾何 きか 結構 けっこう 頂點 ちょうてん 的 てき 原子 げんし 也稱為 ため 頂點 ちょうてん [19] [18] 。
八面体形分子构型 由 よし 一 いち 個 こ 中心 ちゅうしん 原子 げんし 和 わ 6個 こ 頂點 ちょうてん 原子 げんし 組成 そせい
^ Weisstein, Eric W. (编). Vertex . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英 えい 语) .
^ McMullen, Peter ; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press , December 2002, ISBN 0-521-81496-0
^ Sidorov, L. A., Angle , Hazewinkel, Michiel (编), 数学 すうがく 百科 ひゃっか 全 ぜん 书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
^ 4.0 4.1 Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications. 1956.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
^ Olshevsky, George, Vertex figure at Glossary for Hyperspace .
^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science. 2007.
^ Gruber, P.M. Convex and Discrete Geometry. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg. 2007. ISBN 9783540711339 . LCCN 2007922936 .
^ Senechal, Marjorie , Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination , Springer: 81, 2013 [2019-09-15 ] , ISBN 9780387927145 , (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2014-01-07) .
^ Peter McMullen , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
^ Gibson, C. G., Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press: p. 127, 2001, ISBN 9780521011075
^ Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M. ; Ziegler, Günter M. Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. 2008. ISBN 978-3-7643-8620-7 .
^ Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology . Princeton University Press 2008.
^ M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0 , Academic Press, 1989
^ Introduction to Ear Cutting for Simple Polygons . McGill School Of Computer Science, McGill University. [2019-09-15 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2021-02-07).
^ Meisters, G. H., Polygons have ears, The American Mathematical Monthly, 1975, 82 : 648–651, MR 0367792 , doi:10.2307/2319703 .
^ Toussaint, Godfried , Anthropomorphic polygons, American Mathematical Monthly , 1991, 98 (1): 31–35, MR 1083611 , doi:10.2307/2324033 .
^ Christen, Martin. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes . Khronos Group . [26 January 2009] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 于2019-04-12).
^ 18.0 18.1 Von Zelewsky, A. Stereochemistry of Coordination Compounds. Chichester: John Wiley. 1995. ISBN 0-471-95599-X .
^ D. L. Kepert. Aspects of the Stereochemistry of Eight-Coordination. Progress in Inorganic Chemistry. 1978, 24 : 179–249. doi:10.1002/9780470166253.ch4 .